В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Для фундаментальных решений 4'„(х,$), п = 1,2,3, волнового оператора, рассмотренных в задачах 11.15-11.16, доказать: 1) 4»(х, 1) Е С по 1 е [О, оо); 2) 4'„(х,с) — + О, " ' — + 3(х), " ' — ~ О при 1 — ++О дб'„(х, Е) де 4'„(х, ф) в У'(11"). 11 2Т. Для фундаментального решения 4'(х, $) оператора теплопроводности (см.
задачу 11.12) доказать, что 4'(х, $) — + б(х), 1 — + +О в У'(Я"). 11.28. Для фундаментального решения оператора Шредингера (см. задачу 11.14) доказать, что йг(х, Ф) — в — 16(х), С вЂ” + +О в У'(Яг). 11.29. Для фундаментального решения из задачи 11.18 доказать: 1) в'(х,1) Е С' пой Е (О,оо); б 11. Фундольенпьольньье реиьених дифференциальных оперотпорое 133 2) б'(х, $) — > О, ' — ~ б(х),, ' — ~ — — б(х), в — ~ +О в У'(А'). 11.30.
Лля фундаментального решения из задачи 11.13 доказать, что б'(х, 1) — о б(х), 4 — + +О в У'(А'). Ответы к 3 11 11.1. Е д и н с т в е н н о с т ь. Очевидно, Ж'(х) Е У+. Для и = = б'- б', где б' Е У+ — другое фундаментальное решение, имеем Цл1) и = О. Свертка и» 4'существует (см. формулу (8), в 8).
Имеем и = и * б = и ь Ь(В) б'= Ь(Ю) и ь б'= О. Следовательно, б' = б'. -4» 11.3. 1) д(х) ; 2) д(х)хе*; 3) д(х)(е — е з*); 4) д(х)ех»вьпх; 5) — 1еь» — е '*7 ~сов — х+з/Звш — х); д(х) ». .. з еъГЗ , а43 2 6) — (1 — е'); 7) — (вп ах — вш ах); 8) — (х сЬ х — вп х). д(х) . д(х) 2ах 2 11.12. Р е ш е н и е. Применив преобразование Фурье г', к равен- ству — — а хьд' = б(х,1), в силу результатов задачи 9.21, 1) и 2) и ад формул из 2 9 получим — + а~ф/~4' = 1(С) б(1), где б'(С,1) = Г»[б(х,с)]. Пользуясь формулой для б(1) задачи 11.2, 1) с заменой а на азфз, заключаем, что б'(С,х) = д(1) е >4> '.
Отсюда в силу задачи 9.24 о»»(х») = р' ~ 14»(~ »)1 = д(ь) — ~»Р/[4»*О 11.15. У к а з а н и е. См. решение задачи 11.12. Лля искомой Я(1) Е С получим задачу Яо+ пзбг = О, г(О) = О, г(О) = 1. бш оех Отсюда Я(х) = — и, следовательно, об б,К,В) = д(2) ""Ф. Палее воспользоваться задачей 9.25. 11.24. — е ль7~зь> (сових — — вшип1, если 4Ь вЂ” С)ьз ) О, где ,ЯБ70 — » 25 Глава 1У ЗАДАЧА КОШИ $ 12. Задача Коши для уравнения второго порядка гиперболического типа 1.
Задача Коши на плоскости. Задача Коши для уравнения а(х,у) и, +2о(ху)и,„+с(х,у)и„„+п(х,у) и, + +е(х,у) и„+ 1(х,у)и = г'(х,у) (1) с условиями и~г = ио(х,у), (2) ди! — = из(х,у) а1 ~г состоит в следующем. Пусть в области Р задано уравнение (1) гиперболического типа (ез — ас > О) н на кривой Г, которая принадлежит области .Р или является частью границы области Р, заданы функции ио(х, у), из(х, у) и направление 1(х, у). Требуется найти функцию и(х,у), которая в области Р является решением уравнения (1) и на кривой Г удовлетворяет условиям (2). Если в каждой точке кривой Г направление 1 не является касательным к кривой Г и касательное направление к кривой Г не является характеристическим, то в области Р, ограниченной характеристиками, проходящими через концы кривой Г, при достаточной гладкости кмффициентов уравнения (1) и данных условий (2) существует единственное решение задачи Коши (1), (2).
имеет единственное решение е 'Ь) и(х,у) = ио(х) + / и~Яф(()((с, где с = 1п( х(х), И = зцрх(х), х з(у) — функция, обратная к функции ~р(х). 12.1. Пусть на интервале (а, о) заданы функции оз б Сз, ~о' Ф О, ио б Сз, из б С'. Доказать, что задача Коши и,„=О, о<х<Ь, с<у<о; и)„-е~,> — — ио(х), и„)„-е~,> = из(х) З зй. Задача Кензо двя уравнение гинердовического звона 135 12.2. Пусть на интервале ( — 1, 1) заданы функции ио Е Сз, из 6 С'. Доказать, что задача Коши изз — ирр = 0' и[в=о = ио(х), ир[р=о = и,(х) имеет единственное решение в квадрате ([х — у[ < 1, [х + у[ < Ц. Показать, что этот квадрат является наибольшей областью единственности решения поставленной задачи.
12.3. Доказать, что решение задачи Коши игр зз О, -сю < х, у < оо; и[р=о = ио(х), ир[ =о = из(х) сУществУет только тогда, когда ио(х) 6 СР(Я~), а из(х) = сопзс. Показать, что при этом решение поставленной задачи не единственно и все решения этой задачи можно представить в виде и(х, у) = ио(х) + р'(у) — Х(0) + у[из(0) —,1'(0)], где 1(у) — любая функция из класса Сз(йз). 12.4. Доказать, что решение задачи Коши и р=О, [х[<1, 0<у<1; и[р,з = О, ир[р-,з = из(х) существует только тогда, когда из(х) Е С( — 1,1), хид(х) 6 Сз( — 1,1), из(х) — четная функция.
Показать, что при этом решение поставленной задачи единственно /р и и(х, у) = 2 / 9юЯ) з(~. 12.5. Доказать, что решение задачи Коши игр=О, [х[<1, [у[<1; и[р,з = [х[", и,[р з =0 существует только тогда, когда а = 0 или а > 6. Показать, что при этом решение поставленной задачи единственно и и(х, у) = [у[аз з.
12.6. Доказать, что решение задачи Коши и„— ирр — - 6(х+ у), — оо < х, у < оо; и[раз = О, и,[рав = из(х) существует только тогда, когда из(х) — Зхз ив я сопз1. Показать, что при этом решение поставленной задачи не единственно и все решения этой задачи можно представить в виде и(х,у) = х — у +з (х — у) — з (0) + (х — у)[из(0) — з'(0)), где 1(х) — любая функция из класса Сг(йз) . 136 Гл.
1К Задаче Коши х>0 В задачах 12. 7-12.19 требуетси найти наибольшую область, в которой поставленная задача Коши имеет единственное решение, и найти зто решение. 12.7. илр —— 0; и)„рз = О, ир)р — — Дх), )х! < 1. 12.8. ила+и, = 0; и)„- = зшх, и,)р-, = 1, )х) < оо. 12.9. и,л — и„„+2и, +2ир — — 0; и!о=о = х, ир)р=о = О, (х) < оо. 12.10. и„— 脄— 2и, — 2ир ш 4; и(л-е = -у, и,~,-е = у — 1, )у! < оо.
12.11. и„+ 2и,„— Зирр = 2; и)р=е = 0 ир1р — о = х+ созх (х! < оо. 12.12. и „+ уи + хи„+ хуи = 0; и)р-зл —— О, ир)р — з = е, х < 1. -Ьл 12.13. 1) хи,л — ирр+ — и, = 0; 1 2 и)р=о = х, ир)р=о = 0> х > 0; 2) хи,„— у脄— и„= 2хз; и)р —, = упх, ил)ррр = созх, 12.14. хи„+ (х + у) и,„+ уи„„= 0; з ю 3 и~ — з7 =х и ~ ~— зу =2х х>0. 12.15.
ирр + 2(1+ 2х) и,„+ 4х(1+ х) ирр + 2ир ш 0; и(л р = у, и,), е = 2, )у) < оо. 12.16. 1) хзи„— уз脄— 2уир —— 0; и)л-з = у, ил(л-з = у, у <О; 1 2) и — 4х脄— — и =О; х и),-з =уз+1, и,),-з — — 4, (у! < оо. 12 17. хзи„— 2хуи „вЂ” Зузи„„= 0; 4/ р и(реп =О, из~реп = чхр, х > О. 12.18.
уил, +х(2у-1) и,„— 2хз脄— —" и, + (и, +2хи„) = О; *Р РР х * 1+2у и~о=о = х ир(р — о = 1 х > О. 3 С 12. Задача Коши длл рраеиечие гиперболического шила 137 12.19. ри„— (х+р)и „+хи„е — — (иг — и„) = 0; х+у х — р и]„-о=х, ие[„-о=х, х>0. з Задачи 12.20-12.24 требуется решить методом Римана. 12.20. иг„+2и,+ие+2и=1, 0<к, р< 1; и] +, — — х, и,[,л.„-с — — х. 12.21. хри „+хи — риз — и = 2р, 0 < х, р < со; и[,„-с = 1 — р, и„],„-с — — х — 1. 12.22.
и, + — (и,+из)=2, 0<х,р<оо; 1 х+р 3 и]„-г = х, и,]к-а = 1+ х. 12.23. и„— и„„+ — и, — — и„= О, ]х — р] < 1, [х+ р — 2] < 1; 2 2 и]е=с = ио(х), и„]е-с — — ис(х), ио б Сз(0,2), ис б С (0,2). 12.24. 2иге — е 'и„„= 4х, и]„-, = х созх, 5 — со<х, р<оо; и„]а-а = хз + 1 (4) 2. Классическая задача Коши.
Классической зада- чей Коши для волнового уравнения называется задача о нахождении функции и(х,С) класса Сз(С > 0) П Сс(С > 0), удовлетворяющей при С > 0 уравнению исс = а'Ьи+ У(х, С) (3) и начальным условиям и]с=о = ио(х), ис]с=о = ис(х), где у', ио и ис — заданные функции. Если выполняются условия 1 б Сс(С > 0), ио Е Сз(ССс), ис б С (ССс), тс = 1; (5) 1 Е Сз(С > 0), ио ч Сз(Я") ис б Сз(Я"), н = 2,3, то решение задачи Коши (3), (4) существует, единственно и выра- жается: 1) при и = 1 формулой Да ьамбера и(х, С) = — [ио(х + аС) + ио(х — аС)] + 1 *+ас с г~.аСс-т) + 2 У ис®сС~+ 2 У У у«,т)сХСсСт; (6) г-аС о е-асс — тс 138 Гл. 1К Задача Канси 2) при и = 2 формулой Пуассона с и(,,) 1 Г т УЫ,.Щд.
+ о )4-л)<сс(с-г) + 1 / и((С)дС + 1 ~ )' ио(С)дС "(г-((- (' (С-с(<чс (С вЂ” (<чс 3) при н = 3 формулой Кирхеофа (*4=Ь у —,' ((6-к=*()л (4-*) <ос — 1' .,(((сс+ —, — — 1' "(с сс~, (с( 1 1 д(1 (С вЂ” л)с кс (К-л(р=кс 12.2$. Пусть функция и(х,С) является решением задачи Коши иы = ази„; и)сео = ио(т), аде=о = ис(х). Показать, что для любого Т > 0 существует решение задачи Коши ои = а о„, С ( Т, х Е 1(С; о'(с=т = и((с=т, ос((с=т = ис)с=т. 2 1, Показать, что и(х, С) = о(х, С) при 0 < С < Т.
12.26. Показать, что если существует решение задачи Коши ии = а и,о; и)с=о = ио(х) исЬ=о = ис(х), 3 то и Е Сз(С > 0), ио Е С~(СС~), ис Е С (СС~). 12.27. Пусть функция и(х,С) является решением задачи Коши исс = азсзи; и)с=о = Р(х), ис)с=о = О. с Показать, что функция о(х, С) = ~ и(х, т) (Ст является решением за- дачи Коши о осс = аз1Ы; и)с~ = О, ос)см = З (х). 12.28.
Пусть функция и(х, С, Со) при каждом фиксированном Со > 0 является решением задачи Коши ии = а'Ьи; и(с=(с — — О, исЬ=сс = У(х, Со). с Показать, что функция о(х,С,Со) = / и(х,Сст)(Ст является решени- ем задачи Коши сс ом = а~(Ы+ 1(х, С); о(с=сс = О, ос)с=сс = О. 12.29. Показать, что если функции 1(х), ио(х), ис(х) — гармони- ческие в Я", а д(С) Е Сс(С > 0), то решение задачи Коши з 1У.
Задача Коши дея ураепение еипербоаичеекоео снипа 139 ис)с=о = ис(х) и1с=о = ио(х), ии = а сзи+у(1) 1(х); выражается формулой с и(х, 1) = ио(х) + Фис(х) + Дх) / (1 — т) д(т) Йт. о 12.30. Найти решение задачи Коши исс = а Ли+с(х); иЬ=о = по(х), ис!с=о = ссс(х) если Ьзс( = О, Ьсеио = О, с1сесис = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
