В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Требуемые свойства непосредственно вытекают из формулы (13).). 12.51. Пусть в задаче Коши (обобщенной) ии = ази„+ ио(х) б'(Ф) + и~(х) . 6(1) функции ио Е Сз и и1 Е С для всех х, кроме х = хо, где ио, и1 (или их производные) имеют разрыв первого рода. Показать, что решение этой задачи является классическим всюду в полуплоскости 1 > О, кроме точек, лежащих на характеристиках, проходящих через точку х = хо, Ф = 0 (распад разрыва), для следующих случаев: 1) ио = В(х) ы(х), где ы = Сз(А'), ы(0) ~ 0 и иг — — 0; 2) ио = О, ид = 0(х — хо)ы(х), где ы Е С'(В'), ы(хо) Ф 0; 3) ио = 0(х — 1), иг = 0(х — 2).
12,52, Лля задачи Коши (9) убедиться в том, что: 1) от источника возмущения Р = ио(х) 6'(1) = В(хо — )х)) у(х) ' 6 (й)~ хо > О, У Е Сз()»г), возникают две волны, которые имеют в каждый момент времени $ > 0 передний фронт в точках х = х(а1+хо) соответственно и в каждый момент времени 1> — *о задний фронта в точках х = а = х(а1 — хо) (принцип Гюйгенса); 612. Задача Коши для уроенение еинерболичееноео тпииа 145 2) от источника Р = ид(х) 6(1) = В(хо — !х!) Дх) . 6(г), хе > О, 1 б С (В~), возникают две волны, которые имеют в каждый момент времени 1 > 0 передний фронт в точках х = х(а1+ хо) и не имеют заднего френеле (размыв заднего фронта волны или диффузия волн).
У к аз ан и е. Воспользоваться формулами (11) и (12). 12.53. Решить следующие обобщенные задачи и доказать, что полученные решения являются решениями и классической задачи Коши (3), (4): 1) ии —— ази + В(е)(х+ г) + е * ° У(1); 2) ии = а~и„+ В(Г) 1 1п1+ 3* 6'(1); 3) ии = а и„+ВЯ(хз+1з) +х 6'(1), из = 1,2...; 4) иее — — и„+ В(Г) хз + соя х ° 6'(4) + соз х 6(г); 5) ии — — азие, + хе1пф ° 6(1); 6) ин = и„+ В(1) сое (х + 1) + 2* 6(1); 7) ии = и„+ В(1) з1п Е+ — 6(1); 1 1+ хе 8) им — — ази, +ВЯе'+ —., 6'(1); 1 9) ии = иле+(охз+)У) 6'(Ф)+х47з 6(1); 10) ии = иле+ 1п(1+е*) ° 6'(е) +е * 6(е); 11) им — — и„+ В Я 1 х + зш х ° 6' Я + х™'6(1), пз = 1, 2, ...; 12) ии — — и„+ В(1)агсебе+ 1п(1+ хе) ° 6'(е) 13) иее — — 4и„+ В(Г) соз х + з/Г+ хз 6'(Ф); 14) ии = и я+ В(1) хз1пй+хзе <*> ° 6'(1); 15) ии =4и +е * 6'(1)+е *з(пх 6(1); 16) ии — — и„+з1п х ° 6'(1) +хе ~*~ 6(г); 17) ии = иее + В(1) — + 6'(1)' 18) ии — — ие, + В(е) (хе' + 1е*) + 6(1).
1 ~/Г+ хз 12.54. Решить обобщенную задачу Коши для волнового уравнения (х Е 1е~): 1) им — — азии + ВЯ 6(х) + 6(х) ° 6'(1) + 6(х) 6(г); 2) ии — — азЬи+ В(1) 1з 6(х) + /х/™6(х) ° 6'(е) + 6(х — х ) ° 6(1), гп = = 1, 2, ...; 3) ин — — азели+ ш(е) ° 6(х) + е~*16(х) 6(е), где ш Е С(1 > 0) и ш = 0 прий<0; 4) ии — — а Вен+В(1)(аз+)3) 6(х)+6(х — хо) 6(1). Гл. 17.
Задача Коши (14з) з 1 г г 1(4,~) 644~ й'Ф 7:т:и' 0 )о-6<о(й-т.) 1 г /(4, й — )х — Я/а) 4яаз У /х — Я $о-(/<аС (15з) (15з) 12.58. Доказать: 1) если ио Е С (Вч), из Е С (В") пРи и = 2,3, то гй ~ и 14 ~ и = 2,3, принадлежат классу Сз(г > 0), удовлетворяют при $ > 0 уравнению Ц,и = 0 и начальным условиям 12.55. Решить обобщенную задачу Коши дпя волнового уравнения (х Е В~): 1) им = азии+ В(й) ° б(х) + б(х) б'(й) + б(х) б(й); 2) ип = азЬи+8(й — Фо) ° б(х — хо) +б(х — х') б(й), йе > 0; баб( ) 3) изз = азЬи+ш(з).б(х)+)х)з —, б'(1)+ — б(Ф)> й = 1,2,3, где ш Е С (й > 0) и ш = 0 при й < 0; 4) им = азЬи+И(й) з!пй б(х)+е >*< — б'(Ф).
дхь 12 56. Доказать, что если из(х) — локально интегрируемая функция в В", п = 2, 3, то 14 У вЂ” локально интегрируемая функция в Гс" +з 1о> и выражается формулами 1~1е>( 1) д(1) )' и~(0 И4 (14з) 'Рю:Т' — о ' !о-(!<аФ Ф ~(х,й) = () ( из(~)аз. з 4яазЗ У з /л-(!=аз Замечание. Так как Ъ~„= — (а'„(х,й) оно(х)), то, заменяя р в (14,) и (14з) из на ио и дифференцируя по й, получим Ф ~(х 1) = — () 1 "~( ) ~ (14з) В~2 /о-6<ой ч"(*,)=й(,"'!, / (оо) («) )о-б=оФ 12.57. Доказать, что если Дх,1) — покально интегрируемая функция в В"+~, и = 2,3, равная нулю при 1 < О, то Уз — непрерывная функция и гз — локально интегрируемая функция в В"+' и они выражаются формулами: В дх.
Задача Коиги д ид уравнения еиперболичееноео одина 147 В У(о) — = ид(х), У„о 1д — О (о) Уп ~в=+о = ио(х), (д) а=1; 2) если У б Сг (1 > 0), то У„б Сг (1 > 0), и = 2,3, удовлетворяет при 1 > 0 уравнению П,и = У(х, 1) и начальным условиям ВУ„~ У)д-ео —— О, —" ! = О.
дд и=+о У к а з а н и е. Требуемые свойства непосредственно вытекают из формул (14) и (15), если в ник сделать замену переменных С вЂ” х = адд) и С вЂ” х = а(1 — т) г) соответственно. 12.59. Решить обобщенную задачу Коши для волнового уравне- ния (х Е 1д ) и проверить, что полученные решения являются реше- ниями классической задачи Коши (3), (4): 1) У=В(1), ио=С, ид=С, С=солод; 2) У = В(1))х)г, ио = )х)г, ид — — )х(г; 3) У = В(Ф) вг, ио = О, ид —— 1+)х)г; 4) У=В(1)е '(х(~, ив =1+)х(г, ид = О. 12.60. Решить задачу Коши для волнового уравнения (х Е )дз) со следующими данными: 1) .У = В(1))х)г, ио = О, ) ~г.
2) У = В(1) 1!х!~, ио = 1, ад=1; 3) У = ад(Ф), где ад Е Сг(1 > 0) и ы = 0 пРи 1 < О, ио = О, ид = а)х)~+)В; 4) У = В(1) 1и /х), ио = О, ид аоО; 6) У = В(1), ио= —, ид =0; 1 1+) (г' 6) У=О ио —— вдп)х)г, ид = в)д)х(г; а = 1; 7) У В(1) дг ио = )х|г, ид = — ,' 1 1+)х)г1 8) У=В(1)е д"дад(х), где адЕСг, ио —— ,/Г+)х)г, ид =0; а=1; 9) У=В(1)е (*(, ио=О, ад=сов)х)г; а=1; 10) У = О, ио=1п(1+(х)г), ид =е )*( ) а=1; 11) У=О, ио=е )*(, ид=1п(х/; а=1; 12) У = В(1) дйпд, ио = сов(х)г, ид = 0; 13) У = О, ио —- СВ(В-/х)), ид — — 0; 14) У = В(ав — (х/), ио — — О, ид = О.
Гл. 1р. Задача Кое»и со следующими данными; 1) У=О, ио=б(х), и»=б(х), 2) У = ы(1) . б(х), где ы Е С(1 > О) и ы и» = х; а = пз = 1; 3) У = д(1), ио = 1, и» = 1, 4) У=О, ио=д(х), и»=д(х), 12.63. Решить обобщенную задачу Коши пения а = гл = 1; =0 при 1<0, ио- — О, а = гл = 1; а = ш = 1. для телеграфного уран- + и»(х) б(1) П„и+ 2пзи» = Дх,М) + ио(х) б'(1) со следующими данными: 1) ~=0, ио —- б(х), и» =б(х), а 2) ~ =ы(1) б(х), где ы Е С(1 > 0) и ы и»=0; а=п»=1; 3) 1=0, но=1, = пз = 1; =0 при 1<0, по=О, и» = д(х), а Ответы к 3 12 4 (рз~» — )х~зд) (х) <1, 0 < р < 1.
12.8. я1п р — 1+ е* "; — оо < х, р < оо. 12.9. х — р — — + — е" -со<х у<со. 1 1 2 2 > 12.10. — (1 — х — Зр + (х + р — 1) ез*~; — оо < х, р < оо. 12.11. хр + — зш — соз ~х + -) — со < х р < со. 3. гр Г рз 3 ~ 3)' Задачи Коши для уравнений 12.61-12.63 формулируются так же, как для волнового уравнения.
12,61. Решить обобщенную задачу Коши для уравнения гиперболического типа П,и = Ьил + — и» + Р(х,»), а > О, Ь > О, Ь где Р(х,1) = 1(х,1) + ио(х) . б'(1) + ~и»(х) — — ио(х)~ . б(1), со следующими данными: 1) У=6(1) б(х), ио=б(х), и» =б(х); 2) у=д(г)х, ио=О, ид —— д(х); а=Ь=1; 3) У = д(1) 1,, = 1, и»=х; а=Ь=1; 4) ~=д(1)е', ио=е*, и» вЂ” -е*; Ь=1; 5) ~=д($)е*, ио =ах+)3, и» =О.
12.62. Решить обобщенную задачу Коши для уравнения Клейна- Гордона-Фока П„и+ п»~и = Дх,») + ио(х) б'($) + и»(х) ° б(1) С Сд. Задача Коши дан уравнение аинероолическозо тина 149 12.12. (р — Зх) е Сх +" ~Сс; х < 1, у < 3. 12.13. 1) х+ — рс; х > О, (р( < 2~/х; 2) х р+ в(ах — - х — — х у; х > О, у > О.
з ССССО. 2 2 х 12.14. —; х > О, р > О. 12.15. 2х+у — х~; -сю < х, р < оо. 12.16. 1) — + —; х > О, р < 0; 2) ха + рс; х > О. Зх 3 12.17. — ~фх р (фр — — ); х > О, р > О. 12.18. хс + 2рс + 1; х > О, — — < р < хс. 12.19. х~+ ху+р~; х > (р(. 12.20.
— +(4 — 3 )е1 * о — ~2х+ -1 ех0 * о> В = ех С+о(" о> 12.21. ху — р; В = —. Ь хд 12.22. х — р+ху; СС = —. х+у = 4+д' 12.23. — [(х + р — 1) ио(х + р — 1) + (х — р + 1) ио(х — р + 1)]+ 1 дхр х+о-1 2,/ х — 1 12.24. (у — х)(хо+ 1) + хосозх. ахаСха+1 хаСхй+х 12.31. — [С'(хс + аС) + Дхс — аС) + д(хс + аС) + д(хс — аС)]+ 1 2 х~+аФ ха+ай + — ' ~ д'®и~+ — ' ~ ад) ь~.
х1-ах хх-аю 12.32. — д(хс,хо) [Дхс + аС) + Дхс — аС)]. 1 12.33. — [((х/ + аС) аф/ + аС) + (!х/ — аС) а(/ !х/ — аС!)] + — х 1 1 2(х( 2а)х) (х1-~ай х / тф(г)аг при )х! ~0 и и(О,С) =а(аС)+аСа'(ас). Цх/-ад 12.34. — [д(1 — !х( — С)()х! + С)а+с (1 — !х( — С)о + д(1 — Цх! — С() х 2ф х ящп(!х/ — С)Цх! — С( +'(1 — !!х! — С() ] при /4 ~ 0 и и(0, С) = д(1 — С)С (1 — С)о с[(а+ 1)(1 — С) — СЗС]. 150 Гя. 17. Задача Коиза 12.35. — 9(1 — !х+й))((х+й)2 — 1) + — 9(1 — !х — З/)((х — С)2 — 1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
