В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Скалярное произведение в нем можно задать формулой 56 Гл. 11. Функниенелвные пространстве н интеера ввнме уравнение Пусть 1 Е Н Я), 1», к = 1,2,... — последовательность функций из С'((7), сходюцеяся в норме Н" (Я) к 1(х). Лля любой гладкой (и — 1)-мерной поверхности Я (состоящей из конечного числа кусков, каждый нз которых однозначно проектируется на какую-нибудь координатную плоскость), лежащей в ф, существует такая постоянная с > О,не зависящая от 1(х) и 1»(х), й = 1,2,...,что / 1»» в ~»де < срвг» Д Ол 10) ° Из этого неравенства и полноты пространства Ьз (Я) вытекает, что последовательность следов функций 1»(х) на Я сходится в норме Ьз(Я) к некоторой функции д Е Б~ф).
Функция д(х) не зависит от выбора последовательности, приближающей функцию 1(х), и называется следом Яя функции 1(х) на поверхности 8 Е Я. Множество функций на Нв(»3), след которых на границе Г равен нулю п. в. на Г, обозначим через Н»(Я). Его можно получить пополнением по норме (2') при и = 1 множества функций, имеющих непрерывные частные производные в вг' первого порядка и обращающихся в нуль на Г. Для функции 1 Е Ь» Я) свертка 1»(х) = / ы»(~х — у~) У(у) ду, где ве»()х — у~) — ядро усреднения (см.
обозначены), называется средней д)ункиней для 1. Пусть х; = уп(у), в = 1, ..., и, у = (уы ..., у„) — й раз непрерывно дифференцируемое в Ц взаимно однозначное отображение области (~ на область Я' с якобианом, отличным от нуля в Ц. Тогда, если 1 Е ЕН Я),то г (у) Л~Р»(у)~" ~~Рв(у)) Е Н Я ) ° Лва скалярных произведения (н, о)» и (н, о)ц в гильбертовом пространстве и соответствующие им нормы уи()~ и Онуц называются экеиеолентнымн, если существуют постоянные с» > 0 и сз > 0 такие, что для любого и Е Н справедливы неравенства с~))и~)у < < ЙиОц < о»ЙЩ.
4.58. Установить, что смешанная о. п. не зависит от порядка дифференцирования. 4.59, Показать, что из существования о. и. Р"1 не следует су- ществованиЯ о.п. Ре 1 пРи а'; < аь в = 1, ..., и, ~а'~ < ~а~. У к а з а н и е. Рассмотреть функцию 1(хы хз) = 1д(хв) + 1з(хз), где Яхе) не имеют о.
и. первого порядка. 4.60. Показать, что если в области вд функция 1(х) имеет о.п. Р~1", то и в любой подобласти 1~' С Я функция 1(х) имеет о. п. Р 1. 2 4 429иячиона~вньи пространипеа 4 61. Пусть в области Яг задана функция 12(х), имеющая о. п. Р ~ы а в области Яз — функция Ь(х), имеющая о. п. Р 12. Доказать, что если (~2 0 92 — область и для х б (~2 Й ( ~2 ~2(х) = ~2(х), то Ях), х е (~ы у(х) = | Х ~ ) а ~ ~ | ~ !в ~ ? уз(Х)~ Х 6 (ь|2, имеет о. п. Р ~ в (~2 О Щ, ревную Р" ~2 в Щ и Р ~~ в (~2.
4.62. Пусть 1, если <х<<1,хз>1, у(хыхз) = -1, ес и <х<<1,х2<1. Убедиться, что У(хз, хз) имеет обобщенные производные первого по- рядка в каждом из полукругов, но не имеет о. п. по хз в круге ~х< < 1. 4.63. Доказать свойства средних функций: а) уь 6 С '(Н"); б) уь(х) сходятся при Л вЂ” ~ 0 к у(х) в 2 зф), если 1 е Ьз(9); в) в любой строго внутренней подобласти (~' 6 Я при достаточно малом Л имеет место равенство (Р~~)ь = Р~~ь, т.е. обобщенная про- изводная от средней функции равна средней функции от обобщенной производной. В задачах 4.64-4.72 доказать утверждения. 4.64. Если у функции У(х) в области 9 существует о.
п. Р у' = = ы(х), а для функпии ы(х) существует о. п. Рны, то существует о.и. Р +а( 4.65. а) у = 2(йп х ~ Нг( — 1, 1); б) у = <х< е Н~(-1, 1), у = ф К Нз(-1, 1). 4.66. Если у 6 Н'(а, Ь) и о.п. у'(х) = О, то у(х) = сопя( и. в. 4.67. Если у' 6 Нз (а, Ь), то у (х) эквивалентна на <а, Ь] непрерывной функции. 4.68. Если,1(х) б Н2( — оо, оо), то 1пп Дх) = О. ~я~-~ао 4.69. Обозначим через Йг(0,2и) подпространство пространства Нг(0, 2и), состоящее из всех функций у(х) из Н2(0, 2я), для которых ДО) = ((2я).
Доказать следующее утверждение: для того чтобы функция у(х) (из Н2(0,2я)) принадлежала Йз(0,2я), необходимо и достаточно, чтобы сходился числовой ряд с общим членом пз(а~ + ьз), где 2ю 21г а„= ( у(х) созпх4Х, Ь„= / у(х) зшпх4х, а= 0,1,2,... о е Равенство 53 Гл. Н. гуунициональные простпранстпва и интпееральние уравнение ПЛ~$,„,., = Е И+Ь2Нй'+ ) определяет одну из эквивалентных норм Й (О, 2я). 4.70.
Лля того чтобы функция /б Ьг(О,я) принадлежала Й~(О,х), необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд с общим членом йгЬгю Ь» = — ) Дх) в1пйхт(х. При этом 2 о в со ОД'. = ( (/'+/") Их = -~ (й'+1) Ь',. о 2=1 4.Т1. Лля любой,/ б Н'(а,Ь)имеет место неравенство (одномерный вариант неравенства Стеклова) 1~'~-( — '.') 1» ~ а в 4.72. Найти функцию Ях) (й О, для которой неравенство задачи 4.71 превращается в равенство. Показать, что если Ях) У с/о(х), где с — постоянная, то для Дх) имеет место строгое неравенство. 4.73.
Показать, что для любой функции / й Н~(0, 2в.), для которой /(0) = Д2т), имеет место неравенспю гв 2в / гв ° г о о о 4 74. Показать, что для любой функции / Е Нт(0, 2тт) имеет место неравенство (одномерный вариант неравенства Пуанкаре) гв г ° / гв / ~гт(х < 4 / (~')гт(х + — ~ ~ /т)х) .
о о о Указ ание. Воспользоваться тем, что система сов(йх/2), й = = О, 1, 2, ..., является ортогональным базисом пространства Нг(0,2х). 4.75. Доказать, что существует двумерное подпространство пространства Нт(0,2я), для всех элементов которого неравенство задачи 4.74 превращается в равенство. Найти это надпространство и доказать, что для всех элементов из Нт(0,2х), не принадлежащих этому подпространству, неравенство задачи 4.74 строгое. 4.76. Пусть у Е Нг(ф < 1), хг = ~х~ сову, хг = ~х~ в1пуг /(х) = 2гг =,(($х!,у). Показать, что 1пп (т /2(!х~,гр) йр = О.
!вы-а-о о 4.ТТ. ПУсть (ЕН'(ф <1), хт = ~х~ совУ, хг = )х( в1пУ, 1(~е~-д —— = И(у), 0 < гр < 2в.. Показать что з 4. Функциональные проеепранеепеа 59 1пп ~ ~Ь(»е) — У(~х~, »е))~ИОе = О, о 4.78. Пусть | 6 Й» (О < х» < 1, 0 < хз < 1). Доказать, что 1 Уз(хм хо) Их» = о(хз) пРи хз — » О. о 4.79. Пусть х = (хе, хз) = (рсоа у, р вшу) и функция у(х) = — о + ~ р»(а» соз Ьер + Ь» зш Ьр) »»и принадлшкит Н'()х~ < 1). Выразить через а»,Ь» интеграл ~(!8 (Л'+И') 4* р<1 4.80. Пусть еЬ(~р) = — о+~~~ (а»созЬр+Ь»ешь) и ~ х(аз»+Ьз») < оо.
»»и »»и Доказать, что существует функция у(хы хз) 6 Н (~х~ < 1) такая, что Яе-» = ер(~О), х» = рсоз$Р> хз = рз!п~Р. 4.81. При каких значениях о функция у = ~х) '" зш )х~ принадлежит Нз Цх~ < 1), х = (хы хз)7 4.82. Доказать, что ~х~фх!з — 1) 6 Н' Цх/ < 1), х = (хд, хз, хз). 4.83. При каких значениях а функция у = ~х~ "е*' *' принадлежит Н ()х~ < 1)~ х = (х»~хз)хз). 4.84. Пусть у(хыхз) = ~ а»гйпйх»е»*', 0 < х» < я, хз > О. »»и При каких а» функция у принадлежит Н» (О < х» < я, хз > 0)7 4.85, Пусть у 6 Н» (~х~ < 1), х = (хм хо, ...,х„), и > 2. Обязана ли функция у(х) быть эквивалентной непрерывной функции в шаре ~х~ < 1 (ср.
с результатом задачи 4.67)7 В задачах 4.86-4.90 доказать утверждения. 4,86. Если у 6 Н'Я) и у(х) = сопя» п.в. в ('„Р С Ц, то 8гас17 = 0 п.в. в Я'. 4.87. Если у 6 Н»(Я) и ~8габЯ = 0 и.в. в Я, то у(х) = сопя» п.в. в 9. 4.88. Если у 6 Н~Я), д 6 Й»Я), то для всех 1 = 1, 2, ...,и справедлива формула (' уде Их = — ( дуе,. е(х (формула интегрирования по частям). 60 Гл. 11. Фднниионвльныв проппранвтвв и интпевральнмв уравнивая 4.89. Если 1 6 Н~ Я) и д 6 Нг Щ), то для всех 1 = 1, 2, ..., и / 1 дв' в(х / д1в; ах + ( 1д сов (тьхг) йв, Я г где под знаком интеграла по Г стоят следы функций 1 и д на Г.
4.90. НгЯ) есть надпространство пространства НгЯ). Пусть функция 1 6 1г(Д) продолжена, например, нулем вне ь1. Конеиноразносгпнылв ошноивенивлв 1(х) по переменному х;, 1 = 1, 2, ... ...,и, будем называть при Ь ~ 0 функцию оь 1'(хм...,хг+ Ь, ...,х„) — 1'(х) 1 также принадлежашую пространству г г(ьв). В задачах 4.91-4.96 доказать утверждения. 4.91. Пля любой финитной на (а, Ь) функции 1 из 1а(а, Ь) и любой функции д 6 Ьг(а, Ь) при достаточно малых ~Ь~ имеет место формула «интегрирования по частям» (ЬьУ д) — (У 6-лд) 1 — 1 2 и 4.92.
Пля достаточно малых ~Ь~ ф 0 для произвольной финитной в 9 функции У 6 ЬЩ) и произвольной функции д 6 ЬЩ) имеет место формула «интегрирования по частям» (б61,д) = — (1,о, ~д), 1=1,2,...,п. 4.93. Если финитная на (а, 6) функция 1 принадлежит Нг(а, Ь), то при Л вЂ” + 0 о" 1(х) — + 1'(х) в норме Га(а, 6). 4.94. Если для финитной на (а, Ь) функции 1 б Ьг(а, Ь) при Ь вЂ” + О оь1 — + 1(х) в норме Ьг(а, 6), то 1(х) принадлежит Н~(а, 6) и 1(х) является о. и. функции 1(х).
4.95. Если финитная в ь3 функция 1 6 1г(ь1) имеет о. и. 1в; 6 6 1г(а,Ь) при некотором г = 1,2,...п, то при Ь вЂ” + О 661 — + 1,, в норме Аг( и). 4.96. Если финитная в 1~ функция 1 принадлежит Ьг(Я) и при Ь вЂ” + 0 ол1 — + 1в(х) в норме ГаЯ) при некотором 1 = 1,2,...,п, то 1(х) имеет в 1~ о. и. по х;, совпадаюшую с Ях). 4.97.
С помощью результата задачи 4.71 показать, что скалярные произведения о о в пространстве Й'(О, и) эквивалентны. г 4. Функциональные нростнрансенва 61 4.98. Доказать с помощью задачи 4.74, что скалярные произвеле- гн гн уге з уг Мел=/ое~еу)н, со =/ген+(/1н/(/е~) о о о о в пространстве Нг (О, 2и) эквивалентны. 4.99.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
