В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В момент времени Ф = О к поверхности мембраны приложена внешняя сила плотности ~(г, ео, е), действующая перпендикулярно плоскости невозмущенной мембраны. Начальные скорости и отклонения точек мембраны отсутствуют. 1.30. Закрепленная по краям однородная прямоугольная мембрана в начальный момент времени е = 0 получает удар в окрестности центральной точки, так что 1ип /со(х) бх = А, х = (хд,хз), е-+а т где А — некоторая постоянная, ио(х) — начальная скорость. Поставить краевую задачу о свободных колебаниях. Вмвод уравнений и лоен|ановки краевых задач 25 1.31. Пусть электрическая цепь состоит из сопротивления В, самоиилукции Ь и емкости С.
В момент времени $ = 0 в цепь включается э.д. с. Ее. Показать, что сила тока е(х) в цепи удовлетворяет уравнению И'(8) + Ве($) + — ~ е(т) Йт = Ее, Ф > О. о 1.32. Рассмотрим электромагнитное поле в некоторой среде. Исходя из уравнений Максвелла вывести уравнения, которым удовлетворяют компоненты векторов напряженности электрического и магнитного полей для случаев: а) плотность зарядов р = О, е = солях, Л = сопз$, д = сопев, .Т = ЛЕ (закон Ома); б) среда — вакуум и токи отсутствуют.
1.33. Поставить задачу о проникновении магнитного поля в правое полупространство, заполненное средой с проводимостью о, если начиная с момента времени 1 = 0 на поверхности х = 0 поддерживается напряженность магнитного поля Н = Но з(п Й$, направленная параллельно поверхности.
1.34. Поставить краевую задачу об определении температуры стержня 0 < х < 1 с теплоизолированной боковой поверхностью. Рассмотреть случаи: а) концы стержня поддерживаются при заданной температуре; б) на концах стержня поддерживается заданный тепловой поток; в) на концах стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой задана. 1.36. Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде, предполагая, что поверхностями равной плотности в каждый момент времени 1 являются плоскости, перпендикулярные к оси х. Написать граничные условия, предполагая, что диффузия происходит в плоском слое 0 < х <!.
Рассмотреть случаи: а) на граничных плоскостях концентрация диффундирующего вешества поддерживается равной нулю; б) граничные плоскости непроницаемы; в) граничные плоскости полупроницаемы, причем диффузия через эти плоскости происходит по закону, подобному закону Ньютона для конвективного теплообмена. 1.36. Вывести уравнение диффузии распадакнцегося газа (количество распавшихся молекул в единицу времени в данной точке пропорционально плотности с коэффициентом пропорциональности а>О).
1.3Т.,Пан тонкий однородный стержень длиной ), начальная температура которого Дх). Поставить краевую задачу об определении температуры стержня, если на конце х = 0 поддерживается постоянная температура ие, а на боковой поверхности и на конце х =! про- 26 Гм й Постановки краевых задач математической физики исходит конвективный теплообмен по закону Ньютона с окружающей средой нулевой температуры. 1.38. Поставить задачу об определении температуры в бесконечном тонком теплоизолированном стержне, по которому с момента 1= 0 в положительном направлении со скоростью иа начинает двигаться точечный тепловой источник, дающий д единиц тепла в единицу времени.
1.39, Поставить краевую задачу об остывании тонкого однородного кольца радиуса В, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен с окружакяцей средой, имеющей заданную температуру. Неравномерностью распределения температуры по толщине кольца пренебречь. 1.40. Вывести уравнение диффузии взвешенных частиц с учетом оседания, предполагая, что скорость частиц, вызываемая силой тяжести, постоянна, а плотность частиц зависит только от высоты е и от времени й Написать граничное условие, соответствующее непроницаемой перегородке. 1.41.
Поставить краевую задачу об остывалии равномерно нагретого стержня формы усеченного конуса (искривлением изотермических поверхностей пренебрегаем), если концы стержня теплоизолированы, а на боковой поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры. 1.42. Растворенное вещество с начальной плотностью се — — сопзС диффундирует из раствора, заюпоченного между плоскостями х = О и х = Ь, в растворитель, ограниченный плоскостями х = Ь, х = Ь Поставить краевую задачу для процесса выравнивания плотности, предполагая, что границы х = О, х = 1 непроницаемы для вещества.
1.43. Внутри однородного шара начиная с момента времени е = О действуют источники тепла с равномерно распределеннной постоянной плотностью Я. Поставить краевую задачу о распределении температуры при е > 0 внутри шара, если начальная температура любой точки шара зависит только от расстояния этой точки до центра шара. Рассмотреть случаи: а) на поверхности шара поддерживается нулевая температура; б) на поверхности шара происходит теплообмен (по закону Ньютона) с окружающей средой нулевой температуры. 1.44 Пан цлнорцлный шар радиуса В с начальной температурой, равной нулю. Поставить кратзую задачу о распределении температуры при г > О внутри шара, если: а) шар нагревается равномерно по всей поверхности постоянным ттзловым потоком д; б) на поверхности шара происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, температура которой зависит только от времени.
1.45. Начальная температура неограниченной пластины толщины 2Ь равна нулю. Поставить краевую задачу о распределении температуры при 1 > 0 по толщине пластины, если: г А Вывод уравнения н ноен|аноекн краевые задан 27 а) пластина нагревается с обеих сторон равными постоянными тепловыми потоками д; б) в пластине начиная с момента времени 1 = 0 действует источник тепла с постоянной плотностью Я, а ее основания поддерживаются при температуре, равной нулю. 1.46. Неограниченный пилиндр радиуса Л имеет начальную температуру у(г).
Поставить краевую задачу о радиальном распространении тепла, если: а) боковая поверхность поддерживается при постоянной температуре; б) с боковой поверхности происходит лучеиспускание в окружаюпгую среду нулевой температуры. 1.47. Лана тонкая прямоугольная пластина со сторонами (, ел, для которой известно начальное распределение температуры.
Поставить краевую задачу о распространении тепла в пластине, если боковые стороны поддерживаются при температуре к~о=а = уг(х), н~в=ы = уг(х), н~ =о = Фз(х) и~ =г = фг(х). 1.48. Начальное распределение температуры в однородном шаре задано функцией у(г, д, у). Поставить краевую задачу о распределении тепла в шаре, если поверхность шара поддерживается при постоянной температуре иа. 1.49. Лва полуограниченных стержня, сделанных из разных материалов, в начальный момент времени приведены в соприкосновение своими концами. Поставить краевую задачу о распределении тепла в бесконечном стержне, если известны начальные температуры каждою из двух полуограниченных стержней.
1.50. Поставить краевую задачу о стационарном распределении температуры в тонкой прямоугольной пластине ОАСВ со сторонами ОА=а, ОВ=о,если: а) на боковых сторонах пластины поддерживаются заданные температуры; б) на сторонах ОА и ОВ заданы тепловые потоки, а стороны ВС и АС теплоизолированы.
1.61. На плоскую мембрану, ограниченную кривой Ь, действует стационарнал поперечная нагрузка с плотностью Дх,у). Поставить краевую задачу об отклонении точек мембраны от плоскости, если: а) мембрана закреплена на краю; б) край мембраны свободен; в) край мембраны закреплен упруго. 1.52. Лан цилиндр с радиусом основания Л и высотой л. Поставить краевую задачу о стационарном распределении температуры внутри цилиндра, если температура верхнего и нижнею оснований есть заданная функция от г, а боковая поверхность: 28 Гл. й Поеепановки краевых задач матпакаепичеекоя физики а) теплоизолирована; б) имеет температуру, зависящую только от з; в) свободно охлаждается в среде нужной температуры.
1.63. Поставить краевую задачу о стационарном распределении температуры внутренних точек полусферы, если сферическая поверх- ность поддерживается при заданной температуре /(у, 6), а основание полусферы — при нулевой температуре. 1.54. Шар радиуса В нагревается плоскопарэллельным потоком тепла плотности й, падающим на его поверхность, и отдает тепло в окружающую сроку в соответствии с законом Ньютона. Поставить краевую задачу о распределении температуры внутренних точек шара.
1.56. Пусть п(х,з,з) — плотность частиц в точке х, летюцих с постоянной скоростью и в направлении з = (вы аз,зз) в момент времени 1; обозначим через а(х) коэффициент поглощенна и Й(х)— коэффициент умножения в точке х. Предполагая рассеяние в каждой точке х изотропным, показать, что п(х, з,г) удовлетворяет интегро- дифференциальному уравнению переноса — ® + (з, йтзв1п) + а(х) и = — / п(х, з, 1) 6з + Р, 1 дп ф(х) г г г ~е'~=з где г'(х, з, 1) — плотность источников, фЗ(х) = а(х) й(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
