В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике (1118002), страница 3
Текст из файла (страница 3)
а) Закрепленная мембрана. Если край мембраны жестко закреп- лен, то отклонения точек мембраны на границе Ь не происходит и, следовательно, и~с = О. б) Края мембраны свободны, т.е. они могут свободно переме- щаться по вертикальной боковой поверхности цилиндра с основани- ем Ь. В этом случае би будет произвольной как в 6, так и на Ь, и из ди~ условия (2)получаем — ~ = О. дн ~ь в) Если к краю мембраны приложена сила с линейной плотностью ~м то криволинейный интеграл в формуле (2) в этом случае заменит- ся на / ( — Т вЂ” +~~) биб1, Ь дн и вследствие произвольности би на Ь получим (-Т вЂ” + ~Д = О. г) В случае упругого закрепления края мембраны сила, дейст- вующая на краю, имеет плотность -йи, где й характеризует жест- кость закрепления мембраны.
Для получения граничного условия дн нужно в граничном условии (-Т вЂ” + ~Д = О заменить ~з на -Йи. Тогда получим ( — "+Ли)~ =О, где й=Т. Выведем уравнение движения мембраны. Пусть и = и(х, 1) — урав- нение, описывающее положение мембраны в момент времени й Со- гласно принципу Даламбера функция и(х, 1) удовлетворяет дифферен- циальному уравнению ТЬи = -(У вЂ” ран) (У = У(х, Ф) — плотность внешней среды, -р(х) им — плотность силы инерции). Таким обра- зом, уравнение колебаний мембраны имеет вид 1б Гж 1. Лосапакоеки краевых задок мапаекопаическоя Физики ог1зв — и = Р(х, Ф), где аг = Т1 р Р = — 1(хД(р. (4) Из физических соображений ясно, что для однозначного описания процесса колебаний, кроме уравнения (4) и условия на границе Ь (одного из условий а)-г)), нужно задать начальное положение (форму мембраны при $ = О) и начальные скорости точек мембраны.
Таким образом, имеем для уравнения (4) задачу: найти дважды непрерывно дифференцируемое решение и(х, $), х Е С, а > О, непрерывно дифференцируемое в аеа при $ > О, удовлетворяющее а'Ьи — иаа = Р(х,1), и~с=о =ар(х), иаЬ=о =ар(х), где ар(х), ар(х) — заданные функции. Кроме того, в зависимости от условий на краю мембраны, функция и(х,8) должна удовлетворять одному из условий в)-г). Пример 4. Уравнение неразрывности. Задача обтекания.
Уравнение акустики. Рассмотримдвижение идеальной жидкости (газа), т.е. жидкости, в которой отсутствуют силы вязкости*>, Пусть и = (па, пз, пз) — вектор скорости движения жидкости, р(х, а) — ее плотность, 1(х, а) — интенсивность источников. Выделим в жидкости некоторый объем й, ограниченный поверхностью Я. Тогда изменение массы жидкости внутри аа в единицу времени равно а)( уб й й С другой стороны, это изменение должно равняться приращению количества Яа жидкости, выделенной источниками, минус количество Яз жидкости, вытекающее через поверхность Я.
Очевидно, аеа =/ Дх,а)Их, Яз = ~р(п.й)а(е =/бааа(рп)а1х, й Я й где и — внешняя нормаль. Таким образом, имеем ~(ра + а(ааа (р ° и) — 1] а(х = О. й Вследствие произвольности й и непрерывности подынтегрэльного выражения необходимо ра+бааа(р и) = 1(х,а). Это и есть ураекекке нераэрыеносали движения идеальной жидкости. Рассмотрим задеку об обалекакик твердого тела (а с границей Я потенциальным потоком несжимаемой однородной жидкости, имеющей заданную скорость по на бесконечности при отсутствии источников. Так как р ьз сопз1 и 1 = О, то эта задача приводится к решению уравнения аЛэижение жидкости рассматривеетсе в эйлеровых координатах.
17 З 1. Вмвод уравнений и постановки кроевыо задач 61и и = О (2) при условии еп(з = О, где и„= (в, ез), вз — внешняя нормаль. Пусть и — потенциал скоростей, т.е. е = кгае(и. Тогда уравнение (2) принимает вид 61и кгве(и = ди ~ = е1и = О а граничным условием становится — = О так как д« и„= (е, вз) = (Втаб и, вз) = —. ди Из физических соображений ясно, что и(х) должна стремиться к ио при ~х~ -+ оо, где ео — скорость потока на бесконечности. Таким образом, указанная задача свелась к решению задачи Ьи=б, х й'й, йш ягае(и = ео. )в~~со У р овне ни я акустики.
Предположим, что находящийся в некотором объеме нлеольный газ под действием внешних сил с плотностью Р(х, 1) совершает малые колебания около положения равновесия и что движение газа адиабатическое, т.е. давление р(х,г) и плотность р(х,1) связаны соотношением (уравнением состояния) (4) где Ро,Ро — начальные давлениЯи плотность, а постоаннел 7 ) О.
Обозначим через и(х,С) = (ид(х,г),из(х,г),из(х,е)) вектор смещения газа относительно положения равновесия, а через и(х,1) = = (и1(х, М), из(х, Ф), из(х,з)) — вектор скорости: — = Ф. ди д$ (5) В наших предположениях (р — ро, и, е и их производные малы) уравнение (4) можно переписать в виде Р = Ро (1 + 7 — ). (6) а уравнение неразрывности (1) — в виде (7) ре + ро 61о э = О (считаем, что интенсивность источников равна нулю).
В соответствии с захоном Ньютона полный баланс сил, действующих на малый объем газа Ь'о', равен нулю, т.е. р — Ьо'+бгас)рдеР = РЫl откуда после замены р на ро (в рамках нашего приближения) получаем 18 Га. 1. Поетпановни краевых задач аатпематпичееноа физики ро — = г — 8габ р.
ди дс (8) дифференцируя (8) по с и пользуясь соотношениями (б) и (7), находим уравнение для вектора скорости и — = а 8габбсчв+ — —, дги з . 1 до дсг Ро дс' (9) где а =ро7/ро. Если предположить, что в начальный момент времени имеет место равенство сйчи = -1, то из (7) и (5) получим, что для всех последующих моментов времеви имеет место равенство р+ ро с(1ч и = О. Отсюда и из (5), (б) и (8) вытекает уравнение для вектора смещения — = а 8гас(с(1чи+ — г". д'и з .
1 дсг Ро (10) Наконец, дифференцируя уравнение (7) по 1 и используя (б) и (8), получим уравнения для плотности р и давления р ри — — а Ьр — с)1чР, 2 ри = а Ьр — а б1чг'. (11) Уравнения (9)-(11) называются уравнениями а«уста««и. Пример 5. Задачи о распространении тепла. Вывод уравнения теплопроводности базируется на законе Фурье, согласно которому количество тепла, проходящее за время ссС через малую площадку с1сЯ, лежашую внутри рассматриваемого тела, определяется формулой где и — нормаль к площадке, направленная в сторону передачи тепла, к(х,и) — коэффициент внутренней теплопроводности, и(х, 1)— температура тела в точке х = (хс, хз, хз) в момент времени С.
Предположим, что тело изотропно в отношении теплопроводности. Тогда к(х, и) не зависит от направления площадки. Лля вывода уравнения, которому удовлетворяет температура и(х,о), вьшелим внутри тела объем Й, ограниченный поверхностью Я. Согласно закону Фурье количество тепла, втекающее в Й через поверхность Я за промежуток времени (1с, 1з), равно сг ~ дС ~й — Ь аг ~а~б1с(йб аби)1х. с, з сс и Если г'(х, 1) — плотность тепловых источников, то количество тепла, образованное за их счет в Й за указанный промежуток времени, равно сг с( аУК(х,с) Их.
с ц У Д Вывод уравнений и постановки нраевых задан 19 Общее количество притекшего в й за время от Сс до Сз тепла можно подсчитать также и через приращение температуры: сс /ср(и(х,ьз) — и(х,сс)) сЬ = / с(с/ср — дх, и с, п где с(х) и р(х) — теплоемкость и плотность вещества. Следовательно, с, / сй/(ср — — йо(ййгас)и) — Р(х,1)) с(х = 0 (2) с, а (при этом предполагаем, что подынтегрольная функция непрерывна).
В силу произвольности й и промежутка времени (сс, 8з] из (2) вытекает равенство ори с — Йсс (й бгад и) = г'(х, С), (3) называемое ураонениевс спеплопроводносспи. Если коэффициент теплопроводности й не зависит от температу- ры и, й(х,и) = й(х), то уравнение (3) становится линейным. Если тело Оцноролно, то с(х) = сопев, р = сопев, й = сопев и уравнение п инимает в Р нд ис = а Ьи+~(х,$), (4) где а = Ц(ср), У(х,с) = г'(хД((ср). Из физических соображений следует, что для однозначного описания процесса распространения тепла необходимо, кроме уравнения (3) или (4), задать начальную температуру, т.е. и)с-о — — р(х), и температурный режим на границе. Для случая когда на границе Г тела Х1 поддерживается заданная температура, граничное условие выглядит так: Для случая когда на границе задан тепловой поток д, граничное условие выглядит так: Й! =" где Ь = дс'й, сс — внешняя нормаль.
В частности, если тело С тепло- изолировано на границе, то В случае если окружающее тело 0 пространство имеет заданную температуру, считаем, что на границе происходит теплообмен по закону Ньютона, т.е. 9)г = а(ис — и)г, где д — тепловой поток, а— коэффициент внешней теплопроводности (теплообмена), ис — температура окружающего сс пространства.
С другой стороны, в единицу времени с единицы площади границы Г внутрь тела сс по закону дн Фурье идет тепловой поток 9с = й —. Эти потоки должны быть равны, т.е. 20 Ге. Л Лоппакоеки краевых задач макгемаигичеекос физики Пример 6. Задачи о диффузии. Вывести уравнение диффузии вещества в неподвижной среде, занимающей ограниченную область Й с границей Г, если задана плотность источников г (х, с) и диффузия происходит с поглощением (например, частицы диффунди- рующего вещества вступают в химическую реакцию с веществом сре- ды), причем скорость поглощения в каждой точке пространства х е Й пропорциональна плотности и(х, с) диффундирующего вещества. Получить краевые условия для следующих случаев: а) на границе области поддерживается заданная плотность; б) граница непроницаема; в) граница полупроницаема, причем диффузия через границу про- исходит по закону, подобному закону Ньютона для конвективного теплообмена.
Вывод уравнения основывается на законе Нэрнста, согласно кото- рому количество вещества, проходящее за малый промежуток времени сзс через малую площадку сей, равно ЛгЯ = -Р(х) — ЛЯгвг|, ди где Р(х) — коэффициент диффузии, ее — нормаль к элементу бсЯ, направленная в сторону перемещения вещества. Пусть р(х) — коэф- фициент плотности среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
