Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике

В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 16

DJVU-файл В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике, страница 16 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2660): Книга - 4 семестрВ.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, стра2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "В.С. Владимиров - Сборник задач по уравнениям математической физике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 16 - страница

Л„= —, гр„= вгппх, гр„= совпх (п = 1,2,...), если 00 2» а„ » 2» а„= / ы(2) сов пв й ф 0; Ло = —, [Ро = 1, если ао = / ог(С) ггв ф. О. 1 ао о о 1 5.40. 22(х) = Л /С(х у)У(у)ггу+Дх), гпе о Глава П1 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ з 6. Основные и обобщенные функции Обозначим через У э— в У(Гс") совокупность всех бесконечно дифференцируемых финитных функций в П".

Последовательность (~рэ) функций из У называется сходящейся к функции у (из У) если: а) существует такое число зб > О, что эпрр ~оэ С Ул,. б) при каждом а *ел" р"„з (х) — ~ ро (х), К вЂ” + о *). При этом пишем уе — + ~р, й — + со в У.

Совокупность У функций с введенной сходимостью называется пространством основных фукккоб У. Обозначим через Я = Я(И") совокупность всех бесконечно дифференцируемых функций в Я", убывающнх при ~х~ — ~ оо вместе со всеми производными быстрее любой степени ~х) 1. Последовательность (~рэ) функций из Яназывается сходящейся к функции у (из Я), если для всех а и )з е ел" хор ~рэ(х) — ф х"р у(х), й — ~ оо.

При этом пишем уэ — + ез, й — + оо в .У". Совокупность Я функций с введенной сходимостью называется пространством основных фуюеккй 5'. 6.1. Пустыр 6 У. Выяснить, есть ли среди последовательностей: 1) — ~о(х); 2) — у(йх); 3) — ~о ( — ); й = 1,2,..., сходящиеся в У. 6.2. Пусть п = 1 и 1 при — 2с(х < 2с, Х(х) = 0 при )х) > 2с. Показать, что функция у(х) = / ~(у) ы,(х — у)е(у, *1 По поводу обозначений см. с.

б — 8. у о. Основные и оооотненные е1уннннн 89 где ы, — «шапочка», является основной из У(Вт), причем О < т1(х) < 1, тт(х) гн 1 при — е < х < е, л(х) = 0 при )х( > Зе. 6.3. Пусть Сз, = ( ) У(х; 2е) — 2е-окрестность ограниченной обеео ласти С и Х(х) — характеристическая функция области Сз„т.е.

т(х) = 1, х Е Сз, и т(х) = О, х е Сз,. Доказать, что функция т1(х) = / 1т(д) от,(х — д) е(у основная из У(В"), причем 0 < т1(х) < 1, тт(х) = 1 при х Е С,; тт(х) = 0 при х60з,. 6.4. Пусть функция тт(х) удовлетворяет условиям задачи 6.2, Н(х) = ~~ тт(х — еи), е(х) = — "* .

Н(х) и=-со Доказать, что Н Е С '(Вз), Н(х) > 1; е Е У(Вт), 0 < е(х) < 1; е(х) з— в 1 при /х) < е ие(х) = 0 при (х) > Зе; 2 е(х — е ) =1. н=-со 6.5. Доказать, что существуют такие функции ~ее Е У(В~), б > 1, что ~ре(х) = 1 при (х! < ю — 1, уе(х) = 0 при )х! > ю и ~зт~ ~(х)) < с, где постоянная С не зависит от о. 6.6. Пусть непрерывная функция у(х) финитна: у(х) = О, (х( > В. Показать, что функция 1,(х) = 1Яу)ш,(х — у)т(у (е < В) основная из У(В"), причем уе(х) = 0 при ф > В+ е. Показать, что 1,(х) — ) У(х), е — + О.

6Л. 1) Доказать, что функция з "~(0) , ы — 1 ф(х) = — <р(х) — п(х) ~ ~, х, т = 1,2, в=о основная из У(В'), где ет 6 У(Вт) и и е У(В'), тт = 1 в окрестнос- ти х = 0; 2) доказать, что функция Зт(х) — тт(х) тт(0) а(х) основная из У(В"), где ет Е У(Вт), п(х) — функция из задачи 6.7, 1) и а е С (В~), имеет единственный нуль порядка 1 в точке х = О. 6.8.

1) Показать, что функция 1от из У(В') может быть представ- лена как производнал от некоторой другой функции 1оз из У(Вт) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию 90 Га, 111. Обобщенные фунниии / ун (х) дх = 0; 2) показать, что всякая функция ~о(х) из У(В') может быть представлена в виде у(х) = юе(х) / ю(х') сЫ + ~о~ (х), где у~ Е У(В'), а ем(х) — любая основная функция из У(Вз), удовлетворяющая условию ~ ~ре(х) Их = 1. У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 6.8, 1).

6.9. Показать, что У с Я и из сходимости в У следует сходимость в,К 6.10. Пустыр й .К Выяснить, есть ли среди последовательностей: 1) -„у(х); 2) -у(йх); 3) — ~р Я й = 1, 2,..., сходящиеся в 5; 6.11. Пусть <р Е Я и Р— полипом. Показать, что ~рР Е .К 6.12. Пусть функция ф Е Се'(Вз), ф(х) = 0 при х < а и ограничена вместе со всеми производными Показать, что функция ф(х) е '* основная из .з"(В'), если и > О. Обозначим через У'— : У'(В") совокупность всех линейных непрерывных функционалов на пространстве основных функций У. Всякий функционал 1 6 У назовем о6о6щенной функиией (из пространства В').

Обозначим через.9' = Я~(В") совокупность всех линейных непрерывных функционалов на пространстве основных функций 5~ Всякий функционал 1 Е .р" назовем обобщенной функцией медленного роста (из пространства Я'~). Значение функционала 1 на основной функции ~р обозначим через (1, ~о). Чтобы указать аргумент основных функций, иногда вместо 1 и (1,у) будем писать 1(х) и (1(х),х(х)). Последовательность (1ь) обобщенных функций из У' называется сходящейся к ойобщенной функиии У (из У'), если (1ь 'р) — + (1 Ф) й — + со для любой у из У.

В частности, ряд из обобщенных функций и~+из+ ... +из+... называется сходящимся е У' к о6общенной функиии 1, если для любой у й У числовой ряд ~', (ию у) сходится к (1, ~р). к=з Сходимость последовательности и ряда в Яопралеляется аналогично. Говорят, что обобщенная функция 1 раева нулю в ойластли С, если (1, у) = 0 для всех у из У с носителем в С. Обобщенные функции,1~ и 1з называются разными в о6лесгли С, если их разность ~~ — 1з равна б б. Основные и обобщенные фунниии 91 нулю в С; Д и /з называются равными, если (уму) = Цз, ~р) для всех ~рс У.

Лосиелелем обобщенной функции у называется множество всех та- ких точек, ни в какой окрестности которых у не обращается в нуль. Носитель / обозначается через вирр у. Если вирр у — ограниченное множество, то у называется филиграней обобщенной функцией. Регулярной обобщенной функцией из У'(В") называется всякий функционал вида (~, у) = ~ /(х) р(х) е(х, у й У(В"), где у — локально интегрируемая в В" функция. Если У(х) — функция медленного роста в В",т.е. ( 1((х))(1+ )х0-ыдх ( оо при некотором из > О, то она определяет регулярную обобщен- ную функцию из Я (медленного роста).

Всякая обобщенная функция, не являющаяся регулярной, называ- ется сингулярной. Примером сингулярной обобщенной функции является б-функция Лирика, определяемая правилом (б, р) = р(О),,р б У(В"). Обобщением б-функции является поверхностная б-функция. Пусть Я вЂ” кусочно гладкая поверхность и д(х) — непрерывная функ- ция на ней.

Обобщенную функцию дбю действующую по формуле (лбю у) = ( п(х) р(х) И8„у й У(В"), 5 назовем нростлым слоем. В частности, если 8 есть плоскость 1 = О в В"+'(х,г), то дбр-в>(х, $) обозначим,и(х) б(е), так что (д(х) б(г), 'р) = ( д(х) 'р(х, О) их. к" При и = 1 простой слой бзн(х) на сфере Зк обозначим через 6( — )х~), так что (б( — )х0,р) = у(В) + у( — В). Произведением 1" из У'(В") и функции а(х) й С' (В") называ- ется обобщенная функция а7, действующая по формуле (аУ,у) =У, р), рб У(В") Пусть у(х) Е У'(В"), А — неособое линейное преобразование и Ь вЂ” вектор в В".

Обобщенную функцию /(Ау + Ь) определим фор- мулой яАр~ею) ув ~ ~ ~бе(я) ) бес А! /' При А = 1 имеем сдвиг обобщенной функции ( на вектор — Ь: Га П1. Ооооеценные функции Щу + Ь), ~р) = (1, ~р(х — Ь) ) . Например, (б(х — хо), ~р) = (Б, уг(х + хо)) = у(хо) — сдвиг 5(х) на вектор хо. При А = — Х, Ь = О имеем отражение (у( — х),у) = (~,~р( — х)). 6.13. Локозать, что б(х) — сингулярная обобщенная функция. Дать физическую интерпретацию ее. 6.14. Дать физическую интерпретацию обобщенным функциям: 1) 25(х — хо); 2) ~ щьб(х — хь); о=1 3) р(х) бя(х); 4) )харбен(х — хо); 5) 25(Вг — ~х — Ц) + 35(Вг — ~х — 2~).

Найти их носители. 6.15. Показать, что: 1) 5(х — и) — «О, и — +со вУ(В); 2) Бян(х) — Ф О,  — + со в У . 6.16. Доказать, что .г"' с У' и из сходимости в Я' следует схо- димость в У . 6.17. Доказать, что: 1) е* Е У (ВЯ), е* Е.У (В~); 2) е~~* е У'(В~); 3) е*вще* Е.г"~(В~). 1 6.18. Локазать, что функционал 9' —, действующий по формупе (я-',е)=чр /~и= Г '(1;-1)~~* и. еее.

— сингулярная обобщенная функция, 6.19. Вычислить пределы в У'(Вг) при е — + +О: (1/(2е), )х) < е, 1) У,() =~( ' — ' 2) 3) — е * Вее)' 4) — е1п -„5) — ещ 21/Я х е" кхг е' 6.20. 11оказать формулу Сохоцкого 1 = +екЮ(х) + 9' —. 1 хх 10 х 6.21. Вычислить пределы в У'(В') при 1 — ~ +со: гзн -г г е' ' -мс 1) —; 2) —,; 3) —,; 4)— х — 10' х — 10 х+10 х+10 5) 1™ъе'*е щ > О З б.

Основные и обобщенные функции 6.22. Найти предел Я, й — в оо, в У'(В1), где (3з,у1) = Ъ'р / — у(х)Их = = 1пп ('+[ ~р(х)Их, сое У. со 6 6.23. Доказать, что ряд 2 аьб(х — к): 1) сходится в У' при любых аь, 2) сходится в Я', если [ав[ ( С(1+ [й[) 6.24. Пусть ф 6 У(Я"), ф > О, ~ у)(х) Их = 1. Доказать, что е "ф (-) — + б(х), е — в +О в У'(В"); в частности, со,(х) — + Ю(х), е — в О в У'(Я"). 1 6.25. Показать, что функционал бз —, действующий по формуле хв у,з 1 ) ~ )~ у( )-Ю( ),~х — сингулярная обобщенная функция.

6.26. Показать, что: 1) а(х)б(х) = а(О)д(х), а 6 С '(В"); в частности, хб(х) = О, хЯД1. 2) хая — = 1; 3) х Я вЂ” =х ", п1>1. 1 х 6.2Т. 1) Пусть обобщенная функция у' равна нулю вне отрезка [ — а,а]; доказать, что У=111, где 116 С (В') и 11(х) =1 в [ — а — е, а+с), е > О любое; 2) пусть у' 6 У'(Я") и и 6 Ссо(Я"), о(х) = 1 в окрестности зпрр у; показать, что У = Чу и у 6 .~ (Й"). 6.28. Доказать, что Ю(ах) = — б(х), а ф О. 1 [и[в 620.

Доказать, что (ау)(х+Ь) = о(х+Ь) у(х+й), где а Е С (В"), й 6 Дл 6.30. Доказать, что обобщенная функция Р(, у1(х,у) 1 1о(*,У) — (0,0) „„)' УР*~ ) хе+уз у — *", вВ.Во<1 в.~ „г>1 удовлетворяет уравнению (хз + уз) Р1 = 1 в У (В~). в+уз Гж 111. Обобщенные фунниии 6.31. Пусть 1 6.У' и Р— полипом. Показать, что 1Р 6 Я'. 6.32. Пусть 1 Е У'(Вз) финитна и л(х) — произвольная функция из У(В~), равная 1 в окрестности зцрр 1.

Положим У(х) = —. ~(х'), ", х = х+(у, Показать, что: л 1) 1(х) не зависит от выбора вспрмогательной функции и; л 2) 1(х) — аналитическая функция при х б зцрр1; 3) 1(х) =0( — ), з — ~ оэ; 4) /(х + Ы) — У(х — Ы) — + ~(х), е — ~ +О в У'(В'), 6.33. Пусть 1 6 У (В'), зцрр1 С (-а, о]) и О б У(Вз), зу(() = 1 в окрестности зцрр 1. Доказать, что функция 1(з) = ф(),0(()е"~), х =х+бу, не зависит от л, целая и удовлетворяет при некотором ш > 0 и любом е > О оценке ~У(х+ 1у)~ < С,е('+'~~з~(1+ )х!) 6.34.

Пусть 1 Е У (В") и ецрр1 = (О). Показать, что 1 однознач- но представляется в виде ~(х) = ~ С Р б(х). О<)а~<к оо 6.35. Пусть ряд 2 а„дбб(х) сходится в У (В~). Показать, что о„= 0 при н > оо. Ответы к $ 6 6.1. 1) Сходится к нулю; 2) и 3) не сходятся, если ~р(х) ф О. 6.6.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4986
Авторов
на СтудИзбе
470
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее