Демидович Б.П. (ред.) - Задачи и упражнения по математическому анализу. Для втузов. (десятое) (1978) (Б.П. Демидович - Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов - 1978 - 10-е издание), страница 7

359*". Вычислить ?' (8), если ) (х) = ~~Гх. 360. Найти ~'(О), ?'(1), 1'(2), если ?(х) =х(х — 1)'(х — 2)'. 361*. В каких точках производная от функции ~(х) =х' численно совпадает со значением самой функции, т. е. 1(х)=г'(х)? 362. Закон движения точки есть з=-512, где расстояние а дано в метрах, а время 1 — в секундах. Найти скорость движения в момент времени 1=3. !гл. и ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 363. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = 0,!х', проведенной в точке с абсциссой х = 2. 364. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у=э)пх в точке (и; 0). 366. Найти значение производной от функции ! (х) = — в точ- 1 х ке х=х,(Х,~=О).

366*. Чему равны угловые коэффициенты касательных к кри- 1 вым у= — и у=х' в точке их пересечения? Найти угол между этими касательными. 367**. Показать, что следующие функции не имеют конечных производных в указанных точках: а) у= ~г х' в точке х= 0; б) у= ~/х — 1 в точке х=1; в) у=1созх) в точках х= — и(й=О, ~ 1, ~ 2, ...). 2й+1 $ 2. Табличное дифференцирование 1'. Основные правила нахождении производной. Если е — постокннаи и и=!р(х), о=ф(х) — функции, имеющие производные, то 1) (с)' = 0; О) (ио)'=и'о+о'и; 2) (к)' =.- 1; (О иа (е )' а~' 3) (и х о)'=и' х о', (о Ю О), 4) (си)' = си', 2'.

Таблица производ (1х)<1). 1. (хл)' = лк" !. П. ()г х)'= — (х > 2)г х П1. (5!п х) =осах. 1У. (соз х]' =- — 5!и х, У. (!к х)'= —; 1 СО5' Х' У1. (с!К к)' = — —. ! 5!пах 1 УП. (агсз!их)'= у 1 — ха 1 УН!. (агосоз х)' =-— ГТ вЂ” ха иых основных функций 1Х. (агс!их)'= —. 1 !+х'' 1 Х.

(агсс!Кх)' = — —. х'+1' Х! (а») — а» 1п а. ХП. (е»)'='е». ХШ. (1п х)'= — (х > 0). 1 х Х1У. (1ок,х)' 1 1ои е х1па к ()х) < 1). (х > О, а > 0). 45 ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕг!ЦИРОВАНИЕ и Ч. (зп х)' = сп х. ХЧ11!. (сич )' = — — „ 1 Х!Х, (Аг Ьх) = ! у ! ХХ. (Агой х)'= ! )' х' — ! ХХ!. (Агич х)'= —, 1 ! — х' ХХ11. (Агс!)зх)' = — —,, ((х( >!)„ ! 3'. Правило двфферснпи рован ия слокгной функции. Если у= /(и).н пб.ф(х), т. е. у=) (гр(хЦ, где функции у и н имеют производные, то ух=рики или в других обозначениях г(у ду он их г(и ох ' Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа днф.

фсренцируемых функций. Пример 1. Найти производную функции у = (ха — 2х+ 3) а. Решение. Полагая у=и', где и=:ха — 2х+3, согласно формуле (!) будем иметь: у' = (иа)„(хе — 2х+ 3)» =- Би' (2х — 2) =- 10 (х — 1) (х' — 2х+ З)а. П р и ме р 2. Найти производную функции у =з1пз 4х. Решение. Полагая у=из; и=юп о; о=4х, находим: у'=Знз созе 4=.!2юпе4хсоз4х. Найти производные следующих функций (в №№ 368 — 408 правило дифференцировании сложной функции не нспользуетси). ХЧ1. (сп х)' = зЬ х. ХЧ11. (!о х)'= —. ! с!Пх' () х) > !).

() х! < 1). 46 1гл. и диаавввицивовьииа аиикций А. Алгебраические функции 369. у= — — — х+х' — 0 5хз. 1 1 4 3 3 Зхз 371. у = —— 373. у= Ьаа„„з. 375. у=Зхз — 2х' +х '. а Ь 377. у=— 379. у= —. 2»+ 3 хз — Зх+ 3 ' 381.

у= — ' 1+ Ье 1 — Ух 368. у = хз — 4хз+2х — 3. 370. у = ах'+ Ьх+ с. 372. у =а!" +Ы'"+а. 374. у= — "+1п2. 376*. у=х' ьеехз. 378. у = —. а+ Ъх с+ах ' 2 1 380. у= — —. 2х — 1 х Б. Функции тригонометрические и обратные круговые 383. у = 1и х — с! 5 х'. 385. у = 21 ЬЗп 1 — ((з — 2) сов 1, 387. у=хс1дх. (! + х') ага!а х — х 389. у= 382. у =5еЗпх+Зсоах.

384 =з'""+са'х з1п х — саз х 386. у = агс15 х+ агсс1и х. 388. у = х агсз(п х. В. Функции пок тельные и логарифмические 391. у=(х — 1)е. х' 393. у= —. е" 395. у = (х' — 2х+ 2) е '. хз 397. у= —. 1и х ' 390. у =х'е». е» 392. у= —,, хе ' 394.

((х) =е»созх. 396. у=е"агсв!пх. 398. у=х'1пх —. хз з' 1 1пх 399. у = — + 2 1п х — — . х х 400. у = 1п х 15 х — 1п а 1о6, х. хз 402. у= — „. сйх' 404. у= —. Зс!!з х !пх 401. у=ха(1 х. 403. у=йх — х. Г. Гиперболические и обратные гиперболические функции танличное диФФеРенциРОВАние 405. у = а ге(д х — Аг1)г х. 406. у = агсз(п х Агз)г х.

Агсих Асс на х 407. у= —. а 408. у=— ха Д. Сложные функции Найти производные следу!Ои(их функций (в Лез№ 409 — 456 необходимо использовать правило дифферегннирования сложной функции с одним промежуточным аргументом): 409. у=(!+Зх — 5хз)а". Решение. Обозначим 1+Зх — Бх'=и; тогда у=им. Имеем: у,',=ЗОиай и„=-3 — !Ох; у,: — 30и" (3 — !Ох) —.30(! ! Зх — 5х')а' (3 — 10х). 410 — ( ох ~ ь)а 411. ) (у) =- (2а -1- ЗЬу) з. 412. у=(3+2хз)'.

413. 3 1 ! 56 (2х — 1)г 24 (2х — 1)а 40 (2х — 1)а ' 4!4. у = ! 1 — х' 415. у = !!а+ Оха. 416. у=(ап — хг)н. 4!7. у=(3 — 25!пх)з. Р е ш е н и е. у' =5 (3 — 2 з(их)',(3 — 2 з(п х)' =5 (3 — 2 з!и х)' ( — 2 сон х) = = — 10 соз х (3 — 2 з( и х)а.

4!В у !ах 3 19~к+ !и х 1 ! 5 419. у=)'с(их — )'с1да. 420. у=2х+5соз'х. 421*. х=созеса!+Веса!. 422. !(х) =— 1 6 (1 — 3 соз х)з ' 425. у= у'з!пах+, 426. у=$' 1+агсз!пх. а 1 427. у =- ) гааге 19 х — (агсейп х)'. 428. у= ! 429. у =)l хес+х агсгк х ' 430.

у= — РГ2ех — 2" +1+1п'х. 43!. у=з!пЗх+соа — +1д$'х. 5 Р с ш е н и е. у' = соз Зх (Зх)' — шп — ( — ) + ( у' х )' = 5 (, 5 ) созе р'„ 1, х 1 == 3 соз Зх — — з1п — + 2 )гх созе )гх 452. у=з!п(хз — 5х+1)+19 —. 453. 1(х) =соя(ах+Я. 434. 7(!) =5!п(з!п(1+<р). 435. у=',+"",. 436. ~(х) =ас16-„. ! 1 437. у= — — соа(5х') — — соах'. 20 ' ' 4 438. у = агсвп2х.

Решение. у'= ' (2х)'= 1, 2 У 1 — (2х)в 'г' ! — 4хв 439. у= агсвп —,. 440. 7 (х) = агссоя $'х. 44!. у= агс!д —. 1 442. у = агсс1д —, 1+х 443. у=5е ". 444. у= —,. 1 ах 445. у =х'1О". 446. 7'(!) — -! вп 2'. 447. у = агссояех. 448. у = 1п (2х + 7). 449. у = 1д в п х. 450. у =! и (! — х'). 451. у =-)п'х — 1п ()их).

452. у=-!п(ех+5я!их — 4агса)их). 453. у =- агс(6 (1п х) +1п (агс16 х). 454. у =--)l )их+1+!и(Ух+1). Е. Раэные функции 455"". у=вп'5хсозв —. э' 456 457 458 460 462 463 464 465 466 467 468 469 дифааеанциеовхниа авиаций 11 4 у=— 2(х — 2)в х — 2' 18 10 1 у 4 (х — 3)в 8 (х — 3)в 2 (х — 8)в хв 459 - в 2х 2х+1 8 (1 — хв)' ' х хв у= 461. у= ав Уа~+хв . 8 У(1+~')' ' 3 з — 18 в — 9 з —., б в У = — РХ Хв + — Х ~Г Х + — Х З Х' + — Х' )Х' Х.

2 7 8 18 у = ~,/ (1+ хв)в у'(1+ хе)в 4 ~ / х — 1 у=х'(а — 2х*)'. =( — -'::) 9 3 2 1 у= — — + — — —. 8 (х + 2)в (х -~- 2)' (х + 2)в 2 (х + 2)в у = (а+ х) ~' а — х. у= ! 2! ТАБЛИЧНОЕ ДИФФЕРЕННИРОВАНИЕ г -.— )к/д + )/д. г(!) =-(21+1) (31+2) ~l 31+2. ! Ч == |и () ! + ек — 1) — 1п ($' ! + ек + 1).

у = = сиак х (3 сиак х — 5) ! |5 !|Ек х — || 1|Иск ! |О |ск х е || а|дк к 470 47! 472 473 474 475 476. у — — -162 5х. 477. д= —,, а!п(хк). 478. у= Б!пк(гк). 479. у=- ЗБ|пхспакх+Б|пкх. 480. у= — „1д'х — !ах+к. 481' у' зч ' + 3 с!ах. ! СО5Х 4 482. к — $~ Ек дг. к *. ккк, к-- «к ! к — ! 484. д=- —,(агса|п х)'агссаах.

485. у — агса|п '— , 486. у.— — агса!п=. 487. у= у! — к ! / /~ 488. у = = а гса | и ( х )/ — 2! . =)/а (, У ° ). .к 489. у =-)/ак — хс+ а агсеЗп — ' Х 490. у = х У ак — х'+ и' агса!и — . 491. д=-агса!и(! — х)+)/2х — .к'. ! — ! 492. у.—. (х — —, агса|п )Гх-с —,)/х — х*. 2| '2 493.

у =1п (агса!г! 5х). 494. у;-= агса!п(|их). Б!" —, 4 Х х яии 2 2 + 495. у=агс(и — '' —. 496. у= —.агс18 —, ! — к секи ' 3 а 497. у= ЗЬ2 агс18 ),/ — — (ЗЬ |-2х) )/Ьл — х'. 498. у=- — ) 2агсс1 — ' д|а 1' 2 499. у==) е ". 500. у=-е""*'. 50!. Ь'(х) — --(2та +Ь)Р.

502. Р(!) =еи' соа()1. 503. д= .„.— ' ° 504. у= —,,е-*(3Б|пЗх — соаЗх). |и 2|и 5х — 6 саа 9х!с'"" ! 505. у =- х"а "'. 506. у . — )/СОВ ХО!'сакс ! 507. у = 3 *. 508. у == |п(ах'+Ьх+е). 509, д=- !и (х +)/ак+хк). дияяееенциеовлние фкниции (гл. ! 529. у=агс15!пх. 530. у = 1п агс31их+ — 1п'х+агса!и 1п х. 2 531. у= агс15!и —, ! х' 532. у= — агс18=+ — )и— г2 х 1 х — ! 3 Уз 6 х+1' 533, у=!п + ' "+ 2агс15)'3!пх.

! — у к1ох 534. у = — 1п — + — 1и — + — агс1дх. 3 хе+! ! х — ! ! 4 хв — ! 4 х+! 2 535. 1(х) = — 1п(1+х) — — 1и(х' — х+1)+ — агс(д=. ! ! ! 2х — 1 уз у" з ' 536. ~(х)= +1п)' ! — х'. 537 у зйз 2х 539. у=й'2х. кй 541. у= Ага)! —,. 543.

у=Агй(1дх). 538. уг е ксЬ!)х. 540. у=!пзЬ2х. 542. у = Агс)! 1п х. 544. у = Агсй (зсс х) 510. у=х — 21~ х+2 1п (1+1Г х). 511. у=1п(а+х+$'2ах+х*). 512. у= —,„,„. 513. у = 1и соз — . х — 1 (х — 2)в х 514Я. у=!п (х+ !)в ' 515. у=1п „. 516. у= — —,~,„+1п1дх. (х — ))' (х — 2) ! х —,, а' 517. у= — )' х" — а' — — 1п(х+)~ х' — а'). 2 г 518. у= 1п 1п(3 — 2х'). 519. у=5 1п'(ах+5).

у х'+а'+х И й к — й 520. у= 1п ' . 521. у= — !и (х' — а')+ — 1п —. Ух'+ ав — х 2 2а к —,'- а' а1 ! к 1 сок х 522. у=х в!п (!их — — ). 523. у= — 1п18 —— 4)' 2 2 2 к(век' 524. 1(х)=)'х'-~-1 — 1и ! к~ — 2к+ ! 525. у= — !и ' . и 526.у=-2"""в" +(1 — агссовЗх)'. 3 х'+к+! ' х аняк, в (а — +3 — УЗ =Зкаэы !. ! ~и",-. 528. у= — '1п 3 сок'Ьх' УЗ ! к) 2 ! Уз ' 2 51 тлвличное диФФененциРовлние 545. у=Аг1Ь вЂ”. 2х 1 1 1+ хх ' 546.

у= — (х' — 1)Аг())х+ — х. 2 2 547' у ~ г х + 4 ) Агз)1х х~ 1+ х 1 4 548. Найти у', если: а) у=(х(; б) у = х ( х (. Построить графики функций у и у'. 549. Найти у', если у= 1п(х( (хчьО). 550. Найти ('(х), если ( 1 — х при х(0, е-" при х>0. 551. Вычислить ('(0), если 1(х) =е-" соз Зх.