Демидович Б.П. (ред.) - Задачи и упражнения по математическому анализу. Для втузов. (десятое) (1978) (Б.П. Демидович - Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов - 1978 - 10-е издание), страница 9

Написать уравнения касательных и нормалей к кривой у=(х — !)(х — 2) (х — 3) в точках ее пересечения с осью абсцисс. 639. Написать уравнения касательной и нормали к кривой у'=4х'+бху в точке (1; 2). 640*. Показать, что отрезок касательной к гиперболе ху = а', заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам. 641.

Показать, что у астронды х*м +у'1' = ам' отрезок касательной, содержащийся между координатными осями, имеет постоянную величину, равную а. 642. Показать, что нормали к развертке окружности х=а(созг+1яп1), ус а(з1пг — асов!) являются касательными к окружности х'+у'=а'. 643.

Найти угол, цод которым пересекаются параболы у= =(х — 2)' н у= — 4+ах — х'. 644. Под каким углом пересекаются параболы у=х' и у=х'Р 645. Показать, что кривые у=4х'+2х — 8 и у=х' — х.+10 касаются друг друга в точке (3; 34). Будет ли то же самое в точке ( — 2; 4)7 646. Показать, что гиперболы ху=а' и х"- — у'=Ь' пересекаются под прямым углом. 647. Дана парабола у'=4х. Вычислить в точке (1; 2) длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. 648. Найти. подкасательную кривой у = 2" в любой ее точке.

649. Показать, что у равносторонней гиперболы х* — у* =а' длина отрезка нормали в любой точке равна полярному радиусу втой точки. 650. Показать, что поднормаль гиперболы х' — у' =а' в любой ее точке равна абсциссе атой точки, хэ З~ 651. Показать, что подкасательные эллипса —, + —,:= 1 и окружности х'+у'= а' в точках, имеющих одинаковые абсциссы, рав- 61 приложения пгонзводнои ны между собой. Какой прием построения касательной к эллипсу отсюда вытекает? 652. Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной н поднормали у циклоиды х = а (г' — з! п г'), у=а(! — соз() в произвольной точке.

653. Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания у логарифмической спирали г = ае"е. 654. Найти угол между касательной и полярным радиусом точки касания у лемиискаты г'== а'соз 2~>. 655. Найти длины отрезков полярных касательной, нормали, подкасательной и поднормали, а также угол между касательной и полярным радиусом точки касания у спирали Архимеда г=а~р в точке с полярным углом ~р= 2п. 656. Найтидлииыотрсзков полярных подкасательной, поднормали, касательной н нормали; а также угол между касательной и полярным радиусом у гиперболической спирали г =. — в про- Ф извольной точке <р = р„; г = г„.

657. Закон движения точки по оси ОХ есть х = 31 — Р. Найти скорость движения точки для моментов времени: 1,=0, г',=1 и 1,=2 (х дается в сантиметрах, à — в секундах). 658, По оси ОХ движутся две точки, имеющие законы движения х = 100+ 51 где 1) О. С какой скоростью удаляются эти точки друг от друга в момент встречи (х дается в сантиметрах, г — в секундах)? 659. Концы отрезка АВ = 5 м скользят по перпендикулярным прямым ОХ и 01' (рис. 16).

Скорость перемещения конца А равна 2 и/сек. Какова скорость перемещения конца В в тот момент, когда конец А находится от начала координат на расстояний ОА=Зм? [гл. и ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 62 880*. Закон движения материальной точки, брошенной в вертикальной плоскости ХОг' (рис. 17) под углом а к горизонту с начальной скоростью о„дается формулами (без учета сопротивления воздуха) х = о,1 соя а, у = о,1 з!и а —— а1~ 2 где 1 — время, д — ускорение силы тяжести. Найти траекторию движения и дальность полета. Определить также величину скорости движения и ее направление.

Рас. 17. Риа 16. 661. Точка движется по гиперболе у= — так, что ее абсцис- 1О са х растет равномерно со скоростью 1 единица в секунду, С какой скоростью изменяется ее ордината, когда точка проходит положение (5; 2)? 662. В какой точке параболы у'= 18х ордината возрастает вдвое скорее, чем абсцисса? 663. Одна сторона прямоугольника имеет постоянную величину а= 10 см, а другая Ь изменяется, возрастая с постоянной скоростью 4 см1сек. С какой скоростью растутдиагональ прямоугольника и его площадь в тот момент, когда Ь=ЗО см? 664.

Радиус шара возрастает равномерно соскоростьюбсм/сек. С какой скоростью растут площадь поверхности шара и объем шара в момент, когда радиус его становится равным 50 см? 668. Точка движется по архимедовой спирали г =- а<р (а= 10 см) так, что угловая скорость вращения ее полярного радиуса постоянна и равна 8' в секунду. Определить скорость удлинения полярного радиуса г в момент, когда г = 25 см. 63 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 666. Неоднородный стержень АВ имеет длину 12 см. Масса его части АМ растет пропорционально квадрату расстояния текущей точки М от конца А и равна !О г при АМ=2 сж. Найти массу всего стержня АВ и линейную плотность в любой его точке М. Чему равна линейная плотность стержня в точках А и В? $5.

Производные высших порядков 1'. Определение высших производных. Производной второго порядка илн второй нроизеодной фуннцин у=)<(х) называется производная от ее нроиззодной, т. е. (у')' Обозначается вторая производная так: й ту у", или —, или /" (х). йхз ' йзх Если х=)(!) — Закон прямолинейного движения точки, то — есть уской!э рение этого движения. Вообще, лроиэеодной лню лорядка от функции у=-г(х) называют производную от производной порядка (л — 1).

Для и-й производной употребляются обозначения у<"з, или —, илн )""< (х). йну йхч ' П р ии е р 1. Найти Вранээодную 2-го порядка от функции у=!В (1 — х). Р е ш е н н е. у' = —; у" = ( — ) ! — х ' (,! — х) (1 — х)з 2'. Ф о р м у л а Л е й б н и ц а. Если функции и =-Чз (х) н о = ф (х) имеют производные до л-га порядка включительно, та для вычисления л-й производной произведения этих функций можно пользоваться формулой Лейбница л (л — 1) (иа)<к<=и«" э+ли«-зз М + и<" <<а" +...

+ив<из. 1.2 3' Производные высших иорядков функций, заданнык и а р а м е т р и ч е с к и. Если йзу то производные у„==- —, у„„= —.... последовательно могут быть вычис. йх' йхз ' лены па формулам: у< - / , ° (у.')< - (у..)< Ух.= †. Ухк = <Ук) х = , Уххг = , и т. Д.

хг х< хг 64 (гл. и днаэепанцнповдннв функции Дли произзодиой 2-го передке имеет место формула к»уи — киу» Укк = (,')з Пример 2. Найти у", если (== к=асоз», У=Ь и!п». Решение. Имеем р (Ь з»п»]» Ь ° соз» Ь у'=, = . =- — с(ХФ (а сои»)» — аз!п» а ( Ь Х' Ь, — ! — — с!х») а )» а Мп» Ь у (а соз») — а з(п» а' Миз» А. Производные высших порядков явных функций Найти производные 2-го порядка от следующих функций: 667. у=х'+7х' — 5х+4. 688.

у=е" . 669. у =з|п'х. 670. у=!п~~Г | -|л'. 671. у=!п(х-»-)'аз+хе). 872. ((х)=(|+х)агс1их. 673. у = (агсз|п х)'. 674. у=-ас)» —. а кз+2к-|-2 675. Показать, что функция у= 2 удовлетворяет дифференциальному уравнению 1+у"=2уу". 1 676. Показать, что функция у= — х'ек удовлетворяет дифференциальному уравнению у" — 2у'-|-у=е"'. 677. Показать, что функция у=С,е- +С,е '" при любых постоянных С, и С, удовлетворяет уравнению у" +Зу'+2у=-О. 678.

Показать, что функция у = ез" а|п 5х удовлетворяет уравнению у" — 4у'+ 29у = О. 679. Найти у'", если у=хи — 5х'+7х — 2. 680. Найти ~'" (3), если ~(х) =(2х — 3)'. 68! Найти ут от функции у = 1п(1+х). 882. Найти у"' от функции у=з|п2х. 683. Показать, чта функция у=е-"сазх удовлетворяетдифференциальному уравнению ую + 4у=О. 684. Найти )(0), 7'(0), /.'(0) и уао (0), если 7 (х) = е" з|и х.

685. Уравнение движения точки по осн ОХ есть х = 100+ 5! — 0,001 !з. 3 51 пеоизводные высших поеядкоа Найти скорость и ускорение точки для моментов времени ?,=О, 1,=1; 1,=10. 686. По окружности х'+у*=а' движется точка М с постоян- ной угловой скоростью со. Найти закон движения ее проекции М, на ось ОХ, если в момент ! =0 точка занимает положение М,(а, О) (рис. 18). Найти скорость и ускорение днижения точки М,. Чему равны скорость и ускорение точки М, в начальный момент и в мо- е н,,х мент прохождения начала координат? Каковы максимальные значения абсолютной величины скорости и абсолютной величины ускорения точки М,? Рд.

1В. 687. Найти производную и-го порядка от функции у = (ах + Ь)" (и — натуральное число). 688. Найти производные и-го порядка от функций: а) у = —,„.„б) у = ) 'х. 689. Найти и-ю производную от функций: а) у=з!пх; д) у 1 б) у=соз2х; е) у=,*,; 1*» в) у=-.е-'"; ж) у=а!и'х; г) у=1п(1+х); з) у=-!п(ах+Ь). 690. Применяя формулу Лейбница, найти уы>, если: а) у = — хе»' г) у=— 1+» у» б) у=х'е '"; д) у = х' ! п х. в) у=(1 — х')созх; 691. Найти ~'»'(О), если ((х) =!и —, 1 Б. Производные высших порядков функций, заданных парамеп1рически, и неявных функций Веу Найти — — от следующих функций: вд» ( х=агс1и1, ( х=агсз!пС б) 1 „!и(!+1,).