Демидович Б.П. (ред.) - Задачи и упражнения по математическому анализу. Для втузов. (десятое) (1978) (Б.П. Демидович - Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов - 1978 - 10-е издание), страница 10

в) ! „), !в 1, ( х= асов»1, б) ~ у=аз)п»11 ( х=-!и1, 692. а) ) „ ( х=асоз?, 693. а) ) у=аз!п1; 3 пад дед. в. и. д»мидов»»а 1гл. и 66 диоевввнцннованним'нкцни х=а(1 — в(п1), ( х=а(в(п1 — 1сов(), д = а (1 — сов 1); г) ( у = а (сов!+ г в1п 1). 1 х=соз21, Ф 2 1 ( х=е-" (х 1пг, б) 1 1 — Г' ( х=е'сов1, 696. Найти ~— „если 11 у еау ( х=1п(1+1'), 697. Найти — хУ при 1=0, если ~ „ 698.

Показать, что д, как функция от х, определяемая уравнениями х=в1п1, дц ае'г '+Ье-""', при любых постоянных а и Ь удовлетворяет дифференциальному уравнению (1 — х') — „— х — = 2д. Еау оу оха Ех Найти у"'= —" от следующих функций: Еха ( х=вес1, (х=е 'сов1. 699' '( у=1К1. 700' '(у=е тв(п1. ( х=е-', 1 х=1п1, 701.

~ д 1, 702. Найти,—,хе, если ~ „ 703. Зная функцию у=1(х), найти производные х, хим об. ратной функции х=1-ь(у). 704. Найти у", если х'+у'=1. Р е ш е н н е. На основании правила дифференцирования сложной фуввции имеем 2х+2уу"=О; отсюда у'= — — и у"= — ~ — ) = — —. Подстав~у) у' лян вместо у' его значение, онончательво получим: у'+ х' 1, у уа уа Определить производные у" от следующих функций у=1(х), заданных неявно: 705. у'=2рх. х' уа 706 аа + аа =~1.

707. у-х+агс(ау. Еау о ах 706. Имея уравнение у=х+1пу, найти — „, и —,. $61 дифевркнциллы первого и высших порядков 67 709. Найти у" в точке (1; 1), если х'+ 6ху+у' — 2х+у — 6 = О. 710. Найти у" в точке (О; 1), если х4 — ху+ уа = 1. 711. а) Функция у задана неявно уравнением х'+ 2ху+ у' — 4х+ 2у — 2 = О.

Найти „вЂ”,, в точке (1; 1). г(ау 6) Найти —,У, если х'+у'=а'. азу 6 6, Дифференциалы первого и высших порядков г)у=у' Их. Отсюда Если М)т' †ду графика функции у=- =1(х) (рис. 19), МТ вЂ” касательная в точке М(х, у) и РО= Ьх= дх, то приращение ординаты касательной АТ=г)у Рис. !9. и отрезок АД(=ау. Пример 1. Найти приращение и дифференциал функции у=Зхв — х, Решение.

1-й способ: Ьу = 3 (х+ Ьх)' — (х+ Ьх) — Зла+ х или ау=(бх — !) ах+3(Ьх)з. Следовательно, Иу = (бх — 1) Ьх =- (бх — 1) <Ь. 2-9 способ: у'=бх — 1! 'Ыу=у'ах=(бх — !)г(х За 1а. Дяффер е нци ал пер ного порядка. Дифференциалом (лервого порядка) функция у=)(х) в точке х называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения Ьх = Йх независимой переменной х. Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал иезавнсимой переменной (гл. и ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ П р имер 2.

Вычислять Ьу и бу функции у=3х' — х пря к=1 в Ах=0,01. Решение. АУ=(6 -!).йх+3( )з-5.00!+3.(0,01)з=0,0503 бу = (бх — 1) Ьх = 5 0,0 ! = 0,0500. 2е. Основные свойства д н ф ф е р е н ц н а л о в! 1) ус=0, где с=сопз!. 2) ух=Ах, где х-независимая переменная. 3) и(си) =спи. 4) б (и ю о) =Ни ю бо. 5) б(ио)=ибо+оба. 5) б (-")=" ",," ( та О). 7) бг(и)=/'(и)Ыи. 3'.

Применение дифференциала к приближенным вы- ч н сл ен и ни. Если приращение Ьх аргумента х мало по абсолютной вели- чине, то дифференциал йу функции у=1(х) и приращение Ьу функции при- ближенно равны между собой Аушбу, т. е. Г (х+Ак) — 1 (х) ш 1' (х) Ак, отиуда /(к+Ах) ш !(х)+!'(х)Ьх. (!) П р и м е р 3. Насколько приблизительно изменится сторона квадрата, если площадь его увеличилась от 9 мз до 9,! мз! Решение. Есле к — площадь квадрата и у — сторона его, то у= г' к. По условию задачи: х=9; Ах=О,!. Приращение Ьу стороны квадрата вычисляем пряближенно! Ау ш бу =у'Ьх = — 0,1 0,016 м.

! 2)/9 4', Дифференциалы высших порядков. Ящйфереициалом инорозо порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка: 5 ау = г( (г(у). Аналогично определяются дифференциалы шрсюзего и т. д. порядков. Если у=! (х) и х — независимая переменнан, то бзу = у" (бк)з бау = у"' (йх)з, лчу — у!з> (их)а Если же у=7(и), где и=~р(к), то бту=У'(би)з+у'бзи, о"у=у'"(би)з+ЗУ'би бзи+у'бзи п т. д.

(Здесь штрихами обозначено дифференцирование по и.) $ 61 ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПЕРВОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 69 712. Найти приращение Лу и дифференциал «19 функции у=5х+х' при х=2 и Ах=0,001. 713. Не вычисляя производной, найти а! (! — х') при х=! и Лх = — —. 1 з 714. Площадь квадрата О со стороной, равной х, выражается по формуле Я=ха. Найти приращение и дифференциал этой функции и выяснить геометрическое значение последнего. 715. Дать геометрическую интерпретацию приращения и дифференциала следующих функций: а) площадь круга 3= ях'; б) объем куба о=ха.

716. Показать, что при Лх — 0 приращение функции у=2", соответствующее приращению х на величину Ьх, при всяком х эквивалентно выражению 2" Лх !и 2. 717. При каком значении х дифференциал функции у=х' не эквивалентен приращению этой функции прн Лх- О? 718. Имеет ли функция д=!х! дифференциал при х=О? 719. Пользуясь производной, найти дифференциал функции у=созх при х= — и Лх= —. 88' 720. Найти дифференциал функции 2 у== при х=9 и Лх= — 0,0!. 721. Вычислить дифференциал функции у=!дх при х= —" и Лх= — ".

3 180 Найти дифференциалы следующих функций для произвольных значений аргумента и его приращения: 722. у = —. 723. у = —. к ка ' 1 — х 724. у= агсз!и —. ч' 725. у=агс!9 —. о о 726. у=е-". '4727. у=х!пх — х. 728. у = 1п — .

ь~729. г = с!9 ф+ созес ф. 730. з= агсс!йет. 731. Найти с!у, если х'+2ху — у'=а*. Р е ш е н н е. Пользуясь инварнантностью формы дифференциала, получим: 2хох+2(уох+хоу) — 2уоу=о. Отсюда о'у = — — ох. к+у к — у (гл. и 70 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ Найти дифференциалы следующих функций, заданных неявно: 732. (х+у)'(2х+у)'=1. х 733. д= е и, 734. !п)/'ха+да = агс16 — ". х 735. Найти г(у в точке (1! "2), если уа — у = бх'.

736. Найти приближенное значение з)п 31'. Ре шемие. Полагая х=агс30'= — и Ьх=агс!'= —, иа формулы (1) 0 !ао' (см. 3] имеем шп31'ги и!п30'+ — соаЗО'=0 500+00!7 — =05!5. 180,' ' 2 'ь' 737. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить: а) соз 61', б) (и 44'1 в) е"; г) !6 0,9; д) агс1а1,05.

733. Насколько приблизительно увеличится объем шара, если его радиус Я =15 см удлинится на 2 мм? 739. Вывести приближенную формулу (для (Лх), малых по сравнению с х) )'х+Лхж) гх+— 21' х и с ее помощью найти приближенные значения для )'5; )/17; )'70' $'640. 740. Вывести приближенную формулу ~гхх+ Ьхж у"х+= ЗарÄ— е и найти приближенные значения для ~'10, ~~70, ~~ 200.

741. Найти приближенные значения функций: а) д=х' — 4х*+5х+3 при х=1,03; б) ) (х) =) г 1 + х при х=0,2; в) 1(х)= ~гг —, при х= 0,1; г) у=е'-" при х=1,05. 742. Найти приближенное значение 1н45'3'20". 743. Найти приближенно агсз)п 0,54; 744. Найти приближенно )гг17. 745. Показать, основываясь на формуле закона Ома ! = —, что Е малое изменение тока, обусловлецное малым изменениемсопротивления, может быть найдено йриближенио по формуле бу= — ~~ М. $71 71 ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ 746. Показать, что относительная погрешность в 1% прп определении длины радиуса влечет за собой относительную погрешность приблизительно в 2% при вычислении площади круга и поверхности шара.

747. Вычислить г(зу, если у=соз5х. Р ею е н не. гРу= у" (бх)з=- — 25 созбх (бх)з. 748. и =')7гТ вЂ” х', найти сРи. 749. у = агссоз х, найти с(зу. 750. у=з!пх)пх, найти 7(зу. 75!. г = —, найти сРг. 1пх х 752. г=х'г ", найти сРг. хч 753. г= —, найти сРг. 2 — х' 754. и =За(п(2х+5), найти с(ии. 755 у ел сот из!п (ха!па) найти г(чу $7. Теоремы о среднем 1'. Теорема Ролля. Если функция 1(х) непрерывна на отрезке а~х~Ь, имеет производную 1' (х) в каждой внутренней точке етого отрезка и 1(о) =1(,Ь).

то для аргумента х существует по меньшей мере одно значение 5, где а < 5 < Ь, такое, что 1' (5) =о. 2'. Т е о р е м а Л а г р а н ж а, Если функция 1 (х) непрерывна на отрезке а~х~Ь и имеет производную в каждой внутренней точке этого отрезка, то 1 (Ь) — 1 (а) = (Ь вЂ” а) 1' (5), гдеа<$<Ь. 3', Теорема К о щи.