Демидович Б.П. (ред.) - Задачи и упражнения по математическому анализу. Для втузов. (десятое) (1978) (Б.П. Демидович - Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов - 1978 - 10-е издание), страница 6

Функция /(х), ыепрерывнав ыа отрезке [и, Ь[, обладает следующиьш сап йствзмы: 1) / (х) огранычена на [и. Ь[, т. е. существует некоторое число М такое, что [/(х) [~М прн ич-«~Ь; 2) /(х) ымеет на [о, Ь) наименьшее ы наибольшее значения! неппепынность Функций 37 3) ((х) принимает все промежуточные значения между двумя данными, т.

е. если ((ы) =А и ((0).=В(а(сс < () ~Ь) и А ж В, то„каково бы ни была число С, ааключеиное между числами А и В, найдется по меньшей мере одно значение хй- у (а < т < р) такое, что ( (у] — -С. В частности, если ((а) ((р) < О, то уравнение / (х) =. О ил1еет в интервале (а, ()) по меньшей иере один вещественный корень. 304. Показать, что функция у==ха непрерывна при любом значении аргумента х. 305.

Доказать, что целая рациональная функция Р(х) 4-паха+ахен '+... +а„ непрерынна при любом значении х. 308. Доказать, что дробная рациональная функция а,х"-',-пот"-'а ... +а„ пах'ач-отхм 1+... <-ь, непрерывна для всех значений х, за исключением тех, которые обраьцают знаменатель ее в нуль. 307Я. Доказать, что функция у=-$'х непрерывна при хнО. 308. Доказать, что если функция ) (х) непрерывна и неотрнцательиа в интервале (а, (т), то функция Р() =Уй) также непрерывна в этом интервале.

309*. Доказать что фуякция д==-созх непрерывна при любом х. 310. Для каких значений х непрерывны функции: а) (ох и б) с(йху 311е. Показать, что функция д=)х) непрерывна. Построить график атой функции. 312. Доказать, что абсолютная величина непрерывной функции есть функция непрерывная. 313. Функция задана формулами ( хя — 4 1(х) = х — 2 ( — при х~~2, А при х=2. Как следует выбрать значение функции А =-((2), чтобы пополненная таким образом функция 1(х) была непрерывна при х= 23 Построить график функции у= ((х). 3!4.

Правая часть равенства ((х) =1 — хз|п- 1 (ГЛ. ! ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ теряет смысл при х= О. Как следует выбрать значение 7(0) для того, чтобы функция 1(х) была непрерывна при х=О? 315. Функция 1 (х) = агс(8— ! теряет смысл при х=2. Можно ли так определить значение((2), чтобы пополненная функция была непрерывной при х=2? 316. Функция 7(х) не определена при х=О. Определить((0) так, чтобы 7(х) была непрерывна при х=О, если: а) ~(х) = х (и — натуральное); (!+х)л б) ~(х)= в) 1(х)= !и (! +х) — !и (! — х) .

г) 1(х)=, д) 7(х)=х' з!и —; ! е) г (х) = х с(и х. Исследовать на непрерывность функции: х' 1+ хе 317. у= — . х — 2' 318. у = — ' !+х ' 319. у = )77+х — 3 х хе — 4 320. у= —. !х! * 321. а) у=з!и —; 322. у= —.

х ыи х б) у=х з!и — „. 323. у=!п(созх). 324. у = !и ~ 1й 2 ~ . 325. у= агс1и —. ! 326. у=(1+х) агс(и —,. ! 1 1 327. у = е *" ' . 328. у=е 329. у= ! !+е!"" 1 х' при х(3, 330. у=~ Построить график зтойфункции. ( 2х+1 при х>3. 331. Доказать, что функция Дирихле 2 (х), равная нулю при х иррациональном и равная 1 при х рациональном, разрывна для каждого значения х. непРеРывность Функций 39 Исследовать на непрерывность и построить графики функций: 332.

у= 11гп, „(х) 0). Л 333. у= Вш (хагс1нпх). 334. а) у=зяпх, б) у=хзппх, в) у=зяп(з)пх), где функция зяп х определяется формулами: +1, если х)0, зяпх= О, если х=О, — 1, если х< О. 335. а) у=х — Е(х), б) у=хЕ(х), где Е(х) есть целая часть числа х. 336. Привести пример, показывающий, что сумма двух разрывных функций может быть функцией непрерывной. 337*.

Пусть а — правильная положительная дробь, стремящаяся к нулю (0<я<1). Можно ли в равенство Е (1+ а) = Е (1 — а) + 1, справедливое для всех значений а, подставить предел величины а? 338. Показать, что уравнение х' — Зх+1=0 имеет в интервале (1, 2) действительный корень. Вычислить приближенна этот корень. 339". Доказать, что любой многочлен Р(х) нечетной степени имеет по меньшей мере один действительный корень.

340. Доказать, что уравнение 1пх =.х имеет бесконечное множество действительных корней. ГЛАВА П ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 2 1. Непосредственное вьгчисление производныи 1'. Приращение аргумента н приращение функции. Если х и хг — значения аргумента х. а у=-[(х) и у,=[(х,) — соответствующие значения функции у=[(х), то Ьх=х,— х назмвается приращением аргун»ища х на отрезке [х, х,], а Ау=у» — У нли Ау — -1(х») — [(х) =[(к+Ах) — [[х) (!) — приращением функции у на том же отрезке [х, хг] (ркс.

11, где Ах=МА н Ау= АМ). Отношение — =!ба Ьу Ьх Рис. 1!. вычислить йх и Лу, соответствующие изменению аргумента: а) от х= 1 до х= 1,1; б) от х=3 до х=2. Решение. Имеем: а) Ьх=!,! — ! =0,1, Ау=(1,1» — 5.1,! +6) — (1з — 5 1+6) — 0,29! б) Ах=2 — 3= — 1, Ьу (2» — 5 2+ 6) — (3» — 5 3+ 61 = О. П р я м е р 2. Длк гиперболы у =- найти угловой козффнциент секущей, ! х проходящей через точки с абсциссами х=З н х»=10.

представляет собой угловой коэ~фициент секущей Л1Л[ графика функции у=[(х) (рис. 11) и называется средней скороеюзю изменения функции у иа отрезке [х, х+ Ьх]. Пример 1. Дли функции у=х» 5х+6 $1! НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ 41 1 1 1 1 7 Р е ш е н и е. Здесь 6»= 10 — 3=7, уаи —, уг= —; йу= — — = — ° 3' !О' 10 3 30' Следовательно, й= — = — — . ьу ! Ьх ЗО' у'=1ип ьу ь ой» если этот предел существует. Вслн шна производной дает угловой коэффициент касательной МТ кграфику функции у=/(х) в тачке х (рнс. !!): у'=!у р. Нахождение производной у' называют дифференцированием функции Производная у'==/' (») представляет собой скорость изменения функции в точка х. П р а м е р 3. Найти производную функции у — -- хз.

Решение. По формуле (1) получаем: Ьу =- (х+ йх) ' — х' =- 2»ь»+ (Ьх)е — =2х+ Ьх. Ьу йх Следовательно, у'= Иш — = !пп (2»+Ох) =2х. ьу ь» айт ьг а 3'. Односторонние производные. Выражения /' (х)= Иш / (х + Ьх) — / (х) ь»-ь -о их ' (х)= !пп / (х+ ох) — / (х) ьх во называют соответственно левой нли правой производной функция /(х) в точкех. Для существования /'(х) необходима и достаточно, чтобы / (х) = /е (»). Пример 4. Найти / (0) и /в(0) для функции/(»)=)х!.

Р е шеи не. Имеем по определению /+(0) = Вш — =1 )ь! ьх-~+ е /' (0) = !пп — = — 1, (ьх! ь»-ь — о 2 . П р о и з в о д н а я. Производной у'= — от функции у=/(х) в точке » о ду й» Ьу по аргументу х называется предел отношении —, когда Ьх стремится н нулю, т. е. 42 (гл. и ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 4' Бесконечная производная. Если в иейоторой точке имеем Г (х+ Ьх) — 1 (х) Ах-+О Ьх то говорят, что непрерывная функция 1(х) имеет бесконечную производную в точке х.

Б атом случае касательыая к графику функцыи у=у(х) перпендикулярна к оси ОХ. Пример б. Найти 1'(0) для функции у= ~/ х. Решение. Имеем: ~с'Ь х р (0)= 1!ш — = !пп ==о!. ах- а Ьх ь о Ра/аха 341. Найти приращение функции у=ха, соответствующее переходу аргумента: а) от х=1 до х,=2; б) от х = 1 до х, = 1,1; в) от х=1 до х,=1+8. 342. Найти Лудля функции у=~~~х, если: а) х=0, Лх=0,001; б) х=8, Лх= — 9; в) х=-а, Лх=й. 343. Почему для функции у=2х+3 можно определить приращение Лу, зная только, что соответствующее приращение Лх= 5, а для функции у=х' этого сделать нельзя? 344. Найти приращение Лд и отношение — для функций: Ьу Ьх а) у= —,, при х=1 1 и Лх=0 4; (ха — х)а б) у=)' х при х=0 и Лх=00001; в) у=1ах прн х= 100000 и Лх= — 90000.

345. Нанти Лу и —, соответствующие изменению аргумента Ьу от х до х+ Лх для функций: а) уг ах+Ь; г) у=1Г х; б) у=х'1 д) у=2"; 1 в) у е) у=1пх. 346. Найти угловой коэффициент секущей к параболе у =2Х вЂ” Хт, если абсциссы точек пересечения равны: $0 НЕПОСРЕДСТВВННОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ 43 а) х, = 1, х, = 2; б) х, =- 1, х, = 0,9; в) х, = 1, х, = ! + Й. К какому пределу стремится угловой коэффициент секущей в последнем случае, если л — О? 347. Какова средняя скорость изменения функции у = хх в промежутке 1 <х< 4? 348.

Закон движения точки есть З=2Р+ 31+ 5, где расстояние з дается в сантиметрах и время! — в секундах. Чему равна средняя скорость точки за промежуток времени от 1=! до 1=5? 349. Найти средний подъем кривой у = — 2" на отрезке 1 (х ( 5. 350. Найти средний подъем кривой у=?(х) на отрезке [х, х+Лх!. 351.

Что понимают под подъемом кривой у=?(х) в данной точке х? 352. Дать определение: а) средней скорости вращения; б) мгновенной скорости вращения. 353. Нагретое тело, помещенное в среду с более низкой температурой„охлаждается. Что следует понимать под: а) средней скоростью охлаждения; б) скоростью охлаждения в данный момент? 354.

Что следует понимать под скоростью реагирования вещества в химической реакции? 355. Пусть гл =?(х) — масса неоднородного стержня на отрезке [О, х|. Что следует понимать под: а) средней ливейной плотностью стержня на отрезке [х, х+Лх1; б) линейной плотностью стержня в точке х? 356. Найти отношение — для функции у= — в точке х=2, ад 1 Лх х если: а) Лх=1; б) Ах=0,1; в) Лх=0,01. Чему равна производная у' прн х=2? 357"*. Найти производную от функции у= !их. 358. Найти у'=!Пп —" для функций: Вх- О ~Х а) у = х', в) у = 1/ х„ 1 б) у= — „,; г) д=с1пх.