Демидович Б.П. (ред.) - Задачи и упражнения по математическому анализу. Для втузов. (десятое) (1978) (Б.П. Демидович - Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов - 1978 - 10-е издание), страница 2

П. Ветчинкин и С. Ф. Шурлапов. Хотя работа между авторами в основном была распределена по главам, каждый автор, как член авторского коллектива, несет полную ответственность за весь сборник в целом. ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ Четвертое издание сборника незначительно отличается от предыдущих. Исправлены замеченные опечатки в тексте и ответах. В некоторых местах несущественно изменены формулировки. Добавлено несколько новых задач, номера которых, с целью сохранения старой нумерации, оформлены с помощью дробной десятичной нумерации, например задачи, вставленные непосредственно после№2016, имеют номера2016.1, 2016 2 и т. п.

О всех замечаниях и пожеланиях по поводу сборника авторы просят сообщить по адресу: Москва, В-71, Ленинский проспект, 16, Издательство «Наука», Главная редакция физикоматематической литературы. ПРЕДИСЛОВИЕ К ВОСЬМОМУ ИЗДАНИЮ Настоящее издание сборника отличается от предыдущего лишь некоторыми исправлениями опечаток в тексте и ответах. Автори Москва, 1971 г, ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ $1. Понятие функции 1'. Действительные числа. Числа рациональные и иррацио.

нальиые носят название действительных, пла ввщвапвеккых, чисел. Под абсолютной величиной действительного числа а понимается неотрицательное число (а(, определяемое условиями: )а(= — а, если атно, н )а)= — а, если а < О. Для любых вещественных чисел а н Ь справедливо неравенство ) а+Ь! ~) а(+) Ь (. 2'.

Определение функции. Если каждому значениюь) переменной величины х, принадлежащему некоторой совокупности (множеству) Е, соответствует одно и только одно конечное значение величины у, то у называется функцией (однозначной) от х, илн зависимой лвремекквй, определенной на множестве Е; х называется аргумеюпол, или независимой аервмвкной. То обстоятельство, что у есть функция от х. кратко выражают записью: у=/(х) или у=у(х) н т.

п. Если каждому значению х, принадлежащему некоторому множеству Е, соответствует одно или несколько значений переменной величины у, то у называется мновозначкой функцией от х, определенной на множестве Е. В дальнейшем иод словом «фуикцняь мы буд«м понимать только од н о з н а чные функции, если явно не оговорено прот«анас. 3'. Область существования фуакции. Совокупность значений х, для которых данная функция определена, называется облаапью существования, или областью определения этой функции. В простейших случаях область существования функции представляет собой: или отрезок (севмект) (а, Ь], т.

е. множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а~ха; Ьь иьи промежуток (иктервал) (а, Ь), т. е. множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь. Но возможна и более сложная структура области существованив функции (см., например, задачу 21). П р н м е р 1. Определить область существования функции 1 Решение. Функция определена, если х' — 1>О, ') В дальнейшем все рассматриваемые зяачения величин будут предпо. лагаться вещественными, если явно не огово,тена противное.

понятия ехнкции 8. Найти целую рациональную функцию 1(х) второй степени, если 1(0) = 1, 1(1) = О и 1(3) = 5. 9. Известйо, что 1(4)= — 2, Г(5)=б. Найти приближенное значение 1(4, 3), считая функцию 1(х) на участке 4<х: 5 линейной (линейная интерполяция функции). 10. Функцию О , если х<0, х, если х >О, записать при помощи одной формулы, пользуясь знаком абсолютной величины. Определить области существования функций: 11. а) у=)/х+-1; б) у= йЛх+1. 12.

у=4 13. а) у=3~ хх — 2; б) у=х)/х! — 2. 14**. у=)/2~х — х'. 1 15. у=~ — х+=. Уз-(-х ' 16. у =)"х — х'. 17. у= 1д —. 13 1 х — Зх+2 хх / х1 19. у = агссоз — . !+х' 20. у=агсз!и ~1а — л!. !о) ' 21. у = ) а!п 2х. 22. Пусть 1(х) =2х' — Зх' — 5х'+бх — 10. Найти !р(х) = — [Пх)+1( — )) и 'Ф(х) =-У(х) — 1( — )). 23. Функция 1(х), определенная в симметричной области — 1< х<1, называется четной, если 1( — х)=1'(х), и нечетной, если 1( — х) = — 1(х). Выяснить, какие из данных функций являются четными и какие нечетными: а) 1(х) = — (а" +а-"); 1 ч !!*! =$ ).~-*.~.и — гт — тхР; в) Г'(х) = гх(х-(-1)*+ тГ(х — 1)', г) 1(х) =15,'~"„; д) ~(х) =15(х+)/Т+х').

24". Доказать, что всякую функцию 1(х), определенную в интервале — 1< х <1, можно представить в виде суммы чет- ной и нечетной функций. 12 1гл. » ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 25. Доказать,.что произведение двух четных функций или двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на нечетную есть функция нечетная.

26. Функция 1(х) называется периодической, если существует положительное число Т (период функции) такое, что»(х+Т) =1(х) для всех значений х„принадлежащих области существования функцин 1(х). Определить, какие из перечисленных ниже функций являются периодическими, и для периодических функций найти наименьший период их Т: а) 1(х)=10в|пЗх; ' г) 1(х)=в1п'х; б) 1(х)=ав«п)«х+ЬсовХх; д)»(х) в(п(~/х) в) 1(х)=)Чдх; 27. Выразить длину отрезка у= МВ1 и площадьВфигурыАМУ как функции от х = АМ (рис.

1). Построить графики этих функций. 28. Линейная плотность (т. е. масса единицы длины) стержня АВ=1 (рис. 2) на участках АС=1„С11=1, и ОВ=1, (1,+1, + «р + 1, = 1) равна соответственно о», д, й д,. Выразить массу и» переменного отрезка АМ = х этого стержня как функцию от х. Построить график втой функции. 4 Э д Рис. й. Рис.

Ц 29. Найти «р[«Р(хЦ и»Р[«р(хЦ, если «р(х) =х' н «Р(х)=2'. 30. Найти 1(1[1(хЦ), если 1(х)=— 31. Найти 1(х+1), если 1(х — 1) = х*. 32. Пусть 1(п) есть сумма и членов арифметической прогрессии. Показать, что ~(п+3) — 3~(п+2)+3)(п+1) — ~(п) =О. 33. Показать, что если 1(х) = йх+Ь и числа х», х„х, образуют арифметическую прогрессию, то числа 1(х»), 1(х,) и 1(х,) также образуЮт арифметическую прогрессию. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 34. Доказать, что если 1(х) есть показательная функция, т. е. 1(х) = ах(а > О), н числа х„х„х, образуют арифметическую прогрессию, то числа 1(х,), 1(х,) и 1(х,) образуют геометрическую прогрессию.

35. Пусть ((х) = 13 —. 1+х Показать, что р(х)+! (д) =! ~-' — +1. 36. Пусть <р (х) = — (а +а-") и ф(х) = — (а" — а- '). Поках -х 1 зать, что <р (х + у) = <р (х) гр (у) + $ (х) ф (у) !р(х+у) =гр(х) ф(у) +<р(у) ф(х), 37. Найти 1( — !), 1(0), ) (1), если агсз!и х при — 1(х(0, 1(х) = агс13х при 0 < х <+ еа. 38. Определить корни (нули), области положительности и об- ласти отрицательности функции у, если: а) д =-1+х; г) д =х' — Зх; б) д == 2+ х — х'; д) у=131+ . 2х !+х' в) у=1 — х+х', 39.

Для функции у найти обратную, если: а) у=2х+3; г) д=! б) у =- х'--1; д) у = а гс13 Зх. в) у= ~уГ1 — х', В каких областях будут определены эти обратные функцииг 40. Для функции х , если х(0, х', если х > О, найти обратную. 41. Данные функции записать в виде цепи равенств, каждое звено которой содержит простейшую элементарную функцию 14 !ГЛ. 1 введения в лнхяиз (степенную, показательную, тригонометрическую и т. п.): а) у=(2х — 5)гз) в) у=1616 —,"; 6) у 2еозх. г) у=агсз!п(3-"). 42. Сложные функции, заданные цепью равенств, записать в виде одного равенства: а) у=и', и=з)пх; б) у = агс(п и, и = )г'и, о= 16х; ( 2и, если и~О, В) у=1 10, если и>0; и=х' — 1.

43. Записать в явном виде функции у, заданные уравнениями: а) х' — агссозу=п; б) 10"+10"= 10; в) х+(у)=2у. Найти области определения данных неявных функций. 2 2. Графики злементарнык функций Построение графиков функций р=-г'(х) в основном производится путем наметки достаточно густой сети точек мг(хь у )„где рг=г(х ) (г=о. 1, 2, ...), и соединения последних некоторой линией, характер которой учитывает положение промежуточных точек. Для вычислений рекомендуется пользоваться логаряфмнческой линейкой. Построение графикон облегчает знакомство с графиками основных зле ментарных функций (см. приложение Ч!).

Исходя из графика у=у(х), , (Г) с помощью простых геометричесннх построений получаем графики функций: !) уз= — )(х) — зеркальное отображение графика Г относительно оси ОХ; 2) уз=/( — х) — зеркальное отображение графика Г относительно оси О)г; 3) уз=г(х — а) — график Г, смещенный вдоль осн ОХ на величину а; 4) рз — — Ь+ ! (х) — график Г, смещенный вдоль оси ОУ на величину Ь (рис. 3).

Пр имер. Построить график функции р=ып (х — — ) Решение. Искомая линия есть синусоида у=з!пх, сдвинутая вдоль оси ОХ вправо на величину — (рис. 4). 4 Построить графики линейных функций (' прямые ликии): 44. у=)гх, если й=О, 1, 2, —, — 1, — 2. 1 46. у=х+Ь, если Ь=О, 1, 2, — 1, — 2. 46.