Демидович Б.П. (ред.) - Задачи и упражнения по математическому анализу. Для втузов. (десятое) (1978) (Б.П. Демидович - Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов - 1978 - 10-е издание), страница 5

$4. Бесконечно малые и бесконечно большие 1'. Б е с к о н е ч н о м а л ы е. Если 1!а а(х)=0, х а т, е. если (а (х) 1 < е при 0 < )х — а ) < 6 (е), то фуикпия а (х) называется бесконечно малой при х — а. Аналогично определяется бесконечно малая о(х) при х ов. Сумма и произведение ограниченного числа бесконечно малых при х-ьа есть также бесконечно малые при х ' а. Если а(х) м ))(х) — бесконечно малые при х а и а (х) , Р (х) Па — =С, где С вЂ” некоторое число, отличное от нуля, то функцяя а(х) и 11(х) называются бесконечно малыми одного и того жг порядка; если же С=О, то говорят, что функция о(х) есть бесконечно малая выссигго порядка по сравнанию с р(х).

Функция сс(х) вазывается бесконечно малой порядка а по сравнению с функцией р(х), если Па а ") =С, в (Р(х)1" где 0 < ) С ) <+ оа. Если в в р (х) то функции 'а(х) и () (х) называются равносильными (вквивалгнтными) бесконечно малыми при х-ьа: сс (к) — 11 (х). Например, при х-ьО имеем: в(пх х; 1ях х; 1п(1+х) х ит.

и. Сумма двух бесконечно малых различных порядков равносильна тому из слагаемых, порядок которого ниже. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если члены отношения заменить равносильнымн им величинами. В сиду атой теоремы при нахождении предела дроби Ба —, сс (х) в в р (х) (ГЛ. 1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ где и(«) -«О н ()(х) -«О при х «а, в числителе и знаменателе дроби можно откидывать (нли добавлять) бесконечно малые высших порядков, подобранные так, чтобы оставшиеся величины были равносильными прежним. Пример 1.

3/ха+2«4 3,/~~ Нш = Еш «в 1п (1+2«) «в 2х 2'.. Бесконечно большие. Если для любого сколь угодно большого числа Аг существует такое б(М), что при 0 <1« — а(< б(У) выполнено неравенство 1 / (х) ( > Аг, то функция 1(х) называется бесконечно болмиоб прн х а. Аналогично определяется бесконечно большая 1(х) при х- во. Подобно тому как зто сделано для бесконечно малых, вводится понятие бесконечно больших различных порядков. 288. Доказать, что функция 1(х) = — ""* х является бесконечно малой при х- оо.

Для каких значений х выполнено неравенство (((х)) < е, если е — произвольное число? Произвести расчет для: а) а=0,1; б) е=0,01; в) В=0,001. 289. Доказать, что функция ~(х) = 1 — х' является бесконечно малой при х — !. Для каких значений х выполнено условие !г (х)! ( е если е — произвольное положительное число? Произвести численный расчет для: а) в=0,1; б) В=0,01; в) В=0,001.

290. Доказать, что функция « — 2 1 является бесконечно большой при х — 2. В каких окрестностях ) х — 2 ( с. 6 выполнено неравенство 1)". (х) ! > АГ, если У вЂ” произвольное положительное числа? Найти 6, если: а) У=!О; б) Л(=100; в) У=1000. 29!. Определить порядок малости: а) поверхности шара, б) объема шара, если радиус шара г есть бесконечно малая % е! БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКО»!ЕЧНО БОЛЬШИЕ 33 Х агсяп 297. 1(п! г' 1 к- о 1и (1 — х) 299. !!ш— .* о 1 соох яп Зх-яп зх (х — хо) о 298. 1! и! — . 'к,! — -' 300*. Доказать, что при х — 0 величины — ' и )/1+х — 1 равно- 2 сильны между собой.

Пользуясь этим результатом, наказать, что при !х~ малом имеет место приближенное равенство ) !+х-1+ 2 . Применяя формулу (1), приближенно найти: а) )/1,06; б) )/0,9?; в) )/10; г) )/120 и сравнить полученные значения с табличными данными. 301. Доказать, что прн х — 0 с точностью до членов порядка х' имеют место приближенные равенства: 1 а) —, 1 — х; 1+х б) н а'+х ж а+ — '* (а > 0); 2 Под ред. Б, П. Дед»до»мое !-го порядка. Каковы будут порядки малости радиуса шара и объема !Нара по отношению к поверхности этого шара? 292.

Пусть центральный угол а кругового сектора АВО (рис. 9) радиуса )? стремится к нулю. Определить порядки бесконечно малых относительно бесконечно малой Бя а) хорды АВ; б) «стрелки» С0; в) площади /~ АВ0. о 293. Определить при х- 0 порядки малости относительно х функций: 2х а)— г) 1 — созх; а 1+к ' б) 1/ .х + 1/х; д) 1и х — з1п х. ()' 3' Рис. 9. в) )/хо — )к х'; 294. Доказать, что длина бесконечно малой дуги окружности постоянного радиуса равносильна длине стягивающей ее хорды.

295. Являются ли равносильными бесконечно малый отрезок и бесконечно малая иолуокружность, построенная на этом отрезке, как на диаметре? Пользуясь теоремой об отношении двух бесконечно малых, найти: 34 1гл. 1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ в) (1+х)" ям1+пх (н — натуральное); г)' 15 (1 + х) ж Мх, где М = ]йе =0,43429... Исходя из этих формул, приближенно вычислить: , О2, 2) о оу, 3),об ! 4) )/15! 5) 1,04'; 6) 0,93; 7) 101,1. Сравнить полученные значения с табличными данными. 302. Показать, что при х- оо целая рациональная функция Р (х) = а,х" + а,х'-'+... + а„(а, чь 0) есть бесконечно большая величина, равносильная старшему члену а,х". 303.

Пусть х — оо. Принимая х за бесконечно большую величину 1-го порядка, определить порядок роста функций: а) х* — 100х — 1000; в) ~х+Ух. г) з~~х — 2ха. $5. Непрерывность функций 1'. О п р е де л е н и е н е п р е р ы в н о с т и. Функция У (х) называется иепрераыной прн х=$ (или ев точке 5э), если: 1) эта функция определена и точке $, т. е. существует число 1(5]; 2) существует конечный предел 1пп У(х]; 3) этот предел равен авачеиию фуикции в точке 2, т. е.

а $ Пгп 1(х)=1(5). «-~ 1 Полагая х=с+Ь$, где Ь$ - О, моишо переписать условие (1) так: 1пп а/(е)= 11щ 11($+ь$) — 1$)]=-о, (2) ай- е аз-» е т. е. функция / (х) непрерывна в точке 5 тогда и только тогда, когда в втой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (ннтервала, сегмента н т. п.), то она нааывается нелрерывной а ащой облосши. П ример 1. Доказать, что функция у=мпх непрерывна длв любого значения аргумента х. Решение. Имеем: йх ау= з!п (х-1- Ьх)-з!п х= 2 з!п — соз ~х+ — у! = — ° соз ~х+ — у! .Ьх.

2 35 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ Так каи Ьх э!и— Ьх Бш =1 и ~сов (х+ — ~ ~ац! ° то при любом х имеем: 1!ш ЬУ=О. эх а Следовательно, функция юп х непрерывна при — са < х <+ са. 2'. Точки разрыва фу и кцн и. Говорят, что функция !(Х) терпит рпэрыэ непрерывности при эначении х=ха (или в точке ха), принадлежащем ф Рис. 10, области определения функции или являющемся граничным для этой области если в втой точке нарушается условие непрерывности функции. ! Пример 2. Функция !'(Х)= (рпс. 10, а) раэрывна при х= — 1.

Эта (! — х)а функция не определена в точке х=1, и как бы мы ни выбрали число 1(1), пополненная функция ! (х) не будет непрерывной при х=1. Есин для функции 1 (х) существуют к о н е ч н ы е пределы: йгп хх (х) =) (ха О) и йщ ! (х) — ) (ха+ О) *- х,-а х «~ьа 36 (гл. ! ыыидннмы в анализ причем ие все три числа /(хо), /(хо — 0), /(х„+0) равны между собой, то хо называется точкой роэрыоо !-го роди. В частности, если / (хо — 0) =/(хо+0), то хо называется устрйнимой точкой риэрыои.

Лля непрерывности функции /(х) в точке хо необходимо н достаточыо, чтобы /(ха)=/(хэ — 0) =/(хо+0). Пример 3. Функция /(х)= — имеет разрыв 1-го рада при х=О. э!их [х[ В самом деле, здесь /(+ О) = 1!ш — =+ 1 тих к +о к /( — 0)= Вт — = — 1.

« -«-а Пр им е р 4. Функция у=Е(х), где Е(х)обоэначаетцелуючзсть числа к (т, е. Е(х) есть целое числа, удовлетгсряющее равенству «=Е(х)+О, где О~О <!), раэрывна (рис. !О, б) в каждой целочисленной точке: х=О, т 1, т 2, ..., причем все точки разрыва 1-го рада. В самом деле„если н — целое, то Е(н — 0)=л — 1 и Е(н+0) =и. Ва всех остальных точках эта функция, очевидно, непрерывна. Тачки разрына функции, не являющиеся тачками разрыва 1-го рода, называются томами роэрмои 2-ю роди. К точкам разрыва 2.га рада относятся точки бесконечною риэрьмо, т.

е. такие точки «м лля которык котя бы один иэ одностороаних пределоо /(хе — О) или/(хо+0) равен со (см. пример 2). Пр имер б. Функция у=сов — (рнс. 10, о) в точке к=О имеет разх рыв 2-го рода, так кзк здесь не существуют аба односторонних предела: и и ((т соэ — и Вгл савв к-«- О " к-«+О 3'. Свойства непрерывных функций. Принсследованкнфункцни иа непрерывность нужно иметь в виду следующие теоремы: !) сумма и произведение ограниченного числа функций, непрерывных в некоторой области, есть функция, непрерывная в этой же области; 2) частное от деления двух непрерывных в некоторой области функций есть непрерывная функция прн всех аначениях аргумента из этой области, не обращающих делителя в нулей 3) если функпия /(х) непрерывыа в интервале (о, Ь), причем множества ее зыачеыий содержатся в интервале (А, В), и функция «р(к) непрерывна в интервале (А, В), то сложная функиия «р [/(х)[ непрерывна в интервале (и, Ь[.