Демидович Б.П. (ред.) - Задачи и упражнения по математическому анализу. Для втузов. (десятое) (1978) (Б.П. Демидович - Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов - 1978 - 10-е издание), страница 8

Решение, У (х) =е-х ( — 3 Нп Зх) — е-" сохах; У (О) = е' ( — 3 н! и О) — с' сох 0 = — 1. 552. р" (х)=1п(1+х)+агсз)п —. Найти ('(1). 553. у= (пх —. Найти 1 — ( нх . (еду 0 ' (,ахи.=,. 554. Найти ~~(0) и )"' (0) для функций: а) ( (х) = )' з)п (х); г) ! (х) =- х' з!п —, х ~ 0; ( (0) = О; б) ! (х) = агсз1п —,,; д) ) (х) = — х з(п —, х ~ 0; !" (0) = 0; в) )'(х) = —,, хх-О*, !'(0) =О; 1+,х 555.

Для функции ! (х) =е " найти ! (0)+х('(0). 556. Для функции ((х)=)/1-гх найти ((3)+(х — 3)('(3). 557. Даны функции ! (х)=15 х и ср(х) =1п(1 — х), найти —, У (О) р' (0) 558. Для функций !'(х) =1 — х и ср(х)=1 — з)п — найти —, пх .. Ф' (!) 2 У(!)' 559. Доказать, что производная четной функции — функция нечетная, а производная нечетной функции — функция четная. 560. Доказать, что производная периодической функции есть функция также периодическая.

561"". Показать, что функция у= хе " удовлетворяет уравнению ху' =(1 — х) у. [гл. и диооаренцировднив оинкцин 662. Показать, что функция у= хг ' удовлетворяет уравнениюю ху' = (1 — х') у. 1 663. Показать, что функция у = 1 ! удовлетворяет урав1+к+!и х нению ху' =у(у1цх — 1). Ж. «г(огарифмичеокая производная Логарифмической производной функции у=!(к) называется производная от логарифма этой функции, т. е.

(!пу)'= — = —, у' Д (к) у / (к) ' Применение предварительного логарифмирования функции иногда упрощает вакожденне ее производной. П р н и е р. Найти производнув сложно-показательной функции у =ие, где и = ~р (к) и о = ф (х). Р е ш е н и с. Логарифмируя, получки: 1п у =- о )п и. Дифференцируем обе части последнего равенства по к (!пу)'=о'1п и+и(!пи)', илн 1 1 — у'=о'1п и+о — й, у и у' = у (о' 1п и+ — и' ) ° и у'=ив ~о'!пи+ — и').

и 664. Найти у', если У= Э~Ха — 5!пэХСОззХ, э — 1 — х 1+ хэ Решение. !пу= — )пх+1п(1 — х) — 1п(1+к')+3!пэ(пх+21псоэх; 2 3 1, 2 1 ( — 1) 2х соэк 2з)пх — у' = — — + — — +3— у 3 к 1 — х 1+ха зшк свах ' г2 1 2к откуда у'=у — — — — — +Зс(йк — 21ях). ~Зк 1 — х 1+ хэ й з) производныв оункции, нв являющихся явно изданными 53 565. Найти д', если у=(з!пх)к. 1 Р е ш е н и е. 1п у=х!п з(п х; — у'=!п з!их+хе!и х; у у'=(з)их)к(!и юпх+хс(йх). Найти у', применяя предварительно логарифмирование функции у=)(х): 566.

У=(х+1) (2х+ 1) (Зх+1). 567. Укк (х+ 2)з - /х(х — 1) (х-', 1))а (х-).З)" ' 568. у= "~/— х — 2 з /' (х — 2)к 569. у=-х 1/ —,, 570. у= 571. у=, . 572. У=х'. 'у' (к-)-2)а )/(х+3)а 573. У=х"'. 574. у= )/гх. 575. у = х' ', 576 у = хкк 577 у = хиа к 578, у=(созх)нак. 570. д= () +-,')". 580. д = (а ге(п х)". $3. Производные Функций, не являющихся явно заданными 1, Производнаи обратной функпнн. Если ллн функции у= ! (к) нронаводнан у„гл О, то нронзеолнан обратной функции х = !" К (у) есть ! хк- — — —, ук нлн г)х 1 Тг(у бу ' Гх Пример 1. Найти праизводиуго ха, если у=х+1пх.

° , 1 х+1 х Ре ш е ни е. Имеем у„=1+ — = —; следовательно, ка — — —. к х х+1 2'. Производные фуннцнй, заданных параметрнчески. Если зависимость функции у и аргумента к задана посредством параметра ! х==ф(1), у=- ф (!). ° ут Ук ='=. г х! [гл.

и 54 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ или в других обозначениях ку бу ~И бх ох' б1 Пример 2. Найти —, если бу г(х ' х= а соя 1, у=аз(п1. бх . Еу Р е ш е и и е. Находим — = — а юп 1 н — =асов 1. Отсюда о1 б1 пу осоз1 — = — с(я 1. бх — аз(п1 3'. П роиз в одна я неявной функции. Если зависимость между х и у задана в неявной форме г (х, у) = О, (!) то для нахождения производкой ух=у' в простейших случаях достаточно: !) вычислить производную по х от левой части уравнения (!), считая у функнией от х; 2) приравнять вту производную нулю, т.

е. положить — г" (х, у)=О, о ях (2) н 3) решить полученное уравнение относительно у'. Пример 3. Найти производную у„, если хе+ уз — Заку = О. Ре шеи не. Составляя производную левой части равенства (3) и приравнивая ее нулю, получим: Зхе+ Зу'у' — За (у+ ху') = О, отсюда х — оу у ах — у* ' х„', если 58!. Найти производную а) у=Зх+х', ! 6) у —.х — — шпх, в) у=О,)х+е'. Определить производную пар аметри чески: у = — для функций у, заданных у !(у 1 1-~-! $ у = ( —,',,)'.

у= х= асов'1, 589, у= Ь з)пв1. С055 ! х= 1/ с052! 5103 ! г' с0521 х=21 — 1, 582. у = 15. 5 х=а(соз1+151п 1), 588. у=а(яп1 — 1соз1). х = а сои'1, 599. у = Ь яп'1. 1 х = агссоз 592 ~1-1-" 1 у = агсяп у !тгв 594. ~ 2 х=а 1п19 — +соз1 — яп1~ у = а (яп 1+ соз 1). 595. Вычислить — при 1= — если ид а дх 2 ' х=а(1 — япг), у = а (1 — соз 1).

Хга', 593. у=С". ' 510— 2 =1. и — С05— 2 ек 05!п ! 510 1 1'Пв'1 Решение. — = = и 1 — 11 дХ 0 (! — С05 11 ! — С05 ! ~4Х/ С /С= =-11п1, 10 ! хг вссоз1, у=с'и!п1. 596. Найти — при 1=1, если еу ах у 597. Найти — при 1= е, если 0'д П 598. Доказать, что функция у, уравнениями заданная параметрически х= 21+ 315 у=(5+215 551 пяоизводныв фкнкции. нв являкицихся явно заданными 55 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 1Гл. ц удовлетворяет уравнению 599. При х=2 справедливо равенство х* = 2х. Следует ли отсюда, что (х') ' = (2х') при х=27 600. Пусть у=)'а' — х'.

Можно ли почленно дифференцировать равенство ха+ уе аар Найти производную у = — „ у лу ох 60!. 2х — бу+10=0. 610. !9 у = хд. 6!2. Егс!Й(х+у) =х. 614. !Нх+е "=с. 616. агс1и у = — 1п (ха+у*). Р е ш ем и е. Лиффереипируя, имеем 2у'=у'+Зку'у'. Полагая к=1 а у=1, получим 2у'=!+Зу', откуда у'= — !. 620. Найти производные у' заданных функций у в указанных точках: а) (х+у)а=27(х — у) при х=2 и у=1; б) угу=а +" при х=О н у=1; в) у'=х+!и —" при х=1 и у =1. х 605. ха+да 605. )Гх+) у=)'а. х — у 607. д = —.

"+у 609. асоз'(х+у) =0. 611. ху=агс1и — ". у 613. еа=х+д. 615. 1п у + — = с. у 617. 7 х*+у'с аагс!и -". х 619. Найти у' в точке М(1 2у= от неявных функций у: кч уч 60' о+а 604. х'+х'у+у'=О. 606. ~/ х'+ у' у' = у' аа. 608. у — 0,3 зйп у = х. 618. х" =у". ; !), если 1+хд'. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОИ $4. Геометрические и ыехвничесиие приложеиии производной 1'. У равнения касательной и нор мали. Из геометрического смысля производной следует, что уравнение касательной к кривой у=) (х) нлн г" (х, у) =О в точке М (хе, уе) будет У вЂ” Уе = Уе (» — «о). где уе есть значение производной у' в точке М (ха, уе). Прямая, проходящая Рис.

12. Рис. 13. через точку касания перпендикулярна к касательной, называется нормалью к кривой. Для нормали получаем уравнение х — хе+уе(у — уй =О 2'. Угол между к р изыми. Под углом между кривыми У=И (") и у=!е (х) в пх общей точке Ма(х„уе) (рис. 12) понимается угол ю между касатель- иымн Мед н МаВ к зтим кривым в точке Ме. По известной формуле аналитической геометрии получаем: га (хо) )т ("е) 1+);(хе) );(хе) 3'. Отрезки, связанные с касательной и нормалью, для случая прямоугольной системы координ ат.

Касатель- ная н нормаль определяют следующие четыре отрезка (рнс. 13): Г=ТМ вЂ” так.называемый отрезок касательной, Юг = Т К вЂ” надкагательная, л = )УМ вЂ” отрезок нормали, 3„= КДà — лоднормаль. Так как КМ = ! Уе ! " 12 'р= уз та~ ау~ ~„~ ~, .=им !ч~/~.цю)'!' ~е ЗГ=ТК=)41; о.=(уу,'! ! Уе ! Уе !гл. и дифференцирование функции 4'. Отрезки, связанные с касательной н нормалью, для случая полярной сн стем ы коо рдн н ат. Если кривая задана в полярных коорднватах уравнением г=!(ф), то угол р, образованный касательной МТ н полярным радиусом гьь ОМ (рве. 14), определяется следующей формулой: йр г !кр=г — = —.

йг г'' Касательная МТ н нормаль Мь! в точке М вместе с полярнньа радиусом точки Рнс. !5. Рнс. 14. касания в перпенднкуляром к полярному радиусу, проведенным через полюсо, определяют следующне четыре отрезка (см. рве. 14): ! = МТ вЂ” отрезок полярной касательной, п=Мь! — отрезок полярной нормали, Яь = ОТ вЂ” полярная нодкисьиялльнаь, Зп=ОГà †полярн иоднормаль. Этн отрезки выражаются слсдующнмн формулами: г гь — )Г гь+ (г')ь! Л! = ОТ = —, ! 1г'1 ' )г'1 ' и = М Ф = )г гь+ (г') ь; Яа ьь О)У = 1 г' 1. 621. Какие углы ф образуют с осью ОХ касательные к кривой у=х — х в точках с абсцнссамн: а) х=О; б) х= —; в) х=1? 1 Решена е.

Имеем р'=! — хя. Отсюда: а) !Кф=!, ф=45'! 5) !дф=о ф=о', В) !Кф= — 1, ф=135ь (рне. 15). 622. Под какими углами синусоиды у=з)пх и у=з)п2х пересекают ось абсцисс.в начале координат? 623. Под каким углом тангенсонда у=1йх пересекает ось абсцисс в начале координат? 624. Под каким углом кривая у=е"зл пересекает прямую х= 2? 626, Найти точки, в которых касательные к кривой у =йхь+ + 4х' — 12ха+20 параллельны оси абсцисс.

ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 59 626. В какой точке касательная к параболе у =х' — 7х+3 параллельна прямой 5х+у — З=Ор 627. Найти уравнение параболы у=ха+Ьх+с, касающейся прямой х =- у в точке (1; 1). 628. Определить угловой коэффициент касательной к кривой х'+у' — ху — 7=0 в точке (1; 2).

629. В какой точке кривой уэ=2х' касательная перпендикулярна к прямой 4х — Зу+ 2 = — О? 636. Написать уравнения касательной и нормали к параболе у=~/х в точке с абсциссой х= 4. ! Решение. Имеем у'==; отошла угловой коэффициент касатель. 2 1'х ! ной й= (у'1 ! —— —. Так как точка касания имеет координаты х=4, у=2 4" ! то ураанение касательной есть у — 2= — (х — 4), или х — 4у+4=.0. 4 В силу условия перпендикулярности угловой коэффициент нормали йт== — 4, откуда уравнение нормали у — 2= — 4(х — 4), илн 4х+у — (8=0. 63!.

Написать уравнения касательной и нормали к кривой у = х'+ 2х — 4х — 3 в точке ( — 2; 5). 632. Найти уравнения касательной и нормали к кривой у= ~хх — 1 в точке (1; О). 633. Составить уравнения касательной и нормали к кривым в указанных точках: а) у = 16 2х в начале координат; х — ! б) у =агсз)п — в точке пересечения с осью ОХ; в) у =агссоэ Зх в тачке пересечения с осью ОУ; г) у=)пх в точке пересечения с осью ОХ; д) у=е' " в точках пересечения с прямой у=-1. 634.

Написать уравнения касательной н нормали в точке (2; 2) к кривой 60 1гл. и диефвгвнциговлние еэнкцип 635. Написать уравнения касательной к кривой х=1соз1, у=1япт в начале координат и в точке 1= —. 4 ' 636. Написать уравнения касательной и нормали к кривой х~+у'+2х — 6=0 в точке с ординатой у=а. 637. Написать уравнение касательной к кривой х'+у'— — 2ху=О в точке (1; 1). 638.