Демидович Б.П. (ред.) - Задачи и упражнения по математическому анализу. Для втузов. (десятое) (1978) (Б.П. Демидович - Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов - 1978 - 10-е издание), страница 4

Для каких значений л будет выполнено неравенство — „,<е (е — произвольное положительное число)? Произвести численный расчет, если: а) е=0,1; б) е=0,01; в) е=0,001. !67, Доказать, что предел последовательности х = — (л=1 2 ...) л л!! э при л — ео равен 1. При каких значениях л> У будет выполнено неравенство (х„— ! (< е (е — произвольное положительное число)? Найти Ф, если: а) е=0,1; б) е=0,01; в) е=0,001. 168, Доказать, что 1!и! х' = 4. Как подобрать для заданного положительного числа е какое- нибудь положительное число б, чтобы из неравенства 1х — 21< б следовало неравенство 1х* — 4! < е7 Вычислить б, если: а) е=0,1; б) е=0,01; в) е=0,001. 169.

Выяснить точный смысл условных записей: а) 1пп 1йх= — ел! б) 11п! 2к=+сл; в) 1пп1(х)=со. к-~+О к +л к ~ю 170. Найти пределы последовательностей: 1 1 1 ( — !)"-1 а) 1 2' 3' 4''''' л 4 6 2л 1 ' 3" 5 ' '' '2л — !''''' в) )'2, )/ 2)/2, ~/2 )/2 Рк2 ° ° ° ! г) 0,2; 0,23; 0,233; 0,2333; ... 4 з! 23 ПРЕДЕЛЫ Найти пределы: Г ! 2 3 п — )х 171.

!!гп ! —,+ —,, + — й+ ° * ° + й 7' ' (и-(- П (л -)- 2) (л + 3) 172. 1ггп л -~ Ф ! ! ! 3-)-0+7+...+(2и — !) 2а+!1 л+1 173. !ип ~~ 2 2л+ ' -~- 3" + з 174. ![щ„"'( !'. 176 !Пп 2.'(3 л >Ф л-Ф 176. !ип ~ — + — + — + ° ° ° + 1) )! „~2 4 8 ''' 21)7'' ( Пл 1 3 0 27 ''' Зл- 178" )ип л ай 179. !ип ()7'и+ 1 — 1~п)1 ° 180. 1ип —, а~+ ! л-~ Ф (2х — 3) (3»+5) (4х — б) Х Ф Зхй+х — 1 х-й Ф ! ! 3+ — —— Хй Пр имер 2. !пп = Пгп =1. х ! х-йФ )йк х" + !О й- !О к" 182.

!!гп —, ! 000х Фк' — !' 184. )ип —, 2хй — к+3 „,„х' — 8»+5' 2хй — Зк — 4 186, (ип: к Ф кй 188. 1ип к- !О+х Р'х 181. !ип —, (х+ Цй х'-)- ! 183. 1ип Зк 7 186 ц (2х+3) (Зх — 2) ха+5 187. !!и! — 3 2»+3 Х-ЪФ Х+ )л Х 189. !ип ~х' г ! х+ ! 190. !ип ~г +~' + ~» При отыскании предела отношения двух пелых многочленов относительно к прн х — ой оба члена отношения полезно предварительно разделить на х", где и — нанвысшая степень этих многочленов. Аналогичный врием во многих случаях можно применять и для дробей, содержвшнх ирраниональности. Пример !.

(гл. 1 ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ находится непосредственно. Если же Р (а) = Я (а)=0, то дробь — рекомендуется сократить один Р (х) е() или несколько раз на бином « †. Пр имер 3. Ещ хг — 4 Ищ (х — 2) (х+2) Ппг х+2 4 «-, г х' — 5«+ 2 «-,г (х — 2) (х — 1) « -, г х — 1 191. 1ип, + хз — 5«+ 1О ! «+~1 ' «-~а х' — 25 193.

1ип, +, 194. 1ип ! ха+Ах+2 « ° г х' — 4х+4' 195. ' 1ип 196. 1ип ( ),"+ ха — а' 197. !ип 198. !ип !— 1~,! — х 1 — хзг' Выражения, содержащие иррациональности, приводятся к рациональному виду во многих случаях путем введения новой переменной. Пример 4. Йайти г'!+х — 1 «о а 1+х Решение. Полагая 1+я=уз, имеем: ~г)-)- — 1 „ у †! 9 уз+у+! З «-озр/!+х 1 а гу' — 1 а-! у+1 2' 199. 1ип ~ х — 1 ~~ ~х — 1 20!. 1ип ", ! ~~,/х — 1 200. 1ип 1 х «-ю 6« ~,Г» — 4 202. 1ип з~/х~ — 2 ~,/х —,'~1 «-~ ! (» Другим приемом нахождения предела от нррациоиального выражения является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот, иэ знаменателя в числитель.

Пример 5. ргх — г'а ! х — а ~ а (х — а) ! г' х + )l а ) 1 1 = Вщ — — (а > 0). «-+е угх ! у'а 2 ~д Если Р (х) и Я (х) — целые многочлены и Р (а) ~ 0 нли Я(а) ~ О, то предел рациональной дроби Бщ— Р (х) .-.0() ПРЕДЕЛЫ 1з1 При вычислении пределов зо многих случаях используется формула !нн — '= ! а х и предполагается известным, что !ни в!Ох=а!па и !Онсозк=созе. х я х й Пример 6. 1ии — '" "= 1!о! !У '" ".Б)=!.5=5.

х О х х-ьо ! Ех 2!7. 1ип —. з|о Зх х-г 0 б) !йпхз1П вЂ”. 1 к 229. 1ипс152хс18 ! — — х) . о ч2 228. 1ип (1 — х)15 —. х -~ 1 2 203. !ип 4 — 4ч к — 49 205. Пп! з 1' х — ! Х-~! у'Х вЂ” ! 207 1' ~ + х 0 к 209. !ип 3 Гх+! 3 я о 211. 1ип ()» х+а — )Ух ). ем 213. 1ип ()/ х' — 5х+6 — х) к ем 215. 1ип (х+ рзУУ1 хз).

216. Е) 1!и! —. х б) 1ип — . х м К 2!8. !ип —. О з1 п 2х ' 220. !ип ! пз!и — ~1. х я т лт ян х — з!н и х — а 224. Ипт х — з + з!нх совх и 1 — !Ек х — 3 204 1!тп г= з зуУХ вЂ” 2. 206. 1ип— 3 — уУЗ+х ч ! — )УЗ вЂ” х 208 ! й 210.

1ип 1 Э вЂ” 2 з-з — У '~2*-6 х-~ 3 хз — 4х+ 3 212. !ип ()/х(х+а) — х1. к-~т ю 214. !ип х (~У хз+ 1 — х). 219. 1ип —, х ! згнпих' 221. !ип '.'„О х сов х — сов о яп (к+!!! — О~ох 225. 1!пт а- о й 227. Е) !ипхз!п —; ! х О 1гл. ! вввдвнив в анализ х 1 — в)п— 230. 1пп— 2 «п л — х 239. 1пп— 1 — а~сов х х а При нахождении пределов вида Вщ [у(х))ч!«)=С . (3) к-«а следует иметь в виду, что: 1) если существуют конечные пределы 1пп ~р(х)=А (А > О) и Пш 9(х)=В, «.«а то С=Ан; 2) если 1!ш ~р (х) = А ге 1 (А > О) н 1!ш 9 (х) = ж ао, то вопрос о налом«- к-«а « -«О денни предела (3) решаетсн непосредственно; 3) если Ъш <р(х)=! и !!ш зр(х)=со, то полагают ~р(х)=!+а(х), где « -«а «а м(х) — «О при х — а а и, следовательно, 1 а!«!'ч!"! ню ас«1 ф!«! пю Ге!«! — !1Ф!«! с= пш 11+а(х))а !«!) =,.( а = е«-«а где е= 2,718...

— неперово число. Пример 7. Найти ~в1п 2»)г+» Решение. Здесь вш ( п2»)=2 и цш (1-1-х)=11 «-«О 'ч х / «-«о следовательно, сов ш« — сов ах 234. !пп ««О 239. 1пп —. ! в!ппх ' савв '238. )пп 2 !1 —,рх' 249 1 )~ 1+них — г 1 — в!ох пп «-~ 0 х 1 — 2совх и — Зх к « 233. 1!пт !В« — ""* к 0 235. Игп —. агс!и 2х в!и 3 237. 1пп:. ек+в!п3« ' ПРЕДЕЛЫ Пример 8. Найти 1!ш ~ ) Решение. Имеем: 1 1+— х+1 . 'х ! х.~~Гйх+' х-~,ч й йш — '= 1!ш — = —, х Вш ха=+со, Поэтому Пример 9.

Найти Ре ш ение. Имеем: 1 1— 1пп = Вш =1, х — ! х х от+1 х а х Проиаведя указанное выше преобразование, получим: йш (" — ')"= йш ~14 (", !)~'= -зх = "- 1! Ж1 ' 1 "'-"" ""-- „.... В.( —.') ..-.Г~ —.') 1'.— ... х) х-ьч 'т х) Вообще, полезно помнить, что Вш (!+ ! ) — а. 242. 1!Пт ( —,) 24!. !!и! (~~ ) . зк 243. 1ПП ( — з) з!з х В данном случае, не прибегая и общему приему, можно найти предел праще: 1гл.

! вввдвннв в анализ 247. 1ип (1+ — ) . "'".~ — 3) . 1 251. 1(а (1+з!пх)« . 248. 1[па (1 — 1); «-«« 248. 1ип ~ — ) . 250. 1ип ~1+ — „) . 252ев. а) 1ип(созх) '; '«-ь а 1 б) 1ип(созх)"'. Решение. Имеем: 1п (1+х) т[ Г 1 1!ш „= Нш (!п(1+х)«)=1п( Мш (1+х)«)=1п«=1, к-«а к в «-«е Формула (') часто вспользуется при решении задач. 253. !ип [1п(2х+1) — 1п(х+2)].

254 1[п! !аб+(ох) «.«Ю х к а 255. 1(пт ( — 1п '[/ ~" ~) . 256. 1!птх([п(х+ 1) — 1пх). к +« х' 258в, 1ип — „ «а ха « -«9 259*. !ип — (а>0). 260в. 1йп п()к а — 1) (а> О). «-~е «ью 261. 1ип 262. 1ип —. а х ««О ьлпл 263. а) 1пп —; б) ! сЬ« — 1 (см. №№ 103 н 104). Найти следующие односторонние пределы: 264. а) )ип б) 1ип «-+-а 3~ха-)-1 ' к-++а Уха+! При вычислении приведенных ниже пределов полезно знать, что если существует и положителен 1пп /(х), то к -«а Пш [1и/(х)) =1п [Ит /(х)1.

«-г« « -«а Пример 10. Доказать, что 1п (1+х) Нш к,е х пРеделы б) 1ип 1!о х, к -о + а 266. а) 1ип (Их; где Иох= ок+о-к ' 267. а) !ип Я! +о); к, а Х 266. а) Ит —,; ! к -о !4 ок б) 1ип ! к +о !+ок 268. а) !ип к — о х ! о!и х ! ->о 270. а) Иш х — 2' б) !ип ,, +ох — 2' Построить графики функций: !ч !!+ок) х 269. а) !ип к 1-6 !» б) Иш х — ! к-ко+о !" 272*.

у= !ип — „(х~)0) 274. у= 1йп (агс1дпх). 271*". у= Иш (соаокх). о м 273. у=Иш ~/хо+ао. а-о О ко\ 276. у = Иш (,'" 1+ х" (х%кО). о а 276. Превратить в обыкновенную дробь данную смешанную периодическую дробь а =0,13555 ..., рассматривая ее как предел соответствующей конечной дроби. 277. Нто делается с корнями квадратного уравнения ахо+ Ьх+с=- О, проведенных в точках х=1, 2, ..., и, прн и- оо. если коэффициент а стремится к нулю, а коэффициенты Ь и с постоянны, причем Ь ~0? 278. Найти предел внутреннего угла правильного и-уголь- ника при и — ао.

279. Найти предел периметров правильных п-угольников, вписанных в окружность радиуса )с и описанных вокруг нее, при л аа. 280. Найти предел суммы длин ординат кривой у=е ксоапх, 8О вваданнв в анализ 281. Найти предел суммы площадей квадратов, построенных на ординатах кривой у= 21-х как на основаниях, где х=1, 2, 3, ..., я, при условии, что И- сю. 282.

Найти предел при п — со периметра ломаной линии М,М,...М„, вписанной в логарифмическую спираль г =е-и если вершины втой ломаной соответственно имеют полярные углы я ля Ч'о=Оз 'Рг — з ° ° ° ° е 'Ри — з * 283. Отрезок АВ=а (рис, 7) разделен на л равных частей, и на каждой получившейся части, как на основании, построен равнобедренный треугольник, с углами при основании, равными а=45 . Показать, что предел периметра образовавшейся ломаной линии отличен от длины отрезка АВ, несмотря на то, что в пределе ломаная линия «геометрически сливается с отрезком АВ». Рис.

7, Рас. 8. 284. Точка С, делит отрезок АВ =1 пополам„ точка С, делит отрезок АС, пополам; точка С, делит отрезок С,С, пополам; точка С, делит отрезок С,С, пополам и т. д. Определить предельное положение точки С„, когда л - со. 285. Катет а прямоугольного треугольника разделен на а равных частей, и на получившихся отрезках построены вписанные прямоугольники (рис. 8). Определить предел площади образовавшейся ступенчатой фигуры, если п- оо.. 286. Найти постоянные Ь и Ь нз уравнения ее+1 ') х~+1 у Иш 1йх+Ь вЂ” — 1=0. Выяснить геометрический смысл равенства (1).

287*. Некоторый химический процесс протекает так, что прирост количества вещества за каждый промежуток времени т из бесконечной последовательности промежутков (1т, (1+ Ц т) 1 с1 внсконично мвлыв и висконвчно вольшив 31 (1=0, 1, 2, ...) пропорционален наличному количеству вещества, имеющемуся в начале этого промежутка, и величине промежутка. Предполагая, что в начальный момент времени количество вещества составляло (;)„ определить количество вещества дссч' через промежуток времени 1, если прирост количества вещества происходит каждую и-ю часть промежутка времени я=-. а' Найти Щ= 1!ш с<сс"'.