Демидович Б.П. (ред.) - Задачи и упражнения по математическому анализу. Для втузов. (десятое) (1978) (Б.П. Демидович - Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов - 1978 - 10-е издание), страница 3

у=1,5х+2. 15 ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯ Построить графики целых рациональных функций 2-й степени (параболы): 1 47. у=ах', если а=1, 2, —, — 1, — 2, О. 48. у=х'+с, если с=О, 1, 2, — 1. 49. у=(х — х,)', если х,=О, 1, 2, — 1. 50. у=у,+(х — 1)', если у,=О, 1, 2, — 1, 51". у=ах'+Ьх+с, если: 1) а=1, Ь= — 2, е=З; 2) а= — 2, Ь=5, с=О. 52. у=2+х — х'. Найти точки пересечения этой параболы а осью ОХ. Рне. 3, Рне. 4. Построить графики целых рациональных функций степени выше второй: 53". у = х' (кубическая парабола). 54. у = 2+(х — 1)з.

55. у = х' — Зх+ 2. 1б 1гл. ! ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 58. у = х'. 57. у =. 2х* — х'. Построить графики дробно-линейных функций (гиперболы): 58ь. у = — „. 1 ! 59. у = —. ! — к' Во. у'— '. =к+ 61 . у=у,+ — „„, если х,=1, у,= — 1, т=б. 2 — Э 62*. у= —. Эх+2 ' Построить графики дробных рациональных функций." 1 хЗ 63.

у=х+ —. 64. у = —. х ' х+1" 65. у= —,. ЕВ. у= —,. 1 1 67 . у= —, (локон Аньези). !о х'+ ! 2х 68. у = —, (серпентин Ньютона). к'+ ! 69. у=х+ —,. 1 70. у = х'+ — (трезубец Ньютона). ! Построить графики иррациональных функций: 7!*. у=1/х. 72ь. у=~ьг'х. 73*. у = ~/хк (парабола Нейля). 74.

у=*х г' х (полукубическая парабола). 75*. у=-~ 5 $'25 — х' (зллипс). Э 76. у = ~ ~' х' — 1 (гипербола). 1 77. у=— У~ — х* ' 78ь. у=-Е х ф' —" (циссоида Диоклеса). 79. у = -Е х $"25 — х'. Построить графики тригонометрических функций: 30*. у = 5! п х. 81". у =соах. 32 . у=!их. 83*. у = с13 х.

84*. у=аесх. 85*. у = со!ее х. ГРАФИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 86. у=Аз!пх, если А=1, 10, —, — 2. 1 87 . у=в!пах, если а=1, 2, 3, —. 1 88. у=в!п(х — ~р), если <р=О, —, — и н Зм Я 2' 2 ' ' 4' 89". д = 5 ып (2х — 3). 90*. у=аыпх+Ьсовх, если а=б, Ь= — 8. 91. д=ыпх+совх. 92", у=сов'х. 93*. у = х+ в!п х. 94". у=ха!пх. 93. у= !Иех. 96. у=! — 2совх. 97. у = ыпх — — в!п Зх. 98. у = сов х+-,сов 2х. 1 ! з 2 99". у=сов —. 100. у = ~ ф' ып х. к ' Построить графики показательных и логарифмических функцийй: 101*.

у=а", если а=-2, д, е(в=2,718 ...) *). 102*. у =1ойех, если а=10, 2, —, в. ! 103*. у=в(1х, где в!тх= —,(е" — е- ). 1 2 104". у = с!т х, где с(т х = — (е'+ е "). 1 2 105*. у=!(тх, где !!1х=- —. 1 106. у — — 10 '. 107*. у=в " (крнвая вероятностей). 1 108. у =- 2 109. у=!6хе. 110. у = !Ик х. у = !9 (!6х). 1 1!2. у= —. 1ек' 113. у = — !6 — . к 114.

у = !8 ( — х). у = !оу, (!+ х). 116. у == !8 (сов х). 117. у=-2 "ыпх. Построить графики обратных тригонометрических функций: ! 18". у = агсып х. !19*. у=агссовх. 120*. у=-агс!Их. !21". у= агсс(их. ! ! 122. у = агсып — . 123. у = агссов — . к к ' *) О числе и подробнее см.

стр. 21. !8 1гл. ! ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 124. у=х+агсс!их. Построить графики функций: 125. у = ! х ). 126. у =-(х+)х~). 127. а) у = х ! х); б) у = !од„г-, ) х). 128. а) у=в!пх+!в!пх(; б) у=з!пх — !в!пх~. 1 3 — х' при !х!(1; 129. у= 2 — при !х1~ 1. !х! 130. а) у=[х|,. б) у= х — [х|, где [х) †цел часть числа х, т.

е. наибольшее целое число, меньшее или равное х. Построить графики функций и полярной системе координат (г, ф) (г)0): 131. г = 1 (окружность). 132*. г= ф2 (спираль Архимеда). 133ь. г=еф (логарифмическая спираль). 134*. г = — (гиперболическая спираль). ф 135.

г = 2 сов ф (окружность). 136. г= —. (прямая линия). 1 мпф 137. г = зес' ф (парабола). 2 138". г=10в!пдф (трехлепестковая роза). 139ь. г=а(!+совф) (а > О) (кардиоида). 140*. г'=а'сов2ф (а) О) (лемниската). Построить графики функций, заданных параметрическим способом: 141". х=Р, у= 1ь (полукубическая парабола).

142*. х=10сове, у=в!п! (эллипс). 143". х=10совь1, у= !Ов!пь! (астроида). 144*. х = а(сов1+ 1 в!пе), у = а (в!п( — ! сов !) (раэверпига круга) . 145*. х= —,„, у= —,', (декартов лисп1). 146. х=, у= ' (полуокружность). У1+ ' У'1+ * 147. х=2'+2 ', у=21 — 2 ' (ветвь гиперболы). 148. х=2сов'1, у=2в!пь1 (отрезок прямой линии).

149. х=1 — Р. у=(ь — Р. гглеики злемвнтлвных фтнкций 150*. х = а(2 сов! — соз 21), у == а(2 з!п! — з!и 21) (кардиоида). Построить графики функций, заданных неявно: 151*. х*+ и'=25 (окружность), 152. ху= !2 (гипербола). 153*. у'=2х (парабола). 54.

ос+ г =1 (эллипс). 155. у' = х' (100 — х'). с с с 156*. х' +у' =а' (астроиди). 157". х+у= 10!иу. 158. х'= сову. Агсге— е 159*. )гх'+ус =е ' (логарифмическая спираль). 160*. х'+у' — Зху=О (декартов лист). 161. Составить формулу перехода от шкалы Цельсия (С) к шкале Фаренгейта (Р), если известно, что 0'С соответствует 32'Г н !00'С соответствуют 212'Р.

Построить график полученной функции. 162. В треугольник, основание которого Ь = 10 и высота 5= 6, вписан прямоугольник (рис. 5), Выразить площадь этого прямоугольника у как функцию от основания его х. Рис. 5. Рнс. 6; Построить график этой функции и найти наибольшее ее значение. 163. В треугольнике АСВ сторона ВС = а, сторона АС= Ь и переменный угол ~ АСВ=х (рис. 6). Выразить у =- пл.,(!, АВС как функцию от х. Построить график этой функции и найти наибольшее ее значение.

164. Решить графически уравнения: а) 2х' — бх+2 =0; г) 10-"=х; б) х'+х — 1=0; д) х=!+0,5з(пх; в) !их=0,1х! е) с!их=х (Ок.х<п). 20 (гл. ! введннин в лндлиз 165. Решить графически системы уравнений: а) ху =10, х+у= 7; б) ху=б, х'+у'=!3; в) х* — х+у=4, у' — 2х=О; г) к'+у=10, х+у'=6; д) у = з(п х, у = соя х (О ( х < 2л). 3 3.

Пределы !'. Предел последовательности, Число а назмвается пределом последовательности х„ «в, ..., х„, ...: Пш хи= а, и и если для любого в > О существует число К=К(е) такое, что (х„— а(<в прин>К. Пр имер 1. Показать, что Пш =2, 2п+ ! и, п+! Решен'не, Составим разность 2п+! ! — — 2= — —. и+! и+! Оненинзя зту разность по абсолютной величине, будем яметеи если и > — 1=К(е).

1 е Таким образом, для каждого положительного числа е найдется число К= ! = — — ! такое, что при п > К будет иметь место неравенство (2). Следовае тельно, число 2 является пределом последовательности хи — — (2п+1)/(и+1), т. е. справедлива формула (!). 2'. Предел функции. Говорят, что функция У(х) — ьА при к — ьа (А н а — числа), или Па г(х)=А, если длк любого в > О существует 0 =0 (в) > 0 такое, что )у(х) — А! < в прн 0<1х — а! < Ь. ПРЕДЕЛЫ Аналогично Пш /(к)= А, к а если [1(х) — А [ < е при [х[ > Ф(е).

Употребляется также условная запись Нш 1 (х)= аз, которая обозначает, что [1(х)! > Е при 0 < [х — а[< б(Е), где Š— произвольное положительное число. 3". Односторонние пределы. Если х < а и х — а, то условно пышут х — ~ а — 0; аналогично, если х > а и х — ь а, то это записывается так: х — а+О. Числа !(а — 0)= Пш )(х) и /(а+0)= 1ып )(х) а-О к-чае О называются соответственно пределом саша функции 1(х) в точке а н пределом спрааа функции 1(х) в точке а (если этв числа существуют). Для существования предела функцык ) (х) ыри х — ь а необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство 1 (а — 0) = ! (а+ 0).

Если существуют Пш У, (х) и Пш,"е (х), то имеют место следующие к а к-~а теоремы: 1) Пп! [1,(х)+)к (х)! = Нп! гк(х)+ Нп! га (х)1 к а к а к а Нш [/ (к))е(х)! = Пш /! (х) ° Нш )а(х)! к а к а к а Пгл [)к(х)!)к(х)! = Пп! уг(к)/ Пга га(х) ( Пш Гк(к) ю О). 3) к а х а к а к-ь Р Частое применение находят следующие пределы: к О Х Пш (!+ — ) = Пш (1+а)" =а=2,71828 к а( Х/ а~о Пример 2.

Найти пределы справа и слева функции 1 (к) = згс!П— 1 при х — ьО. Решение. Имеем 1(+ 0) = Пш (агс!П ) =— 1д л к чо х) 2 !д л (( — 0)= П (агс(; — ~~= — —. Предела же функции 1(к) прн х — ь 0 в этом случае, очевидно, не существует. 1гл. ! взвдвнив в анализ !66, Доказать, что прн л - лл предел последовательности ! 1 1 4' 9' '''' л1' равен нулю.