Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 7

Модуль вектора. Направляющие косинусы Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Охуг. Выделим на координатных осях Ох, Оу и Ог единичные векторы (орты), обозначаемые т, т, Й соответственно (см. рис. 12). Выберем произвольный вектор а пространства и совместим его начало с началом координат: а = ОМ. Найдем проекции вектора а на координатные оси. Проведем через конец вектора ОМ плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения зтих плоскостей с осями обозна тим соответственно через Мы Мз и Мз. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор ОМ. Тогда пр, а = = ~ОМт~, пр„а = (ОЛХз(, пр, а = ~ОЛХз(.

По определению суммы нескольких векторов находим а = ОМт + МгХт'+ ЙМ. А так как МгХт' = ОМз, АтМ = ОМз~ то а = ОМт + ОЛХз + ОМз. (5.1) ОМ~ = ~ОМт) т, ОМз = (ОМз!,т, ОМз =!ОЛХз! Е (5.2) Обозна тим проекции вектора а = ОЛХ на оси Ох, Оу и Ог соответственно через а„о„и а„т. е. (ОМт) = а„(ОМи ~ = ат, ~ОМз~ = а,. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем Эта формула является основной в векторном исчислении и называ- Я ется разлозтсением вехтпора по ортпам хоординатпных осей Числа а„а„, а, нвзыванпся координатами вехтпора а, т. е.

координаты вектора есть его проекции на соответствуюнгие координатные Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде: д = (о;ат,.г„). Равенство Ь = (Ьт; Ьт,.Ь,) означает, чю Ь = Ь, т+ Ьт °,ту+ Ь, 7с. Зная проекции вектора а, можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать |ОМ)~ = )ОМт(з + )ОМз)~ + ~ОМз~~, т.

е. )а) = а, + от+ а,. (5.4) т. е. модуль вектпора равен хвадратпномр корню из суммы квадратное его проекций на оси координатть Пусть углы вектора а с осями Ох, Оу и Ог соответственно равны а, р, у. По свойству проекции вектора на ось, имеем ат = )а! сова, о = ~а(-созд, а, = ~а) ° соз у.

(5.5) Или, что то же самое, а, ат а, созо = —, созд = —, соз т = —. )а) )а~ ~а( Числа сова, совр', соз т называются напроеллтоо1имн хосанутмп век- тора а. Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем (а~ =(а~ соз а+(а~ стн д+)а( -соз у. Сократив на ~а(з ф О, получим соотношение т. е. сумма квадратное направляюи4их косинусов ненрлево- Д '.. го вектпора равна единице. 5 Легко заметить, что координатами единичного вектора е являкпся числа соз а, соз д, соз у, т.

е. е = (соз а; соз д; соз у). Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление,т. е. сам вектор. 5.5. Действия над векторами, заданными проекциями Пусть векторы а = (а,; о; а,) и Ь = (Ьз; Ь„; Ь,) заданы своими проекциями нз осн координат Ох, Оу, Ог или, что то же самое а = а, - т + о„т' + а, Ь, Ь = Ь, ° т + Ьт . т' + Ь, ° Ь. Равенство векторов Рис. 14 Ряс.

13 (6.2) Линейные операции над векторами Так как линейные операции нвд векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать: 1. а яЬ = (а ~ Ьг)г'+ (ат х Ьт)у+ (а, хЬ,)Ь, или кратко а х Ь = = (а, +Ь,; ат+Ьт, а, хЬ,). То есть при сложении (вычипгании) векпюров их одноименные координаты складываютпся (вычитпаютпся). 2. Ла = Ла,-г+Ла .у+Ла,.у или короче Ла = (Лв; Ла„; Ла,). То есть нри умножении вектора на скаляр координатны векпюрв умнвхсаннпся на зпинп скаляр. Из определения вектора квк направленного отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два веквюра а и Ь равны тогда и только тогда„когда выполняются равенства: а, = Ь„ат — — Ьт, а, = Ь„т. е. Коллинеарность векторов Выясним условия коллинеарности векторов а и Ь, заданных своими координатами.

Так как а (~ 6, го можно записать а = Л.Ь, где Л вЂ” - некоторое число. То есть а, -а+от. у+а, Ь= Л(Ь, ° г+Ьт г+Ь,.Ь) = ЛЬ,.гу РЛЬт.у+ЛЬ, Ь. Отсюда ал=ЛЬ„в =ЛЬ„, а,=ЛЬ„ т. е. а, а„ а, а, в а, — — =Л, — =Л или Ь Ь„' 6, Ь ф Таким образом, йроекции каллинеарных ве~спгврвв пропорциональны. Верно и обратное утверждение: векторы, имеющие пропорциональные координаты, коллинеарны.

Координаты точки Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат Охуг. Для любой точки М координаты вектора ОМ называются квординатпами пючки М. Вектор ОМ называенж радиус-вектором точки М, обсвначаатся т, т. е. ОМ = т. Следовательно, координаты точки — это координатЫ ее радиус-вектора т = (х; у як) или т = х ° г + у ° у + г . Ь. Координаты точки М записываются в виде М(х; у; я). Координаты вектора Найдем координаты вектора а = АВ, если известны коорпинаты точек А(х~., уг, г1) и В(хг;уг, .гг). Имеем (см.

рис. 13): АВ = О — 0.4 = (хг . г + уг ° уя + гг - Ь) — (хг г + уг ° у + г~ ° Ь) = = (хг — хг)г + (уг — уг)1 + (гг — гг)Е Слеговательно, квординатпы вектора равны рагнвстпям совтветпствуяю1их коврдинагп егв конца и начала: АВ = (хг — хи уг — у~,' гг — гг). А з б. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА б.1. Определение скалярного произведения Д Скалмрнььы произведением двух ненулевых векторов а и Ь называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается аЬ, а . Ь (или (а, Ь)).

Итак, по определению, где ~р = (а, Ь). Формуле (6.1) можно придать иной вцд. Так как ~а~ соз р = пру а, (см. Рис. 14), а Щ соз1в = пРк Ь, то полУчаем: а е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на осхь сонаправленную с пер- вым вектором. Пусть заданы два вектора +а,Ь Й+ +а„Ь гЬ + + а,Ь,Ис + азЬ„гу + агЬзгу + а„6„1:у аяЬягг + аеЬяуг' + а,Ь,Ьг' т. е.

С,Ь Решение: = ЛОВ=ОЛ. ° АС ВВ = 36 — 36 — 0= 0. г' у=у ° Й=Й г=0. б.2. Свойства скалярного произведения 1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: а6 = Ьа. (.(( аЬ = (а! !Ь! соз(а, Ь), а Ьа = (Ь|. !а!.соз(Ь, а). И так как !а! ° !Ь! = !Ь!. (а(, как произведение чисел и соз(а, Ь) = соз(Ь, а), то аЬ = Ьа. 2'. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя: (Ла) - Ь = Л(аЬ).

Ц (Ла)Ь = !Ь! . пр- Ла = Л /Ь! ° прд а = Л(аЬ). 3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством: а(Ь + с) = оЬ + ос. ( ~ а(Ь+ с) = !а! ° прв(Ь+ с) = (а! ° (прк 6+ прас) = (а! прк 6+ !а! - прас = = оЬ+ ас. 4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: а = (а(г. ( .! а = а - а = !а! . (а! соз 0 = (а! (а! = (а!г. ьт -а -г В частности: г = у = 6 = 1.

ф Если вектор а возвести скалярно в квадркг и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль (а!, т. е. ъ~а = (а! (с%~ фа). Пример 6.1. Найти длину вектора с = За — 4Ь, если !а! = 2, (Ь! = 3, (а,Ь) = ~. 3' 6' = ~ДН вЂ” 4Ь' = ~9У вЂ” Ь~в 1бл' = 5. Если векторы а и Ь (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. гели а 1.

Ь„то аЬ = О. Справассливо и обратное утверждение: если аЬ = 0 и а ф 0 ф Ь, то а 1 6. („( Так как у = (а„е) = 2, то сову = соз 2 = О. Следовательно, а ° Ь = (а! - !Ь! . 0 = О. Если же а - Ь = 0 и (а! ф О, (Ь! ф О, то соз(а, 6) = О. Отсюда у = (а, 6) = 90', т. е. а Л. Ь. В частнссти: 6.3. Выраисение скалярного произведения через координаты а = а,г + а„,у + а, Ь и Ь = Ьяг' + Ь„р'+ Ь,К. Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов г,;~', 6: а ° Ь = (а, г' + а„р' + аЯ . (Ьяг' + Ьз,г + Ь, К) = = а,Ь, + 0 + 0 + 0 + азЬ„ + О + О + 0 + а,Ьз, Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Пример 6.М. Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин А( — 4; — 4; 4), В( — 3; 2; 2), С(2; 5; 1), П(3; — 2; 2), взаимно перпендикулярны. (;6 Решение: Составим вектора АС' и ВВ, лежащие, на диагоналях дан- ного четырехугольника. Имеем: АС = (6; 9; — 3) и ВВ = (6; — 4; 0). Най- дем скалярное произведение зтих векторов: Отсюда следует, что АС 1 ВВ. Диагонали четырехугольника АВСВ взаимно перпеццикулярны. Рис. 10 а ° Ь вЂ” а Ь пр-а = — (првб = — ), [Ь[ ' [а[ а Ьк+а„Ь„+атб, т.

е. прба = Ь2 + Ь~~ + Ь2 гЪбота постоянной силы [с[ = )а) ° [Ь[з|п4д, где 442 = (а, Ь); т 2 'и 4' Рис. 18 Рис. 17 Ь х г = у. г9х7=2Ь, ухб=г, Докажем, например, что г х у = Ь. 6.4. Некоторые приложения скалярного произведения Угол между векторами Определение угла 42.2 межпу ненулевыми векторами а = (ач; а„; а„) и б = (Ьмгбт,.б,): а ° Ь а,Ь, + атбт+ а,Ь, сов 442 = =, т. е. соз4г2— [а[-[Ь[ 94444 '4гт 24',4*44* Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а и Ьг а.1 Ь в-.=в аиЬк + а„Ь„+а,Ь, = О. Проекция вектора на заданное направление Нахождение проекции вектора а на направление, заданное вектором Ь, может осуществляться по формуле Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А з положение В под действием постоянной силы г, образующей угол 42 с перемещением АВ = Я (см.

рис. 15). Из физики известно, что работа силы Е при перемещении Я равна А= К Я соз492 т.е. А =го. Я. Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произРис. 15 ведению вектора силы на вектор переме- гцения. йример 6.3. Вычислить работу, произведенную силой г =(3; 2; 4), если точка ее приложения перемещается прямолинойно из положения А(2;4;6) в положение В(4;2;7). Под каким углом к АВ направлена сила Р 7 ~б Решение: Находим Я = АВ = (2, — 2, 1).