Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 4

А (в с) = (А - в) . с; 3. (А+ в) . с = Ас+ вс; 2. А (В+С) = АВ+АС; 4. а(АВ) =(аА)В, (;) Рещение: 2 — 3 = 2 6 — 5. ( — 3) = 12 — ( — 15) = 27; если, конечно, написанные суммы и произведения матриц имеют смысл. Для операпии транспонирования верны свойства: соз а 31п а = соз а+ з)п а = 1 — 31п а соз а (АВ)т — Вт .

Ат 1. (А+В)т =Ат+Вт. При вычислении определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольников (или Саррюса), которое символически можно записан так: 5 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 2.1. Основные понятия Квадратной матрице А порядка и можно сопоставить число с)ет А (или ~А~, или Ь), называемое ее определителем следующим образом: 1. и = 1.

А = (а,); бег А = а,. аы а12 . а11 а12 2. п=2.А= ~ ); с)егА= ~ =ам агг — а12 ая. 1 а21 агг )' ~ а21 агг Пример 2.2. Вычислить определитель матрицы 5 — 2 1 3 1 — 4 6 0 — 3 = а11а22а33 + а12а23а31 + 1121а32а13 а31а22О13 а21а121131 азгагга11. 1 ) Решение: Определитель матрицы А также называют ее детерминантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы порядка М является довольно сложным для восприятия и применения. Однако известны методы, позволягощие реализовать вычисление определителей высоких порядков на основе определителей низших порядков.

Один из методов с)еьА = = 5 . 1 . (-3) + (-2) - (-4) 6 + 3 0 . 1 — 6 1 - 1 — 3 .(-2) .( — 3) — 0 . (-4) . 5 = = — 15+ 48 — 6 — 18 = 48 — 39 = 9. Ф 20 ан а12 а13 3. и = 3, А = а21 агг агз ; с)е$ А = а31 азг азз аы агг а13 1121 агг а23 а31 атг атз (основании равнобедреннык треугольникон параллельны главной диагонали ) 1основании трвугольннков паравлельны побочной диагонали) 2.2. Свойства определителей Сформулируем основные свойхчва определителей, присущие определителям всех порядков.

Некоторые из этих свойств поясним на определителях 3-го порядка. Свойство 1 («Рввноправность строк и столбцов»). Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот. Иными словами, ап а21 азх ах 2 ахз агг агз а32 азз а11 а21 а31 счг агг азг агз агз азз ахг ахз агг ахз = Й 0 = О. ° азг азз ап Й.ап аз1 Свойсхпв ахг агз аи а12 н ' а13 — в ' а11 аз 2 азз азх б.

Если элементы какого- о либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей. Например, ах 2 Ь агг с акг Хз азх агг ахз + Ь аш агг агз + с а31 а32 азз + д Свойсхпво б («Эле а11 агх аз1 агг ахз агг азз азг азз а11 аг, азх ментарные преобразования определителя»).

Определитель ве изменится, если к элементал1 одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные па любое число. ПРимер 2.8. Доказать, что а11 а12 а13 ам агг азз а31 азз азз аи агг азз+й а12 а21 а22 а23 + Ь ' а22 а31 а32 а33 + Й а32 В дальнейшем строки и столбцы будем просто называхь рлдамп определителя. Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак. Свойство Я. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю. Сввйспзво 4, Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынесхи за знак определителя.

Из свойпхв 3 и 4 следует, что ехлн всв элсменп1м нвквп1орозо ряда пропорциональны соответствующим элементам параллельногв ряда, то такой определип1хль равен арлю. Д Действительно, О Решение: Действительно, используя свойства 5, 4 и 3, получим а11 а12 а13 + Ь а12 агх агг агз + Й ° агг а31 а32 азз + н ' а32 аи агг агз ам аг2 агЗ азх азг азз ап а12 а12 агх агг агг а31 азг а32 = 21 + Й 0 = гз. °, аи агг агз а21 агг агз а31 азг азз агг агз аи аз З тзг = а32 азз а21 агз Д Алвебраичесним дополнением элемента а," определителя называется его минор, взятый со знаком «плюс», если суммаг+1— четное число, и со знаком <минус», если эта сумма нечетнвл. Обозначается А;г.

А; = ( — 1)1+г зпзг. Так, Аи = +п1и, Азг = — тзгСввйствв 7 («Разложение определителя по элементам некоторого ряда»). Определитель рвлен сумме произведений элементов некоторого ряда на соотвехствующие им алгебраичехяие дополнения. Проиллюсхрируем и одновременно докэжем свойство 7 на примере определителя 3-его порядка. В этом случае свойство 7 означает, что ~ а11 а12 а13 агг агг агз азг азг азз = ап Ап + ахг - Агг+ азз .

Агз- (.3 В самом деле, имеем аи -Аи + ахг-Ахг+ахз ° Ахз = агг агз ) + / а21 агз зз аж агг = ап . 1+ ахг . ~— ~ + ахз . а32 азз 1 а31 азз а31 а32 = а11(аггазз — агзазг) — агг(агхазз — агзаз1) + счз(алазг — аггаз1) = — а11а22азз счхагг31132 а12а21азз + а121123а31+ + а13а21032 — 1113а221131 = лг. ° Дальнейшие свойства определителей связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения. Ц МиноРам некотоРого элемента азг опРеделителЯ и-го поРЯдка называется определитель п — 1-го порядка, полученный из исходного пухем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент. Обозначается тсп Так, если 23 Ап Аы А12 Агг А„1 А„г Ася Агя ° ° ° А я 3 5 7 8 — 1 7 О 1 0 5 3 2 1 — 1 7 4 ,'3, 5 7 ,0' 5 3 ,'1,' — 1 7 3.2.

Обратная матрица 8 1 2 4 7 0 1 5 3 2 — 1 7 4 5 7 8 о 3 2 — 1 7 4 5 7 8 7 0 1 — 1 7 4 5 7 8 — 1-7 0 1 5 3 2 ап агг .. а,„ ОМ Вг2 ° ° ° О2 а„1 а„г ... а„„ (3.2) Свойство 7 содержит в себе способ вычисления определителей высоких порядков. Прсьмер 24. Вычислите определитель матрицы С1 Релсениес Для разложения определителя обычно выбирают тот ряд, где есть нулевые элементы, т. к. соответствующие им слагаемые в раз- ложении будут равны нулю.

= 3 (7 ° 3 4+ ( — 1) ° 0- 2+ 5-7 1 — ( — 1) . 3 1 — 7 ° 7 2 — 5 0 ° 4)+ + (5. 3 4+ ( — 1) . 7 2 + 5 - 7 8 — ( — 1) 3 - 8 — 5 . 7. 4 — 5 ° 7 ° 2)— — (5 ° 0 2+7 1 5+7 3 ° 8 — 5 0 8 — 3 ° 1 ° 5 — 7-7 ° 2) =122. Ф Сввбспгво 8. Сумма произведений элементов какоп1-либо ряда определителя ва алстбраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю. Так, например, апАм + а12Агг+агзАгз = О. 3 3. НЕВЫРОЖДЕННЫЕ МАТРИЦЫ 3.1.

Основные понятия Пусть А — квадратная матрица и-п1 порядка Д Квадратная матрица А называется мевырозссдеммосс, если определитель Ь = с)еС А не равен нулю: дс = сСес А ф О. В противном случае (Ь = О) матрица А называется вырозгсдеиносС Ц Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица ГДЕ А; — адсвбРаИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕЛИЕ ЭЛЕМЕНта Ос. ДаННОй МатРИЦЫ А (ово определяется так же, кзк и алгебраическое дополнение элемента ., определителя). Матрица А ' называется обратпмоб матрице А, если выполняется условие А А '=А ' ° А=Е, (3.1) ' где Š— единичная матрица того же порядка, что и матрица А.

Матрица А ' имеет те же размеры, что и матрица А. Теорема 3.1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную. (.1 Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть оп о12 с113 А = а21 агг агз причем с1еС А Ф О. аЗ1 ОЗЗ аЗЗ Составим союзную матрицу Ап Аы Азс А* = Агг Агг Азг А13 "'123 '133 и найдем произведение матриц А и А*: оп а12 асз Ап Аы Аю А . А* = агс агг агз А12 Агг 432 оз1 озг свз А13 -4гз .4зз опАп + оггА1г + осзАтз .. опАз1 + а12Азг + атзАзз омАн + аггАгг + огзА13 ... оы 4з1 + аггАзг + огзАзз аз1Ап + азгА12 + оззА13 ... оз1Аз1 + азг-4зг + оззАзз с1оСА 0 0 1 0 0 0 сСесА 0 = ссесА ° 0 1 0 = с1есА Е, 0 0 с1есА 0 0 1 А А' = ссеС А - Е. Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см.

и. 2.2). ! Р.3) Аналогично убехсцаемся, что А* . А = »1ез А Е. 1 — 2 2 ЬА= Л 3 0 2 1 1 = 3 — О+ 2Л вЂ” 12 — О+ 2Л = 4Л вЂ” 9. А* А — ' = —, т.е. бе1А' 2. (А.В) а =В-' А-', ( ~-3)т (Ат) — 3 3.3. Ранг матрицы агг агг,' аж агг» » а31 а32 азз ... ата а23 .. а23 азз .- аз»» а г а„а ...

а„„ А= Л 3 0 27 Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде А» А" А- — =Е и — -А=Е. деФ А е(ез А Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем Отметим свойства обратной матргщьн 1. ЙеФ(А ) = — 1 / 2 3'1 Пргзмер 8.1. Найти А 3, если А = ( 2 3 (,1 Решение: Ц Находим бе1А: без А = — 1 1 — 2+ 3 = 5 Ф О. 2) Находим А": Аы — — 1, Агг = — 3, .4ш = — ( — 1) = 1, Агг — — 2, й — 31 позтому А* = ~ ц. "- =(;:) (1!) =(',;,,) =(")-" Пример 8.2.

Определить, при каких значениях Л су3пествует матрица, обратная данной: (,'3 Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратву1о. Найцем определитель матрицы А: Если 4Л вЂ” 9 ~ О, т. е. Л ф 4, то гЛА ф О, т. е. магрица А невырожденнвя, 9, имеет обратную. Э Пример 8.8. Показать, что матрица А является обратной для В, если А= 1 2 3, В= — 3 5 — 2 »,а Решение: Найдем произведение матриц А и В: А ° В= 1 2 3 — 3 5 — 2 3 †3 †3+5 в 1 †2 1 0 0 3 — 6+3 -3+10 — 6 1 — 4+3 = 0 1 О =Е.

3 — 9+6 -3+15 — 12 1 — 6+6 0 0 1 Аналогично В А = Е. Следовательно, матрица А является обратной для В. Рассмотрим матрицу А размера ги х и. Выделим в ней к строк и й столбцов (к < ппп(т; и)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, состивим определитель 5-го порядка. Все такие определители называются минорами втаб матрацы. В матрице А пунктиром выделен минор 2-го порядка.

(Заметим, что таких миноров можно составить С" - Сь штук, к ~ — число со ~еганий из и злементов по 1с) ам х1 + ашхг + . " + а!их~ = Ь1, О21Х1 + О22х2 + ' ' ' + агах~ = Ь2, а,„гх1+ аоахг + ° + а „х„= Ь А= 3 О 6 О О1 аг ... а„ А= О 2 — 1 1 О11 О12...