Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 8

Стало бклть А = Р . Я = 3 - 2 + 2 - ( — 2) + 4 - 1 = 6 (ед. работы). Р ° Я Угол 4р между г' и Б находим по формуле сов 442 =, т, е. Ю М' 6 6 2 2 4944429. 2444+4 '29.2 '29 ~29 3Ч. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА 7.1. Определение векторного произведения Три некомпланарпых вектора а, Ь и с, взятые в указанном порядке, образуют правую гаройкр, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору б виден совершающимся против часовой стрелки, и левргв, если по часовой (см.

рис. 16). правая тройка, Ь левая тройка а Веялюрным произведением вектора а на вектор Ь называется Я ввкпюр с, который 1) перпендикулярен зек.горам а и Ь, т. е. с .1. а и с 1. Ь; 2) имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь как на сторонах (см. рис. 17), т. е. 3) векторы а, Ь и с образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается а х Ь или [а, Ь[. Из определения векторного произведения нелосредственно вытекают следующие соотношения между ортами т', у' и Ь (см. рис. 18): Чтобы не ошибиться со знаком, удобно пользо- ватьсл схемой: » »» аз а,1 †. а, а,( †. а, а 6» 6* Ьх 6» Ь» 6„ т.

е. (7.1) (7.2) 52 ( 1 1) й 1 в', Й 1 у; 2) (Б(=1,но)вхЯ=(г( (Я з«п90 =1; 3) векторы», у и Б образуют правую тройку (см. рис. 16). ° 7.2. Свойства векторного произведения 1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т. е. а х Ь= — (Ь х а) (см. рис. 19). ( «Векторы ах Ь и Ьх а коллинеарвы, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остаегся неизменной), но противоположно направлены (тройки а, Б,а х Ь и а,6, Ь х а противоположной ориентации).

Стало быть, а х Ь = — (6 х а). 2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. Л(а х 6) = = (Ла) х Ь = а х (ЛБ). („ «Пусть Л > О. Вектор Л(ах Ь) перпендикулярен векторам а и Б. Вектор (Ла) х Ь также перпендикулярен векторам а и Ь (векторы а, Ла лежат в одной плоскости).

Значит, векторы Л(а х Ь) и (Ла) х Ь коллинеарны. Очевидно„что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину: (Л(а х 6)( = Л)а х Б( = Л)а) - )Б( ° з1п(а, 6) и )(Ла) х Ь( = )Ла~ - (Б). зт(Ла, 6) = Л(а) (Б(з1п(а, Ь). Поэтому Л(а х Ь) = Ла х Ь. Аналогично доказывается прн Л < О. ° 3. Два ненулевых вектора а и Ь коллинеарны тогда и только то- гда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е.

а (! Ь <=:. а х Ь = О, ( «Если а й Ь, то угол между ними равен 0' или 180'. Но тогда )а х Б| = = (а( (Б|-зш(а,Ь) = О. Значит, а х Б= О. Если же а х Ь = О, то (а(. (Б| яп»р = О. Но тогда ~о = О' или ~р = 180, т. е. а й Ь. () «з В частности, Бх(=у ху =Бх Б=О. 4. Векторное произведение обладает распределительным свойст" вом: (а + Ь) х с = а х с+ 6 х с. Примем без доказательства. 7.3. Выражение векторного произведения через координаты Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов г, у и Й: если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вексору, если не совпадает — третий вектор берегся со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора а = а г+ а„у + а,Б и Ь = Ь г'+ Ь,, »+ Ь,Б. Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения): ах Ь= (а,г»+а„у»+ а„й) х (Ьг»+Ь„у»+Ь,Б) = = а Ь (г' х Б) + а 6„(г» х у) + а Ь (Б х Б) +азЬ (у' х Б) +а»ЬЯ х у)+ + а„Ь (р' х й) + а Ь Я х «) + а Ь„(М, х у) + а,Ь,(Ь х Й) = = О+а Ь„К вЂ” а,6,2» — а„Ь,Б+ О+а„Ь,|+ а,Ь у» — а,6»г»+О = = (азЬ вЂ” а,Ьг)г — (а Ь, — а,Ь )у+ (а ܄— азЬ, )Б = Ь ар а - а» а » а.

аз Б Полученную формулу можно записать ище короче: так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению опреде- лителя третьего порядка по элементам первой строки. Равенство (7.2) легко запоминается. г т' Й ар а, ар а, = 0 «=р — = — = — 4=» а !! Ь. Ь, Ь„ Ь, ахЬ= а, Ь (Ъэь« ' 0 ,'А Рис.

21 Рис. 20 04 7.4. Некоторые приложения векторного произведения Установление коллинеарности векторов Если а !! Ь, то а х Ь = 0 (и наоборот), т. е. Нахождение площади параллелограмма и треугольника Согласно определению векторного произведения векторов а и Ь !а х Ь! = !а(. (Ь! вт ~р, т. е. Я„,р — — !а х Ь!. И, зна 1ит Яа = 1 !а х Ь!.

Определение момента силы относительно точки Пусть в точке А приложена сила Е =.4В и пусгь Π—. некоторая точка пространства (см. рис. 20). Из физики известно, что ианенпиви силы Е отногмтельно точки 0 называется вектор М, который проходит через точку 0 и: 1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В; 2) численно равен произведению силы на плечо !М! = !Р! ° 0% = !Е! ° !г! з1п~о = (Г! ° !ОА(з1п(Р,ОА); 3) образует правую тройку с векторами ОА и АВ.

Стало быть, М = ОА х Р. Нахождение линейной скорости вращения Скорость 6 точки М твердого тела, врвщшощегося с угловой скоростью м вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера й = м х г, где т = ОЛХ, где Π— некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21). 28. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 8.1. Определение смешанного произведения, его геометрический смысл Рассмотрим произведение векторов а, Ь и с, составленное следующим образом: (а х Ь) ° с.

Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векгнорно-скалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число. Выясним геометрический смысл выражения (ах Ь) с. Построим параллелепипед, ребрами которого явлшотся векторы 3 а, Ь, с и вектор а = а х Ь (см. рис. 22). Имеем: (а х Ь) с = д с = !д! - прас, Ц = !а х Ь! = Я, где Я вЂ” площадь парвлльшограмма, построенного на векторах а и Ь, пр„- с = Н для правой тройки векторов и прас = — Н для левой, где Н--- высота параллелепипеда. Получаем: (а х Ь) ° с = Я ° (хН), т.

е. (а х Ь) ° с =- = Н~, где И вЂ” — объем параллелепипеда, образованного векторами а, Ь и с. Таким образом, смешанное произведение трех векторов равно объему параллеленипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

8.2. Свойства смешанного произведения 1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х Ь) - с = (Ь х с) а = (с х а) ° Ь. Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер. 2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т. е. (а х Ь) - с = а - (Ь х с).

Действительно, (а х Ь) - с = Ы' и а (Ь х с) = (Ь х с) - а = +р'. Знак в правой части этих равенств берем один и тот же, так как тройки векторов а, Ь, с и Ь, с, а — одной ориентации. а, ат а, Ьк Ьт Ь, с, ст с, а =АВ=( — 1; — 3; — 2), Находим аЬс: у а а, Ь„ — 1 — 3 1 3 2 — 2 . (с ю'+ с у р с,ь) = (ах Ь)с= а, Ь вЂ” 1 — 5 Ь . (с,„(+ с„у+ с,Ц = =0' й а, —.

а, от Ь, ~ + Ьь Ь„ а, г— Ь, Следовательно, 1' = — 24 = 4. 1 т Ь„ ак ат а, Ь Ь„Ь, сь ст с, Следовательно, (а х 6) . с = а(6 х с). Это позволяет записывать смешанное произведение векторов (а х 6)с в виде аЬс б~в знаков векторного, скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т. е. аьс = — асЬ, аьс = — Ьпс, аьс = = — сЬа. Действительно, такая перестановка равносильна перестановке сомножителей в векторном произведении, меняющей у произведения знак. 4. Смешанное произведение ненулевых векторов а, Ь и с равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

(.3 Если аьс = О, то а, Ь, с — - компланарны. Допустим, что это не так. Можно было бы построить параллелепипед с объемом Г ф О. Но так как аьс = +Л', то получили бы, что аЬс ф О. Это противоречит условию: аьс = О. Обратно, пусть векторы а, Ь, с — компланарны. Тогда вектор 3 = = а х Ь будет перпендикулярен ппоскости, в которой лежат векторы а, Ь, с, и, следовательно, А1 с. Поэтому д с = О, т. е. аЬс= О.

8.3. Выражение смешанного произведения через координаты Пусть заданы векторы а = а,~ + а„у + а,ь, Ь = 6,1 + Ьту + 6,6, с = с,т' + с„у + с,ь. Найдем их смшпанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений: Полученную формулу можно записать короче: тзк квк правая часть равенства (8.1) представляет гобой разложение определителя третьего порядка по элементам третьей строки. Итак, смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов. 8.4.

Некоторые приложения смешанного произведения Определение взаимной ориентации векторов в пространстве Определение взаимной ориентации векторов а, Ь и с основано на следующих соображениях. Если а6с > О, то а, Ь,с — правая тройка; осли аЬс < О, то а, Ь, с — левая тройка. Установление комплвнарности векторов Векторы а, Ь и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (а ф О, Ь ф О, с ф 0): = 0 Ф:=; векторы а, Ь, с комплаиарны. Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь и с вычисляетсж как И =- )аЬс(, а объем треу|ольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен И = -(аЬс!.

Лртьиер 8.1. Вершинами пирамиды служат точки А(1;2;3), В(0; — 1;1), С(2;5;2) и О(3;О; — 2). Найти объем пирамиды. (,6 Решение: Находим векторы а, Ь, с: 6=ХС= (1;3;-1), с = ЛЯ = (2;-2;-5). = — 1. ( — 17)+3 ( — 3) — 2 ° ( — 8) = 17 — 9+16 = 24. Глава 111. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 3 9. СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ 9.1. Основные понятия Другой практически важной системой координат является полярках сиспжма координат. Полярная система координат задается точкой О, называемой полюсом, лучом Ор, называемым тголлрноа осью, и единичным'вектором е того же направления, что и луч Ор.