Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс), страница 85

Получаем: у(1) = е + — е ' + — е ' =4е'-беж+без'. Ф ьг 8 2~ 12 зг (-1)-(-2) 1. (-1) 2 1 Пра.мер 80.2. Найти решение уравнения 2.г, еслиО<1<2, 1 У" + 4У = 3 — г, если 2 < г < 3, О, если 1 < 0„1 > 3 при условии р(0) = О, у'(О) = О. Ряс. 311 ешение: График данной функции имеет внд, изображенный на ригъ Р сунке 311. С помощью единичной функции правую часть данного дифференциального уравнения можно записать одним аналитическим выражением: 1 1($) = Ф 1(1) — — 1- 1(1 — 2) + (3 — 1) 1(1 — 2) — (3 — 1)1(1 — 3) = У(р) — 2 Рз( з „ 4) 2 р'(Рр + 4) рт(7Р + 4) Так как '( ( . ~ (1 з1п21~, з( з 4) '1 з в+4) 4~,Р~ 2 Р +2 ./ о по теореме запаздьшавия находим: — 1 — 2 — — з1п 2(1 — 2) 1(1 — 2)+ Р =81 2 ) 8 2 3 — — зш2(1 — 3) 1(г — 3).

° 1/ 1 Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными ксвффициентами. Покажем это на конкретном примере. Пример 80.8. Решить систему дифференциальных уравнений х =у — х, У х(0) = 1, р(О) =2, х(0)=3.

р' = х+у, х' = х+г; (,) Решение: Пусть х = х(1) =. Х(р) = Х Находим, что х~ =.РХ вЂ” 1; р~ =.Ру — 2; х ='РЯ вЂ” 3. 1 1 (г 2+2) 1(1 — 2) — (1 — 2 — 1).ц1 2)+(1 1 = 21 1(1) — 2(1-2).1(1 2) 1(1 2) (1 2) 1(1 2)+ '(' Ж И' Ж-- ()-2(-2)- (- )+( 3).1(, 3) 1 3 Таким образом, имеем 1 3 у + 4р = —,1. 1(1) — — (1 — 2) ° 1(1 — 2) + (1 — 3) 1(1 — 3). Операторное уравнение, при нулевых начальных условиях имеет 11 31 РзУ+4У = — — — — — е ~" + — е зг. 2рз 2Р2 з Система операторных уравнений принимает вид < РХ вЂ” У+Я = 1, Х вЂ” (р — 1)У = — 2, Х+ (1 — р)2 = -3.

Решая эту систему алгебраических уравнений, находим: р — 2 Х(р) = 2р — р — 2 2 ~'Ы = —., р(р- 1)' 3Р'-2Р-2 ~(Р) 2 1)2 597 Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения: Х(р)= ' ', = 2р — 2 — р 2(р — 1) р 2 1 р(р - 1) ( — ) р( — ) .2г 1 г'(р),,з — + з —; 2+4е~ — Ге = у(Г), Зр — 2р — 2 2 5 1 2(р) = = — — + — — .

=: — 2+5е' — Г~~=~(Г). 1)х р , 1 ( 1)з Ответ: х(г) = 2 — ег, у(г) = — 2 +4е! — Гег, х(Г) = — 2+ 5е! — Ге!. ° С помощью операционного исчисления можно также находить решения линейных дифференциальных уравнений с переМенными коэ!рфициентами, уравнений в частных производных, уравнений в конечных ' разностях (разнос гных уравнений); производить суммирование рядов; вычислять интегралы.

При этом решение этих и других задач значительно упрощается. ПРИЛОЖЕНИЯ дравила дифференцирования 1. (а.хи) = й хи !. 2. (а ° е)' = и!в + иг!', в частности, (си)! = с. а; Гl ~а/ ит и 4. у', =у'„° и'„если у= у(а), и = у(х); 5. у! = —,, если у = Дх) и х = ~о(у). хг Формулы дифференцирования 1. (с)' = 0; ! 1 2. (аи)' =о ин '. и', в частности, (т/и) = — -а; !! ! !! Ф, 3. (а")' = а!'. 1па ° а', в частности, (е")' = е" и; ! 1, 4. (1он а)' = 1 . и', в частности, (1пи)' = — и; а 1по '' ' ' и 5. (з1п а)' = соз и ° и', 6, (сова)' = — зши.

а'; 7. (гба)' = — ~~- а', 8. (сгбм)' = — —;т — ° и'; ! 1 г, 9. (аггею и)' = —,— == и; иг 1 10. (агссгеи)' = — — == — и,; !1 из 1 !. 11. (агсГаг!)' = — ~ а; 1+и 12, (вгссГ6 и)' = — т а', 1+и 13. (зЬ и)' = сЬ а ° и', 14. (сЬи)" = йга а', 15. (1Ьи)' = —.— ° и'; с)Р а 16. (сВЬ и)' = — — ~ — и'. зЬ и 3. /а" г!и= " +С- с 1па 4. / е г!и = еп + С; 5. ( в!пиг!и= — сова+С ~ вЬ и Йи = сЬ и + С); ( ( / сЬиг(и= вЬи+С); 6.

~совиг!и= пои+С 7. / 38иа1и = — Ьг! сова[+С; 8. ~ссбиг!и = !п ! вши[+ С; [ — 1 1) еслио>0 хЕ ( — 1;1], если — 1<о<0, ( — 1; 1), если о < — 1, — =1+х+х + +х +..., 1 2 п 1 — х хЕ( — 1;1), 9. / — "-$ — =3иг+С сов и УА=".+ ) (~ — 2 — = — с1Ьи+ С); хЕ ( — 1;1), 10. г;.— р — = — сгии+ С г!и 31П и хе [ — 1;1), 11. / ~~~ =!п ~сд и1+С. 12. / " =!п/38(и+К)/+С. 13. ! '-"- — =агсвши+С; ,1 га2 и2 а хе[ — 1;Ц, ха ( — со;оо), х Е ( — со; со). 15 [ ~~ =1 1д-"+С; 'За+и а а /' 1ги 1 .! ~а+и~+С, Таблица основных интегралов Г и ип+1 1.

~ иг11 = — +С ( ~ — Ц Ца — „+С). ) 3 ( Йи 14. ~ 1' =Ь1!и+ъ~и2+а2[+С гги и2 ! а2 17. ~ / ' — ив 4и = —. ~ "и'+ — ' 1п'-'+ С. 2 2 а 2 18. / иги2 2Х ав г)и = и . ~/и2 Хат х а 1п ~и + ъ'и2 х а2 ~ + С. 2 Таблица разложений в ряд Маклорена некоторых элементарных функций х х' хп е*=1+ — + — + - ° + — +..., хе ( — оо;оо), 1! 2! и! 3 х5 2п+1 51пх=х — — + — — --+( — 1) +..., х Е( — со;со), х х п 3! 5! (2п + 1)'. Х2 Х' п Х'" сов х = 1 — — + — — ° . + ( — 1)п — +..., х Е ( — оо; со), 2! 4! (2л) ! ( -1), ( — 1) "( — +1) „ (1+ )и 1+, +,2+ + 1! 2! л! хп+..., хв „п+1 1 п ( 1 + х ) х + + ( 1 ) п + 2 3 и+1 3,5 2п.1-1 агс38х = х — — + — —.

+ (-1)ив 3 5 2л+1 хв 1 3 х5 1 3,5 1 вгсв!пх = х+ — ° — + — . — + . — + ° .. 2 3 2.4 5 2.4 6 7 1-3-5...(2п- 1) хвп+' 2.4 6...(2л) 2л+1 хв хв 2п+1 + 31 5! (2и + 1)! 2 4 6 ,2п сЬх = 1+ — + — + — + .. + — +.- 2.' 4! 6! (2л)! Таблица орипзналов и изображений В СЕРИИ ВЫШЛИ КНИГИ *' $$$ ° $: $П Розен В.В. Концепции совремснмого естсствО знания Конспект лекций Обложки, 240 с.

(г) Письменный Д Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часп Тридцать шесть лекций Обложи, 288 с С2 Любецкий В.А. Основные тюнятня элементарной математики. Учебное пособие для вузов Переплет, 624 с. 02 Письменный Д.Т. Конспект лекций по шясшей математике. 2 часть. Трмдцзть пять лекций Обложил, 256 с. П$ Гусса Д.

А. Логика. Конспект лекций с задачами Обложки, 240 с $$$ Письменный Д Т. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс Псрспяст, 608 с $$$ Платонова Э. В. Конспект лекций зю культурологии Обложка, 504 с $П Письменный Д„Федин С„ Шевченко Ю., Лунгу К Сборник задач по высшей математике. 1 курс Переплет, 576 с.

(с$ Лсвяш И.Я. Кулвгурология. Учебное пособие для вузов Переплет, 576 с. Учебное издание $зз Малышева К М. Культурология. История мировой куиьтуры Обложив, 288 с П$ Озмснниковя Л. И„ Головкина Н.Л., Сдобнинз Т.В., Черкасова Н. Отечественная история. Конспект лекций Обложка, 520 с. 0$ Пушкарева Г, В. Политологии Конспектлек~ций Обложка 208 с. По вопросам оптовых закупок обращаться; тел,/факсг (495) 785-15-30, е-шайс $габеа)ап4з.гн Адрес: Москва, пр. Мира, 106 Наш сайт: в ии.ыг$в.гв Вы можете приобрести наши книги с 11со до 17м, кроме субботы, воскресеньл, в киоске по адресу: пр.

Мира, д 106, тела 785-15-30 Адрес редакции: 129626, Москва, а/я 66 Издательство «Айрис-пресс» приглашает к сотрудничеству авторов образовательной н развивающей литературы. По всем вопросам обращачъся по тела (495) 785-15-33, е-гвай: ег$$$огва(гш.гв Письменный Дмитрий Трофимович КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Полный курс Ведутцнй редактор В.

В. Черноруцний Редактор Л. В. Аблаисная Художественный редактор А. М. Крзнецоа Обложка А.М. Дртмоеой ИллюстРации В. В. Паннратьее,А. Кй Терская Тенцнчесивй редактор С. С. Аололеец Компьютерная зерстии К Г. Иеанае Корректоры Н. С. Калашниноеп, 3. А Тияоноаа Подписано з печать 19.12.03. Формат 80хрс,т10. Гарнвтурз «Компьютер Модернс. Печать абюетнзя. Печ. л. 38.

Уел.-печ, л. 38. Тирзж 3000 зкз. Заказ № б2. П$ ЛунтуГС $$, Иорнн В. п„ Пнсъмснный Д.Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по витошей математике. 2 курс Переплет, 592 с. $П Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике Обложка, 256 с 000 *Издлгельстно "Ащжс-пресс" с 113184, Москва, ул. Б. Полянка, д. б0, стр. 3. ОАО «Тзерсиой ардена Трудозого Красного Зизмеии пслгггрвфисмбиизг детской лигерсгуры им.

00-летии СССР». 170040, г. Тзерь, пр. 00 лег Октября, бб. изддтельство АЙРИС-ПРЕСС Я .