Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 81
Текст из файла (страница 81)
В частности, если функция У(в) не имеет особых точек внутри кру- га ')г — во( < В, то ее разложение в ряд Лорана обращается в ряд Тей- лора. Зомечание. На практике при рззложении функции в ряд Лорана используют известные разложения основных элементарных функций; дробь вида — разлагается в ряд, явлшощийся рядом геометричег — го ской прогрессии; дробь вида, где )г > 1 — целое, разлагается ( )гг в ряд, который получается из ряда геометрической прогрессии после- довательным дифференцированием (Й вЂ” 1) рвз; сложная дробь предста- вляется в виде суммы простейших дробей. 561 1 ь в ряд лорана функцию УИ окрестности точки го — — О.
1 = —, пслу- Ряс. 299 Рис. 298 Рвс. 297 в окрестности точки яе = О Следовательно, Следовательно, 562 О Решение: Во : Воспользуемся известны ным разложением и и 2 И е =1+ — + — +...+ —, 2) '' п1 справедливым на всей комплекс й чим но плоскости. Положив жив и 1 1 1 ХХ ргьмер 76.Б Разложить в 1 Л 1яд орава функцию »( ) 2 гя к 6 »,)1 Реп»ение1 Функция имеет особ Т ДВЕ ЬЮ ТОЧКИ; 2 аналитична в областях: а) О < Ц х: а Ц < 2; б) 2 < Ц < 3; в) Ц > 3. а) В круге Ц < 2 (рис. 297) имеем: 5 2 — 3 . / +2»» 2 ~ ~» = 2 2 22 — ° .
/ (здесь ~ — -~<1, т. е. Я<2). Следовательно, — 2 — 6 3 ~ ~ ~ 3в+1 + ( 1)" — „, ) х" = 7 36 27. 8 6+ — 2 — — -2 + ряд Лорана функции л21 б) Вк (2) " 1 ащаегся в ряд тейдора. кольце 2 < Ц < 3 (рис. 298) им 1 1 1 1/ 2 22 1 2 22 =+ — — р+ р ". (И > 2)- 1 1(~, *" ~ „»" ) н=е ' =о в) В области Ц > 3 (рис. 299) имеем: — =-.—,=-~1+-+ — ',+... (И>3), 1 1 1 1»» 3 32 2 — 3 2 1 — й 2 2 1 1 1 1/ 2 22 — = — —, = — (1 — — + —, — -" 04 > 2).
.+2-.1+-, У( ) — 2 — г ~2~~ яя+1 .у ( ),»+1)- 2 и=о я=с 76.б. Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции Как уже знаем, особой п»очкой функции Дз) называется точка, в когОрой фугп114ия не являс"гся ах!влитической. Я Особая точка 2 = гс функции г'(2) называется изолированной„ если в некоторой окрестности ее функция Дг) не имеет других особых точек. Если зе — - изолированная особая точка функции Дг), то сугцесгвует такое число Я > О, что в кольце О < )2 — ге~ < Н функция у(2) будет аналитической и, следовнгелыю, разлагается в ряд лора»» с „ на (76.11): Дх) = т2„с„(2 — ге) + '1 ( — -'-)— „.
—.е 2 — 2О При этом возможны следующие случаи: Д 1) Ряд Лорана не содержит главной части, т. е. в ряде нет членов с отрицательными показателями. В этом случае точка зе называется усгпрани.мой особой пигчиой функции Дг). Есиш го — устранимая особая точка, то в окреспю~ точки зв разложение (76.11) имеет вид 7(г) = ~', с (з — гсс)". Это разложение о=о — го~ , кроме точки г = го. справедливо во всех точках круга ~г — г ~~ < В Если положить у(га) = со, где са = 1ип 1'(г) (т. е. определить функо-ооо цию у(з) в точке га), то функция У(г) станет аналитической во всем устраняется, точкь га становится правильной точкой функции 7(г)). Из равенства йтп „т(г) = г с ,т( ) — .а (со ф со) следует, что в достаточно малой окрестности устраняемой особой то чки га функция т"(г) является ограниченной.
ф Справедливо и обратное утверждение: изолированная особая то отта г = го лвл.нетпся устпранимой, если сущестпвуетп конечнвсй предел 11сп .7(г) = А. о-ооо Полюсы Если га полюс, то в окрестнссти точки га разложе (76 11) имеет вид ((г) = 2 с (г — г )" + — '' + ' 2 + ( — в) "' (' — ' )"' гдес о, фО.Вэтом с ч ф . лучае полюс го нззывае сея полюсам тп-го порядка функ и т(г). ци т( ); если тп = 1, то полюс ге называется простпим. Запишем последнее равенство в виде +с 2(г — го) 2+ +, ) ,('(г) = д(г) (76.16) или Д 2) Разложение Лорана содерткит в своей главной части конечное число членов, т.
е. в я е р д есть конечное число членов с отрицательными показател . ями. В этом случае точка га называется полюсом ', функции 7(г). Д 3) Разложение Лорана содержит в своей главной части бесконечное множество членов т. е. в ряде есть бес ,конечно много членов с отрицательными по с казателями. В этом случае точка г называетс усссестлвенно особой точкой функции 2'(2) . о я Укажем особ обенности поведения анэли"сической функ окрестности особой то цси каждого типа.
Устранимые особые точки где д(з) — аналитическая функция, причем д(го) = с — Ф О. следует, что тт(в) оо пр с (.) т оо при г -+ г т. е. в достаточно малой окрестности о,'. полюса функция у (2) бесконечно велика. ф праведл Справедливо н обратное утверждение: изолированная особая тпочка г = гв явллетпсл полюсом, если 1ип ('(г) = оо. Из равенства (76.16) имеем (я — зв) у'(з) = д(г). Отсюда получаем удобный способ определения порядка полюса ге.. если 1ип (г — гв)~Дг) = с (с,„ф О, с, ф со), (7617) о-ыо то точка гв есть полюс тп-го порядка.
ф Имеется связь между нулем и полюсом функции. Су ественно особая точка Если гв — существенно особая точка, то,как доказывается (теорема Сохоцкого-Вейерппрасса), в достаточно малой окрестности точки га функция 7(г) становится неопределенной. В такой точке аналитическая функция ие имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Выбирая различные последовательности точек (г„), схоляпщхся к существенно особой точке гв, можно получать различные последовательности соответствующих значений функций, сходящиеся к различным пределам. Пример 76.д. Определить тип особенности функции 7'(з) = е' в точке г = О. ( 1 Докажем первую часть теоремы Пусть з в у инго порядка для.
функции 7(г). Тогда имеет место равенство ,((г) = (г — га)~сР(з), где У(г) аналитична в точке га, пРичем ~Р(гв) ~ О. Тогда (г — го) — Г) — — — Г1 и 1пшп ((г — га) +) = + ф ( Это означает (см. (76.17)), что для функции — ( — точка г =- га является полюсом тп-го порядка. Вторая часть теоремы (обратной) доказывается аналогично. 565 1,) Решение: Функция Дя) = е' в окрестности точки я = О имеет сл ест следу'- ющее лорановское разложение: е* = 2 -+я (см. пример 76.4). Точка =о п|в г = 0 является существенно особой точкой.
Если в — > 0 вдоль положи- 1 тельной части действительной оси, то 11п> е' = 1пп е* = + = +ос; если — ю -+о+о 1 г -> 0 вдоль отрицательной части действительной оси, то !ш> е' 1 в-че 1>ш е = О. .— >о — о Ф' Замечание. Классификацию изолированных особых точек можно распространить на случай, когда особой точкой функции Дв) являегся бесконечно удаленная точка, я = оо. Окрестностью точки в = оо называют внешность какого-либо к гаси,. ,ентром в точке з = О н достегочно большим радиусом В (чем больше Я, тем меньше окрестность точки в = оо). Точку г = оо называют изолированной особой точкой, ес.:ти в некоторой окрестности ее нет других особых точек функции Дх). Бесконечно удале>п>ая изолированная особая точка может оказаться устранимой особой точкой, полюсом порядка >и или существенно особой точкой. В первом случае лорановское разложение функции Дя) в окрестности точки з = со не имеет членов с положительными показателями, во втором -- имеет их лишь конечное число, в третьем случае в разложении имеегся бесконечно много членов с положительными показателями.
Я Изучение функции Дв) в окрестности точки з = со можно свести путем подстановки в = — к изучению функции 1 > 1 в окрестнов> сти точки я = О. Пример 7о. 7, Найти особые точки функции Дя) = вгп ~. = вт' О Решение: Особой точкой функции 1(я) является в = О. Найдем предел функции при в — > 0: И>п ~— т~ = 1пп вш ~ -т — — <ю. Следовательно -+о з ->о я в 1 точка в = 0 является полюсом.
Можно убедитьсл, что 1пп язв>п~ = оо, — ю в 1пп яз ып Я вЂ” — 1 ~ О. Следова>ельне (см. (76.17)), точка г =- 0 — пол>ос третьего порядка. Пример 7о.8. Исследовать особенности функции Х(х) = я(з+ 2)(в — 1)в =Ои з — — — 2 — >Р с„, я — 1 -- полюс второго г>оря>ька. н >= 76 у. Выяснить поведение фун '' ' я — 3'' нкций, (в) =: в в окрестности точки в = оо 1+в 5 77 ВЪ|ЧЕТ ФУНКЦИИ 77.1. Понятие вычета и основная теорема о вычетах В пюм аналитической функции Дв) в изолированной особой Я ыче точке го называется к омплексное число, равное значен ° гр- 1. у г( ) д " того в положительном направлении по окружно2я| >" ~~ > ежащей в области аналитичности функции сти Б с центром в точке го, лежащ (т.
е. в кольце 0 < 1я — во! < и). г(в) в изолированной особой точке Обозначается вычет функции >г в в из во символом Беву(во) или Вев(Дг); я~>). Таким образом, ч ->ь~=Д>(о ~ о.) Если в формуле (76.12) положить п = — 1, то получим 1 с > = — Дх)дя или Йев,7(во) =с >, 2х| ь ф тень ф >( )от ' ° в к т.
е. вычет ф кции >(я) от> т. е. вь ф > ( ) о яосительно особой точки зо равен коэфервом члене с отрицательным показателем в разфицие>ггу при пер ложении функции 1(в) в ряд Лорана (76.11). 567 1 аем подстановку в = Ы=-- >о П и у словии 13п>! < 1 "меег мост примет вид.( ~~ = 1 — Зв>' ~ениеХ вЂ” ) =~(1+зш+' ( '~ ( (ш з ) Б °; „аясь к старой перемен ной, имеем 1 1' 3 3' 1 3 Зз 3" П чка в = оо является устранимой ос ° ( сбой точкой (см.
последоэтому точка нее замечание). и (я) = в . является Можно убедиться, что я = оо для функции д(я) = — т правильной точкой, то Вез У(яз) = 0 (в разложении Лорана (76.11) в этих случаях отсутствуег главная часть, поэтому с, = О). Полюс. Пусть точка зз является простым полюсом функции У(я). Тогда ряд Лорана для функции У(з) в окрестности точки»е имеет вид У(я) = )" с„(г — зо)" + ' ' .
Отсюда я=е круг каждой особой точки яс. опишем окружность 1ь так, чтобы ~~ Во -„-ала внутри других она целиком содержалась в области Р не соде-„- особых точек и чтобы никакие дзе из этих окружностей не имели общих !очек (см. рис. 300). Тог 'да на осддовании теоремы Кои!и для многосвязной обнасти (см. замечание па с. 545) имеем: ~У()б = ~У(я)б-+ ~У()~ +-"+ ~У()1, с, с, с„ с„ где при интегрировании все контуры обходятся против часовой стрелки.
Но, согласно формуле (77.1), имеем: ~ У(я) сиз = 2яс Вез У(» ) сд У' У(х) с(з = 2кс Вез У(зя) ~ У(з) сЬ = 2яс Вез У(»„) Рис. ЗОО Следовательно, ф У(з) с(з =- 2я! Вез У(з!) +... + 2дг! Вез У(кз) т.е. ~ У(,) ~1. = 2; ~"- В с ь=д 77.2. В .. Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов П рввильиьсе или устранимые особые точки. О чевидно, если з = хе есть правильная или устранимая особая точка функции У(я), 568 (я — яо)У(з) = с д + ~ с„(з — хе)" и=в Поэтому,переходя в этом равенстве к пределу при з -д зз,получаем (77.3) 3 ание Формуле (77 3) для вычисления вычета функции У( ) в простом полюсе можно придать другой вид, если функция У(з) является частным двух функций, аналитических в окрестностях точки яо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
