Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 79
Текст из файла (страница 79)
пзода )У Х ( ф — 1) где Ь есть окружность радиуса Й с центром в точке зо, обходимая против часовой стрелки (см. рис. ). . 292). с„1 Решение: а) Теорема Коши неприменима, т.к. функция — пе аналитична в точке зо. Пара- у метрические уравнения окружности Ь есть я = хо + Й сов 5 у = уо + Йз1п 4, где О < с < 2я. Следовательно, я = я+ ту = хо+ ЙсозФ+суо+1Йзсп« = Рнс. 292 и = (ко +суа) + Й(сов«+сзптс) = хо+ Й ° е Таким образом, мы получили, что комплексно-параметрическое урав- Й е" О < 1 < 2я.
Поэтому по нение данной окружности ес сь з = хо + Й е, формуле (75.4) получим: с дз гс Й.е х — хо 7 Й ес о б) При и ф — 1 имеем: 2х (з — хо)" с)г = / (Й ес ) 'Й 1'-еисй = о е 1Сь+1)1 Зх ««+1 1 сс««+1]1 й Й««+1 и+1 !о Йп-1 1 о+1 = — (соз211(л+ 1) +сз!п2я(п+ 1) — ео) = — (1 — 1) = О. и+ Итак, 75.3. Интеграл Коши. Интегральная форввула Коши Полученная формула называется формулой Нытпони-Лейбни а обз Интегралы от элемента ных нк . сн го в састи их ан р функций комплексного переменного и мето алитичности вычислявттся с помощь дов, что и в действительном анализе. щью тех же формул Так, /е'с7« =е'+С;/ зюзю = — осик+С; 1 Зззс)х = 3-з ~~ = — 1 и т.д 546 Теорема 75.2.
Пусть функция 7"(г) аналитична в замкнутой одно- связной асти и обл Р Х вЂ” граница области В. Тогда имеет место формула (75.5) 2я4 Я г — зо Ь где яо Š — любая точка внутри области 77, а интегрирование по контуру прои Л вводится в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки). Рис. 293 Отсюда следуг 1 У(я) ггз у У(я) дз 1 Е т. е 548 гр, нахолягцийся в правой части равенства (75 5) н Р Инте ал ахо ется ииггге яло иипгезрало и Хомги, а сама эта формула нвзывапгся интегральной 4ормулогу Хогии. Формула Коши (75.5) я ( .
) вляется одной из важнейших в теории функций комплексного переменного. Ог. 1а позволяет находить значения аналитической функции У(х) в лгобой'точке яе, лежащей вну р об р . ее значения па границе этой области. ~утри ласти Ц Построим окружность 1, с центром в точке ге, взяв . с г- ь м, что ы данная окружность была расположена внутри области, (чтобы 1г не пересекала б). Получим двусвязную область Вг (заштрихованную на рис. 293), ограниченную контурами Е ю ко орой функпня — - аналитична. и1. в т — итична.
я — яе гс '.'..' Тогда, согласно замечанию к теореме Коши с. 545, имеем: — ХУ()" 1 УУ( )+У() У( ) х — зе 1 Но г1 (см. пРимеР 75,2). О„ге ' «У ~™~м, У(,) У(„) Оценим разность в левой части равенства (75.6). Так как аналитическая функция У(х) непрерывна в точке яе е Ю то е)Он , то для любого числа найдется число г > 0 такое, что ..„и ',я — ~ < ( , имеем рг — яе~ = г) справедливо неравенство Яя) — У(яе)~ < ж Применяя свойство 6 об оценке модуля интеграла (и. 75.1), имеем: 1 гУ(е)дя 1 ~1 ГУ(я)-У(ее)„< 27Гг я — ее 12я1 1 г — га Е < 1 у ~У(з) - У( ) ~ д, < 1 Так как е может быть выбран сколь угодно малым, а левая часть последнего неравенства не зависит от е, то она ранна нулю: У(хо) = 0 1 г У(з)~Ь 2яг я — го Е откуда следует формула (75.5). Отметим, что интегральная формула Коган (75.5) справеплива и для многосвязной области: каждый из контуров обходится так, чтобы область В оставалась слева.
Применяя интегральную формулу Коши, мгпкно докаэат» следующие теоремы-следствия. Таким образом, производная аиалигпической функции так- Ю ' аюе являегпся аиалигпичесжой 4ункцией. Напомним, по из дифференцируемости действительной функции не следует дюкс существования второй производной (функция у = 1/т имеет производ ю в ну точке т = О, а производная этой ф нк ии 1 при я = О не сугцествует). Ю Р Ряд (75.8) называется рлдолг Тейло ра функции 1(») в точке»о цд е ора дифференцируемой в точке цд е о а ффер . е»о функции существует и функции. Ряд же Тейло а ля нк . Р .. р для действительной функ- сходиться к другой ф и< ии у1 ц или быть расходщцимс ечаиие.
ормула 11-й производной ф н е 1аиие. функции 7'(») может быть 2яг» ~ — » ЛО (75.9) Формулы (75.5) и (75.7) мохгно испо.пьзовать ля тегралов по замят кнутым контурам. О испО.пъзОВать для вычисления ин- »»РгьмеР 75.8. Вы„„,, „ь1 » + 4' 7» а) х' Окружност ) Окружнос ! — ~ — 2 О Решение: а) функ1»( 1 " = Р+ 4 жляе я ан тич кой в,б„ сти,!»! < 1 В . сжпу теоремы КОши имев 1 дв б) На ис нкеь2 » +4 р 'у 94 представлена область, ограниченная контуром интегрирования.
В этой области,'» — ' — 1~ ( 2 находится точка »=21,вкото йзна ро " мепатель подынтегральной ' функции равен нугпо. Перепишем ин 1тегрвл в виде Функция»(») = —. является »+ 21 аналитиче-: Рнс. 294 ской в данной Области. Применяя интегрвльну1о формулу Когпи (75.5) „находим: ~А-'-(, 1„)~,.--"Г-;— Рт'"меР 754. Вычислит1, ~ соз», !4=1 550 Внутри круга и на е1"1 гра аналитична. Поэтому, в силу формулы (75.7), имеем ° 1 ась» г соз» вЂ” дя= у 2+1 (» — О) 1х)=1 И вЂ” -1 2яг = — (соз»)"~ = яг( — соз»)~ = — яг 21 Ь=о их=о 3 Тб. РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ гб.1.
Числовые ряды Ряд Е-= и„= и1 + и» +... + и,„+..., а=1 Я членами которого являются комплексные числа, называе слоаылг рлдолг (в комплекс»юй области). Ряд (76.1) с комплекс- НЫМИ ЧЛЕНаМИ и„= а„+ 15о МО211НО ЗаннеаГЬ В ВИДЕ (76.1) тся ми- (76.2) а =а1+аг+- ° +а" +" 1=1 (76.3) '~ Ь„ = 51 + Ьг + ° ° - + Ьа + ''' При этом о = О1 + 152, где о1 — сумма ряда (76.2), а ог — сумма ряда (76.3). Это означает, что исследование сходимости ряда с комплексными членами сводится к исследованию сходимости рядов (76.2) и (76.3) с действительными членами. 551 ио = ~~1 (ап + 1Ь„) = (а1 + 1Ь,) + (аг + 1Ь2) +... + (а„+ 1Ь„) +..., х 1 о.=1 где а и Ь„(п = 1, 2, 3,...) — - действительные числа. И П л а Сумма он = Сиь = 2 (по+151) = 2,а»+1 СЬ1 первыхп 1=1 1=1 1=1 1=1 членов ряда (76.1) называется и-й частиичной суммой ряда.
Если существует конечный предел О последовательности частич- ныхсУММВ,„РЯда: О = 1ш1 Ьв = 1пп 2„аь+1' 1пп ~ Ьь,тоРЯд(76.1) а-+Ох и-эхо Ь. 1 я-эхх 1 1 называется саодяипьися, а Π— суммой ря;да; если йш О не существует, то ряд (76.1) называем.я расяодяи1имся. Очевидно, что ряд (76.1) сходится тогда и только ТО12»а, когда сходится кэждь1й из рядов СЮ СФ Г„=ив+1+и + а= г аь+1 ~~ 5 в=о+1 ТеоРема 76 1 (нмб — ходимыи признак с Ряд Рб'1) сходится, то его б ™ Ряда . сли К НУЛЮ.
11Ю „ ио Р— 1 оо стремит в — ю~ Р (76.1) 1 яд 1 . ) тазывается абсолютно сходл1цим л1цимсл, если сходится ряд ~.1и-1=! !+!и'!+ -.+!и.!+" в=1 (76.4) Вт ии еор рядов с комплексными членами основ 1е оп их доказательства аналогичны соответс реле~ ениям и теоремам из теории рядо й их ок ° * твукоцим П ов с де ствительными членами. риведем некоторые из них. Остоап1ком ряда ~76.Ц нвзываепя разность 7б.2. Степенные ряды Д~ Степенным Рядом в комплексной области называют ряд вида спх =. со + с1з + сз~ + ° ..
+ саЯ +... 1 (76.5) в=о где г, — комплексные числа (коэф4ициенппл ряда), х = х + 1у -- комплексная переые1п1ая. Рассматривают также и степенной ряд вида с„(х — хо) (76.6) „=о который называют рядом по степеням разности з — го, хо — ' комплексное число. Подстановкой х — го = 1 ряд ~76.6) сводится к ряду (76.5).
Ряд (76.5) при одних значениях аргумента х может сходиться, при других — расходиться. " вокупность всех з Совокупность всех значений г, при которых ряд (76.5) сходится, называется областью .сходимости етого ряда. Основной теоремой теории степенных рядов являетс р . я тео ема Абеля, устанавливвгощая область сходимости степенного ряда. Г1 условию ряд с общим члеяом ~и ~ = ~/ з ф Г4 По слов и = а„+ „сходится. Тогда в силу очевидных неравенств ~а ~ < -„з 5з ~5 ~ .
1Г '„а ;/а + и ~ „~ < 1 а1 + 5' и на основании признака сравнения (тео м 60.1): а„и , рема . ) сходятся ряды ~" ~а„~ и 1'! „!. сюда следует сходимост>. рядов (76.2) и ~76.3), а значит, и абсолютная сходимость ряда ~76.1). Ы .' ряд сто ютно сходится и имеет сумму з' то и ЙИ Коли аб . нз него перес й . акж , то ряд, полученный Я рестановко членов такж , что и исходный ряд. рес ., акже сходится и имеет ту же сум акж . му Абсолютно сходящиеся ы ремножать. ряды можно почленно складывать и ы тьипеф Пни При исследовании на сходимость рядов п именимы ядов с комплексными членами Р все известные из действительно сходимости знакопостоянных ов го анализа и изна 1 1х рядов, в частности признак Даламбера: если существует йю ) "+' ~ = 1 то —, то при 1 < 1 ряц (76.4) абсолютно сходится, а при 1 > 1 - — расходится.
552 Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы Абе'дя в действительном анализе (теорема 63. ). 11 Из теоремы Абеля следует существование числа й = ~хо) такого, что при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ф < й, степенной ряд (76.5) абсолютно сходится. Неравенству ~х~ < й удовлетворяют точки комплексной области, лежащие внутри круга, радиуса й с центром в точке х = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
