Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 74
Текст из файла (страница 74)
е. йт а(М) = О, называется соленоида««ьнмм (или трубчатым). лример 71.4. найти дивергенцию поля линейных скоростей Р' жидкости, вращающейся как твердое тело «юкруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью цу. (,1 Решение: Пр««мем ось вращения жидкости за ск:ь Ог. Тогда, как по- казано ранее (сзь пример 69.2), Ъ' = — ырй'+ оухйт+ 0- Е Имеем: д д д сБ«у рт(М) = — ( — сутр) + — (оух) + — (0) = О.
д: др дг Поле 1« — — соленоидальное. 71.4. Циркуляция поля Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Возьмем в атом поле некоторую замкнутую кривую В и выберем на ней определенное направленио. Пусть г = хй+ у1т+ г1« — радиус- ) вектор точки М иа контуре А. Известно, что вектор Й = сЬ.
й+ду.ув+сЬ. Й направлен ио касательной к кривой в направлении ее обхода (см. рис. 276) и фг~ = Ряс. 276 = сд, где сй — дифференциал дуги кривой (й = (дх)Р + (с(у)г + (с(г)г). Я Криволинейный интеграл по замкнутому контуру Х от скалярного произведения вектора а на вектор дг, касательный к контуру Л, называется циркуляцией веятпора а вдоль Х., т. е. о С = ~ а с«тт т, (71.10) Рассмотрим различные формы записи циркуляции.
Так как о. «1т = )УХг)-пРла = а, сй = Рс(х+(«с(У+ КсЬ, где а — проекция вектора а на касательную т, проведенную в напра- влении обхода кривой Х, то равенство (71.10) можно записать в виде С= ~а ° Ж, (71.11) 512 «т Кои а ивкт лекций ио высшей лет светике. Патккй куРа 513 Следовательно, Ь в в вх в В го1 а(М) = гос(Г .
а) = Н го1 а + бган У х а. 514 515 Ц Циркуляция С, записанная в виде (71.12) имеет простой физический смысл: если кривая 7 расположена в силовом поле, то циркуляция — зто работа силы а(М) поля при перемещении материальной точки вдоль Е (п.56.5). Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция ол лична от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произвепение адг сохраняет знак: положительный, если направление вектора а совпадает с направлением обхода векторной линии.
от ица; отрицательныйй — в противном случае. Л' рхьмер 7х.б. Найти циркуляпию вектора поля линейных скоростей вращаюгцегося тела (см. пример 69.2) Г = — атп + иху' вдоль замкнутой кривой В, лежащей в плоскости а, перпендикулярной оси вращения. (,А Решение: Будем считать, что направление нормали к плоскости гг совпадает с направлением оси Ою Согласно формуле (71-12), имеем: С= ~ — шудх+ мхду =и~ — удх+хду = ь /1 = 2и ~ — Х вЂ” у дх+ х ду = 2м ° В, 12 l где Я вЂ” ппощвдь поверхности, ограниченной кривой Х (см. 56.17). Заметим, что если нормаль к поверхности Я образует угол 7 с осью Ог, то циркуляция будет равна С = 2м Я .
сов 7; с изменением угла у. величина С изменяется. Лример 71.6. Вычислить циркуляцию векторного ноля в = (х — 2х)г + (х + Зу + х)1 + (5х + у) 1д вдоль периметра треугольника с вершинами А(1;0;0), В(0;1;О), С(0;О;1) (см. рис. 277). (А Регпение: Согласно формуле (71.12), имеем Рис. 277 С = ~(х — 2х) дх+(х+Зу+ г)ду+(5х+ у)дя = / + ~ + АВ ВС СА На отрезке АВ: х + у = 1, х = О, следовательно, о = /(х — 0)дх+ (х+3 — Зх+О) ( — дх) + 0 = —. АВ 1 2 На отрезке ВС: у + х = 1, х = О, следовательно, о 3 = / (Π— 2+ 2у) ° 0+ (О + Зу + 1 — у) ду + (О+ у) ° ( — ду) = — —.
ВС На отрезке СА: х + х = 1, у = О, следовательно, = /(х — 2+ 2х) дх+ 0 — 1(бх+ 0) ( — дх) = — 3. СА О с= у = 1+ 1+ 1 =-+~у — ~~+( — з)= — з, е 3 / 31 АВСА АВ ВС СА 71.5. Ротор поля. Формула Стокса Д Ротором (или вихрем) венгпорново поая а = Р(х; у; х)г + 1>(х; у; г)1 + В(х; у; х) Й нвзываежя вектор, обозначаемый гоь а(М) и определяемый формулой Формулу (71.13) можно записать с помощью символического определителя в виде, удобном для запоминания: Отметим некоторые свойсглва ротора. 1.
Если а — постоянный вектор, то го1 а = О. 2. го$(с а) = с гос а, где с = соней 3. гоь(а + Ь) = го$ а + гос Ь, т. е. ротор суммы двух векторов равен сумме роторов слагаемых. 4. Если à — - скалярная функция, а а(М) —. векторная, то Эти свойства легко проверитзз используя формулу (71.13). Покажем, например, справедливость свойства 3: Ц тот(а+5) = — (Л«+ Лг) — — ®«+()г) с+ Гд д др дг + д (Р+Р) (Л+Л) у+ ®+О) (Р+Р) 7, 1д ' д„ ...=то1 а+тоэ Ь. ° Используя 'понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запил«ем известную в матемнгическом анализе (см.. 58.4) (ю у у Стокса:. = О'тос„йссз Следовательно, формулу Стокса можно запи- сать в виде ~ а,.с(1 = Цто1 а с(в (71.
15) Е и Такое представление формулы Стокса наРис 278 зывщот ее векторной формой. В этой формуле положительное направление на кожуре Е и выбор стороны у поверхности Я согласованы между собой так «ке, как в теор((ь(е Стокса. ф Формула (71.15) показыввег, что с(прк((линия векпшра а вдоль замкнутого контура Ь равна потоку ротора э(ного вектора й (врез поверхность Я, лсзкап1рю в поле вектора а и ограниченную контуром А (натянутую на контур) (см. Рис.
278). 516 Рс(х+ 1;)(1((+ Л(1г — ~ — (1 (1 +. УдЛ д(з1 / 1,ду( дг) /дР дЛс ГЯд дРЪ + ~ — — — ~ с(х ссг + ~ — — — ) (1х сЬ. (71.14) ' дх,/ ~ д* д„) Леивя часть формулы (71.14) представляет собой циркуляцию вектора о. по контуру А, т. е. ~ РсЬ+б~с(у+ Лс7г = ~ а,.сй (см. (71.11)). Интогрвл Е Е в правой части формулы (71.14) представляет собой поток вектора то1 а. через поверхность Я, ограниченную контуром А (см.
(71.3)), т. е. ф' Ю) с.,(~ г ), с.,(Ю ')„„, Используя фсзрмулу (71.14), можно дзхь другое определение роторв, поля, эквивалентное первому и пе зависящее от выбора координатной системы. Для этого прьтыеним формулу Стокса (71.15) для достжгочно малой плоской площвдки Я с контуром А, содержащей точку М. По теореме о среднем для поверхностного интеграла (и. 57Л, свойство 7) имеем." ~ то(, йс(з = то~ о(Мо) .
Я, где Мо - -- некоторая (средняя) точка площадки Я (см. Рис. 279). Тогда форму.пу (71.15) можно записать в виде а сй = то1 а(Р) д. Отсюда: то1, а(Р) = — ~( а сй. 1 г -д)" . Е А Пусть контур А стягиваетс«( в точку М. Тогд~ Рис 279 Мо — «М, а Я -+ 0 ПеРейдЯ к пределУ, полу*(э.еи: 1 г то1„а(М) = 1)п« вЂ” )с аг сй. н-+о Я Е Я Роспором вектора а в то ске М называется вектор, проекция которого на тсэж«сое направление равна пределу относпения циркуляции вектора а тю контуру Х плоской площадки Я, перпецпикулярной этому направлению, к площади этой площадки. Как видно из определения, ротор вектора а(М) есть векп«рная величина, обРазующая собственное векторное поле.
Дадим с)«изи*~еское истолкование пояятия ротора векторного поля. Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося вокруг оси Ог с постоянной угловой скоростьк«(пример 69.2) в(, т. с. ротор вектора Г = — о«р - с + о« - х,у. По определет(ию ротора к в вг О г 3 д вк — т((о хсо то1а(М) = д( „-) ~(-р ) —. д(* ) д(-р ) ~ = Π— О+ 2(о . (с = 2и. ро «р этого поля направлен параллельно оси вращения, ото ьсодуль равен удвоенной угловой скорости врз«це«сия. 517 С точностью до числового множителя Ротор поля скорос:тей Р представляет собой угловую скорость врашення твердого тела.
С зтим связано само название «роп>р» (лат. «врапСагель»). Заме саине. Из определения (71 33) ротора вытекает, что направление ротора — зта направление., вокруг которого циркуляция имеет наибольшее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией закрут любого направления, не совпадающего с нормалью к плошддке Я. Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между градиентом и производной по направлению (см. и.
70.3). 3 72. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА 72.1. Векторные дифференциальные операции первого порядка Этот символический вектор называют также оператором т7 (читается «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.
Символическое «умножение» вектора, 17 на скаляр Г> или вектор а производится по обычным правилам векторной алгебры, а «умножение» символов д —, ~, д- на д д д х' ' г величины сс, Р, с,>, В понимают как взятие соответствук>щей частной производной от нгих величин. Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные операции первого порядка: (д 2+ — у+д 12) (Р.2+1~.У+Лй) д +Р+д 2 3.
>7 х а = Р Опе ато Га = го1а. р р мильтона применяется для записи и других операций и для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним Основными дифференциальными операциями (действиями) нвд скалярным полем П и векторным полем а являются кгас( П, сйн а, гоФ а.
Действия взятия градиента, дивергенция н ротора, называются векторными операци>сии первого порядка (в них участвук>г только первые производные). Эти операции удобно записывать с помопсью так называемого оператора Газ>иль>лона орной алгебры и правилами диффе- надо пользоваться правилами век ренцированил. ° .. и 70.2) может быть заоизводная йо направлению . м частности, пр писана в видо дст — =нс7 е= е Ч дЛ где е = (гоз сц соз д> соз 7). 72.2.
Векторные дифференциальные операции второго порядка После имепения оператора Гамильтона . р к скаля ному или вокосле примеп . которому можно снова приме- торному полю полу пол .чается новое поле, к д ен иальные опенить зтот оператор. Разу о . В . льтате получак>гся и еренц я лишь пять . Н, дно убедиться, что имеется лишь >шфферонциальных операций втоРого порядка> сйнкг', го р ас1 сйн а., сйн гос ат гос го1 а.
говорить о дивергенция сквляра, т. е. о 'н 1> а, ес1на, — скаляр, г в смысленно.) я исгч ренциальных операций втоЗапи>пем явные выражения для дис рен> а по а используя операт о Гамильтона. Заметим при игом,что , ств . '' ' ь расположенный непосредоператор де ств ,йствунг только на множитель, р отвеина за оператором. ф 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
