Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 69
Текст из файла (страница 69)
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 3 бб. РЯДЫ ФУРЬЕ бб.1. Периодические функции. Периодические процессы При изучении разнообразных периодических процессов, т. е. и цеюсов, которые через определенный промежуток времени повторяютс (встречаются в радиотехнике, электронике, теории упругости, теории'н практике антоматического регулирования и т. д.), целесообразнее разлагать периодические фуякции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.
Напомним, гго функция у = 1(х), определенная на м»к>жество Ю, называется периодической (см. и. 14.3) с периодам Т ) О, ес. прн каждом т Е П значение (х+ Т) Е»» и выполняется равенст Г(х+Т) = )(х). Для построения графика периодической функции периода Т дос ° точно построить его на любом отрезке длины Т и периодически пр. должить его во всю область определения.
Отметим осяовные свойства периодической функции. 1. Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих одн и тот же период Т, есть периодическая функция с периодом Т. 2. Если функция Г(х) имеет период Т, то функция С(ох) имеет период —: действительно, Г"~а ~х+ — )) = — Г(ох+7') = Г'(ах). а' а)) 3. Если функция 1(х) имеет период Т и ю»тегрируема на отрезке а-»-т' ь+т (хо,х>]е К, то / У(х)дх = / Дх)»Ь при лк>бых а и Ь 6 (хо;х»). а ь > д Пусть, например, 0 < а < Ь < Т, тогда ь а+'Г /,с'(х) сЬ =- / .с'(х) с»х + / Г'(х) с(х.
ььт а+7 ь+т ) 7(х)с»х= ) 1(х)с(х+ ) Дх)с(х. По )Г 7(х) сЬ = (подстановка х = а+Т) = )Р Х(и+Т) »1»» = ~ ) (х) сЬ- а-~-'Г а. а. ! 1одставляем полученный результат в (66.2) н, сравнивая с (66.1), нмеа-»-т ь+т > м / ((х)сЬ = / Дх)»Ь. В частности, / Г(х)йх =- / Х(х)сЬ. о ь Простейшими периодическими функциями янляютсн тригонометрические функции вшх и совх. Период этих функций равен 2к, т.
е. Т=2к. Простейшим периодическим процессом (движеннем) является просяное гармоническое колебание (движение), описываемое функцией у = А. в»п(»Л+ сро), (66.3) с ) О, где Л вЂ” амплитнуда колебания, а> -- чаю>ногин„ро —.- начальнол фаза. Функцию такого вида (и ее график) ивзывают про»>шоб гарлюникой. Основным периодом функции (66.3) является Т = к, т. с. однс> полное колебание соверпшется за промежуток»>ременн — (ь> показы- 2.» н> вает, сколько колебаний совершает точка в течение 2г. единиц времени). Проведем преобразованне функции (66.3): у = Авш(нЛ+ ро) = Ав»паЛсов>ро -~-Леона>гвш>ро = асовн>1+ да»пш1, (66.4) где а = Л бп а>о, Ь = Л сов сро.
Отсюда видно, что простое гармоническое колебание описывается периодическими функциями з1п »Л и сов»Л. Сложное гарлсопическое колебание, возникающее в результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также описывается функциями вида вш »Л и сов »Л.
Твк, функция >р(г) = Ао+ А» в>н(1+ >р») + Аг вш(2»+ >с>г) +. ° + Азо вш(301+ >рзо) = зо = Ао+ ~ А„в»н(п1+ср„) зо илн, что равносильно, функция р(1) = Ло + ~" (а„совпз+ Ьа в»пп1) ч=.» задает сложное гармоническое колебание. Так как период первой гармоники есть Т» = 2я, второй Т» = —, третьей 7з = — ', ..., тридцатой 2т ° 2я (66.9) (66.10) (66Л1) япих дх = 0 при любом по 16 конспект лекций но высший нк«снктнкс.
Полн нй «>ос 481 480 Тэг> = —, а период функции у = Ао (ег>у>>свая гармоника») есть люб«и число, >ю функция уо(Ь) имеет период, равный юг, т. е. Т = 2х. Понятно, что при наложении простых гармоник получасы перно дическую функцию, описывающую сложное периодическое колебанн« (периодический процесс). Возникает нопрос: нсякую ля периодичеглсую функцию, описывяо гцую периодический процесс, можно представить в виде суммы простыл гармоник вида (66.3) или (66.4)2 Если да, то как найти неизвестные пй раметры (коэффициг>вты) каждой из этих гармонику Ответим сна >ало па второй вопрос, а потом и на первый.
66.2. Тригонеметрический ряд Фурье С помощью тзк называемого тригонометрического ряда любую (практически) периодическую функцию можно представить в виде р да, членами которого являются простые гармоники. Д Тригонометрическим рядо.н нззывазгся функциональный р вида — + а> созх+ Ьг япх+... + и, сових+ Ь„з>них+ ао 2 = — + р ансон>>х+ Ь„ви«пх, (66. а«> где дойствите.г>ьные числа ао, а„„Ь„(п = 1, 2,...
) называются козу> цпенп>ам>«ряда. Ряд (6>6.5) можно записать в виде — + ~ ~А„згп(пх + уо„). (66. ДейетзнтСЛЬНО, ПОЛОЖИВ ап = Ат«З>П«эн, Ь„= А Сспм„, ПОЛУЧИ а„сових + Ь„з>них = Ап яп(пт. + «о ); ряд (66 5) принимает вид (66. Прн ЭТОМ А„= „>ай + ЬП И йй СОН кк аа. Свободный член ряда записан в виде а11 для единообразия пол 2 чающихся в двэгьйггйпгг>м формо«гг.
Прин дем формулы, которые понадобятся нам в,дальнейпюм. Считая т и п целыми положительными, находим: сов п,тгЬ = х~ = 2>г (и = О), СГил«Х ГОЗПХГ(Х = -н ]О (т~и), (соз(т + п)х + соз(т — п)х) дх = 2,/ ~я (т=-п), к ядп>х - созпхдх = — «Г — / (з1п(т + п)х + з1п(т — п)х) гЬ = О, 2 зшп>х яппх>Ь = — н (О (тФ ), — у (соз(т — п)х — гоз(п>+ и)х) дх = 2 л («т (ги = п). Замечания. 1. Формулы (66.7) (66.11) показывают, ч>о семейство функций 1, соз х, яп х, соз 2х, яп 2х, гоз Зх, яп Зх,..., соз пх, яп пх,...
[."у[ обладает свопством ортогомальмосгпиг интеграл от произведения любых двух функций этого семейства на интервале, имеющем длину 2>г, равен нулю. 2. Формулы (66. 1) — (66.11) справедливы в в случае, когда область интегрирования есть отрезок [О;2я] (см. свойство 3 периодических функций, и.
66.1). Пусть у(х) произвольная периодическая функция с периодом 2й.. Предположим, что функция у(х) разлагается в тригонометрический ряд, т. о. )'(х) является суммой ряда (66.5)1 )'(х) = — + 2 а сових+ Ьпыпих. 2 (66.12) н=-1 Так как функция )'(х) (и сумма ряда) имеет период 2 г, то ее можно рассматривать в любом промежутке длины 2и. В ка*гестве основного промежутка возьмем отрезок [ — гг; >г] (также удобно взять отрезок [О; 2л]) и предположим, что ряд (66.12) на этом отрезке можно почленно интегрировать.
Вычислим коэффициенты а„и Ь„. Для этого гпюинтегрируем обе части равенства (66.12) в пределах от — «г до я: )'(х) гЬ = ~1 — дх+ ~ > а г сонг>хдх+ Ь г зщпхгЬ > = г оо — к —.к т«=1 -«т «Г т г ао / — сЬ = 7Гао- ,/ 2 Исгтсггральг от всех, кроме нулевого, членов ряда равны пулю в силу формул (66.7) и (66.8). Отсюда (66.13) Умножив обо части равенства (66,12) на сов гпх и проинтегрировав полученный ряд в пределах от — я до я, получим: 7"(х)созтхг)х = — [ созтхгЪ+ ао 2 — ~г ,~[„( ° а*+ь( ю ь). о=1 -к В силу формул (66.7), (66.9) и (66.10) из последнего равенства прн т = и получаем: л ,1(х) созпхг1х = а„х. Отсюда (66.14) А налогично, умножив равенство (66.12) на гйп тх и проинтегрировав почленно ва отрезке [ —.г; я], найдем: (66 Рб) Д иола асг, ап„Ь„, определяемые по формулам (66.13) — (66.15), наг2г зываются иоэффиг4иенпиглси Фурье функции 7"(х), а тригонометрический ряд (66.5) с такими коэффициентами — — рядолс Фурье функции )(х).
Для интегрируемой на отрезке [ —.г; я] функции 7(х) записывают Х(х) 2 + Х~~ а„сових+ Ь: зшпх асг и говорят: функции 7(х) соответствует (поставлен в соответствие) ее ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначим Я(х). ][б7. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ 2тг-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ б7.1. Теорема Дирихле Выясним условия, лри которых знак соответствия ( ) можно заменить знаком равенства (=), т.
е. условия, при которых ряд Фурье функции 1(х) сходится и имеет своей суммой как раз функцию 1(х). Будем рассматривать функции 7"(х), имеющие период Т = 2я. Такно функции называют 2я -периодическими. Сформулируем теорому, представляющую достаточноо условие разложи мсютв функции в ряд Фурье. Теорема 67.1 (Дирихле). Пусть 2я.-периодическая функция 1(х) нз отрезке [ — гг; я] удовлетворяет двум условиям: 1.
7"(х) кусочно-непрерывна, т. е. непрерывна илв имеет конечное число точек разрыва ! рода; 2. 7"(х) кусочно-монотонна, т. е. монотонна нз всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить нз конечное число интервалов тзк, что нз каждом из них функция монотонна. Тогда соответствующий функции 7'(х) ряд Фурье сходится нз этом отрезке и при этом: 1. В точках непрерывности функции сумма ряда Я(х) совпадает с самой функцией: о'(х) = 1(х); 2. В каждой точке хо разрыва функции сумма ряда равна Дхо — О) + Х(хо + О) Я(хо) = 2 т. е. равна среднему арифметическому пределов функции )(х) справа в слева; 3.
В точках х = — гг и и = я (нз концах отрезка) сумма ряда равна Д вЂ” гг + О) + 7(гг — О) 2 Таким образом, если функция г'(х) удовлетворяет условиям 1 и 2 Ю теоремы (условия Дирихле), то на отрезке [ — я-, и] имеет места разложоние (66.12): 1(х) = — + ) а„соз пх + Ь„зщ пх, ао 2 л:=.1 причем коэффициотьгы вычисляются по формулам (66.13)-(66.15). Это 483 равенство может нарушиться только в точках разрыва функции 1(я ) и на концах отрезка [ — я'; я-].
В силу периодичности исходной функции и суммы ряда Фурье мо жст быть получено указанное разложение во всей области определения функции. Замечания. 1. Если функция ['(х) с периодом 2я на отрезке [О; 2х] удовлетво- ряет условиям Дирихле, то для нее имеет место разложение (66.12), где коэффициенты вычислшотся по формулам 1 "=-, /'Х(х)(*, О 2я а„= — / 1'(х)созггхЙх, и = 1,2,3,..., о 1 Ь„, = — / 1(х)ьйпггхг(х, и= 1,2,3,... о (Интегралы / 1(х) дх и /,г(х) дх равны в силу свойства 3 периоди-я о ческой функции — см. и. 66.1.) 2. Условиям Дирихле удовлетворяют большинство функций, которые встречаются в ьгатематике и ее приложениях.
Существуют функции, не удовлетворяющие условиям Дирихло, но при этом разложимые в ряд Фурье, т. е. теорема Дирихле дает лишь достаточное условие разложимости, но не необходимое. Рнд ФУР фу цию (( ) р д заданную на отрезке [ — х; я] формулой ( 2х при 0 ~ х ( гг, '( — х при — х ( х ( О. Рис. 260 < ] и=х сЬ = г1х интегрируем по частям: ~,(п = хн их г1х о = — зш вх 1 и — тип их + — соз их [ + — — зш их] + — соз вх г и ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 в — гг и !О г 1 2 3 = — —,(1 — ) + —,(с — 1? = — —., (1 — ( — 1)").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
