Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 68
Текст из файла (страница 68)
свойства степенных рядов) могут быть использованы при разложении (некоторых) других функций в ряд Маклорена (Тейлора). Пример О4.4. Разложить в ряд Маклорена функцию У(х) .= 3*. 1'1 Р ешение: 'Хак как 3 = е = е, то, заменяя х на х(пЗ в раэ- Ш и 1772" ьЫЗ ложении (64.4), получим: 1пЗ 1п 3 2 1п 3 з 1п" 3 Зи = 1+ — х+ х + — — х +...+ —,х +..., х Е ( — со;оо). Пример 64.х. Выписать ряд Маклорена функции 7'(х) = !п(4 — и С! Решение: Так как У(х) =!п(4 — х) = 1п4 1 — — ~ = 1п4+ 1п 1+ ~ —— то, воспользовавшись формулой (64.9), в которой заменим х на ( — х), получим: 7 ' 4 7 !п(4 — х) = 1п4+ ( — — )— П .р 64.3.
Разложить в РЯд МзклоРена ФУнкцию 2 У(х) = 3 О Реп1ение: Воспользуемся формулой (64.8). Так квк 2 2 2 1 П ) = — = — —. 3 — х 3 (1 — $) 3 1 — з' хо, заменив х на 3 н формуле (64.8) „получим: — 1+ — + — + 3 +-" * или 2 2 2 х 2 хз 2 х 2 х 2 х 3 — х 3 3 3 3 32 3 32 3 Зз 3 Зв где — 1<х <1 т.е. — 3<х<3. 3 3657 НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 65.1. Приближенное вычисление значений функции Пусть требуется вычислить значение функции 7'(х) при х = х1 с заданной точностью з > О.
Ес.ли функцию 7" (х) в интервале ( — В; В) можно рззложить в степенной ряд ((х) = аз+ агх+азх + ... + а„х" +.-- и х1 й ( — В; Я), то точное значение 7'(х1 ) равно сумме этого ряда при х =.т1, т.е. Х(х1) =ао+а1х1+азх1+"-+авх1+" 7 а приближенное —. частичной сумме 577(х1), т.е. У(х1 ) и о 77(Х1 ) .= ао + а1 т1 + ООХ21 +...
+ а„х1 . ,77+1 т.е. 1п(4 — х) = 1п4 — -х— 4 42 2 4"4' и+ 1 [Л*)-~О(. И=[.(Х.И, Ьз т„(х1) = а 4.1х1 + а ьзх1 + .. если — 1< — 41 <1,т.е. — 4<х<4. 471 470 'Хочность этого равенства увеличивается с ростом н. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, Таким образом, ошибку )>(х>) — Яч(х>)~ можно найти, оценив остаток г„(х>) ряда. Для рядов лейбницевского типа )г„(х>)~ = )и,„+>(х>) + ивьх(хг) + и„+з(х>) +...
~ < )и +>(х>)! (см. п. 61.1). В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположиттяьный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараю>:- ся найти (подобрать) положите. льный ряц с большими членами (обьвь но это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. И в качестве оценки )г„(х>)~ берут величину остатка зто>.о нового ряда. Пример 66.1. Найти зш 1 с точностью до 0,001.
(„) Решение: Согласнс> формуле (64.5), 13+ 15 ( 1)аь> Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить с>амостоятельно). Так как — > 0,008(3) > 0,001, а — > ы 0,0002 < 0,001, то для нахождения 1 з)п 1 с точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых> 1. 1 вш1 — ! — — + — = 0 842.
3! 5! Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член (т.е. меныпе, чем 0,0002). Вычисленное микрокалькулятором значение в!и 1 примерно равно 0,84147. Ф Пример 66.2. Вычислить число е с точностью до 0,001. (,) Решение: Подставляя х = 1 в формулу (64.4), получим: 1 1 1 с=1+ — + — +...+ — +... 1! 2! и,! Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем п слагаемых и оцс, ннм ошибку га(х)> 1 1 г„(х) = + + — — +...= (и+1)! (и+2)! (и+3)> 1 ( 1 1 1+ — + + < (и,+1)! 1, и+2 (и+2)(п+3) ' '/ („„),~( .— „,„„,, /-(„„)Ф ° )- —., „.- т.
е. > а(т) < —. Остается подобрать наименьшее натуральное число 1 и! . и н., чтобы выполнялось неравенство —, < 0,001. 1 Нетрудно вычислить, 'гго это неравенство выло.лияется при а > 6. Поэтому имеем: 1 1 1 1 1 517 е се 1+ 1+ — + — + — + — + — = 2 се 2,718. 2! 3! 4! 5! 6! 720 Замечание. Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена ! ~ + > ) ( с ) !1(х>) — 5„(х>)/ = )й (х>)! = ес где с находится межву 0 и х>. В последнем примере сс (1) = ( — -~>, О<с<1.Таккаке" <е'<З,тоВ(1)< 3 .Прии=бимс2>м: (и + 1)Г Л~(1) < 7, < 0,001, е ш 1 + 1 + 2> + + 6' ш 2,718.
б5.2. Приближенное вычисление определенных интегралов Бесконечные ряды примепя>отея также для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда нервообрвзная не выражается в конечном виде через элементарные функции (см. 3 34) либо нахождение первообразной сложно. Ь Пусть требуется вычислить (,) (х) 6х с точностью до е > О. Если а подьштегральную функции> 7(х) можно разложить в ряп по степеням х и интервал сходимостн ( — Й; тс) включит в себя отрезок (а; с>), то для вычисления заданного ннтстрвла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют гак же, как и при вычислении значений функций.
1 4 2 Пример 6а.а. Вычислить интеграл / е 2 с!х с пшностью до е = 0,001. а с„) Решение: Разложим подынтегральпую функцию в ряд Маклорена, заменяя т па ( — х~) в формуле (64.4): х х х е * = 1 — — + — — — +..., х е ( — оо; оо). (65.1) 1! 2! 3! 472 о о х — —,+ 1 — —,+... дх= Я 7 1 1 1 + 1! 3 - 42 2! 5 42 3! 7 47 до = у(х; д! д'), (65.2) с! с !С~*=в.
= до, д 1*=.. = до. (65.3) — 22 е * дх т — — = 0,245. 4 192 о 474 Интегрируя обе части равенства (65.1) на отрезке [О! — 1, лежащем вну , 1! три интервала сходимости ( — со; со), получим: Получили ряд лейбницевского типа. Так квк —; — з —— 0,0052... > 1 1'. 3 4~ > 0,001, а —; — 1 — х ( 0,001, то с точностью до 0,001 имеем: 2! 5.4 Замечание. Первообразную Г(х) для функции Дх) = е * легко найти в виде степеяного ряда, проинтегрировав равенство (65.1) в пределах от 0 до х: с. * / 42 Х4 Г( с = С' ' й = ! (с — —,', — „—,.)а = о о хз хз — — + — — — +..., х Е ( — оо' со). П - 3 2! 5 3! - 7 2 г Функции Дх) = — 7 — е 2 и Г(х) = / Дс)сй играют очень важъ'2~г о ную роль в теории вероятностей.
Первая — илотиноггиь стандартного распределения всроятиносгией, вторая — !5днкс!ил Лапласа Г(х) = — 2 —,— ( е 2 сй (иии интеграл веролтнотивй). Мы получили, что у'юг с о функция Лапласа представляется рядом 3 6 х7 Г(х) = — ~х — — + и72з.~, 2 3 22! 5 22 3! 7 который сходится на всей числовой оси. 65.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений Ес.ли решение дифференпиального уравнения пе выражается чесв.з элементарные функции в конечном виде или способ его решения .лвпжом сложен, то для приближенного решения уравнения можно в<юпользовагься рядом Тейлора.
Познакомимся с двумя способамв решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Пусть, например, требуется решить уравнение удовлетворяющее начальным условиям Способ последовательного дифференцирования Решение д = д(х) уравнения (65.2) ищем в виде ряда Тейлора: д — д(хо) + , (* хо) + (х — хо) + - " д (хо) д (хо) , 2 д! >( ) + при этом первые два коэффициента находим из начальных условий (65.3). Подставив в уравнение (65.2) значения х = хо, д = до, д' = до, находим третий коэффициент: до(хо) = )'(хсс, до; дос). Значения д'о(хо),д1~)(хо),... находим путем последовательного дифференцирования уравнения (65.2) по х и вычисления производных при т = хо. Найдессссые значения производных (коэффициентов) подставляем в равенство (65.4). Ряд (65.4) представляет искомое. частное решение уравнения (65.2) для тех значений х, при которых он сходится.
Частичная сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального уравнения (65.2). Рассмотренспяй способ применим и для построения общего решения уравнения (65.2), если до и д„' рассматривать как произвольные постоянные. Способ последовательного диффересщирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка. 1Хриснер 65.4. Методом последовательного дифференцирования найти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнении дв = 22+ дг, д( — 1) = 2, д'( — 1) = 1. ( 1 Ро«««ен««е: Будем ««скн«ъ рспкние уравнения в виде ! «! о! р=у(-Ц+ 1« -( + )+, ( + )з+ 3, ( + )з+". Здесь у( — Ц = 2, у'( — Ц = —. Находим у" ( — Ц, подставив х = — 1 в ис- ходнос уравнение: у" (-Ц = ( — Цз + 2з = 5.
Для нахождения последу- ю«цих козффипиентов диффсренцируем зэдшп«ое дифференпиальноо уравнен««е« у«п = 2х + 2уу', 2, 2(у!)з, 2ру«! «з)4«н+2«о 2«об«и+2 о! При х = — 1 имеем: у"'( — Ц = — 2+ Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, полу- чим: 1 5 15 1 у= 2+ — ( +Ц+ — ( '+Ц + — ( + Ц'+ — ( «+Цо+- 2 2 16 8 Способ неопределенных коэффициентов Этот способ приближенного резво««ия наиболее удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с псременнымв коэффициентами.
Пусть, например, требуется решить уравнение у" + р«(х)у' +р (т)у = Лх) с начальными условиями у(хо) = уо, у'(хо) =- у„'. Предполагая, что коэффициенты р«(х), рз(х) и свободный член Г"(х) разлагаются в ряды по степеням х — хо, сходшциеся в некотором интервале (хо — В; хо + Л), искомое решение у = у(х) ищем в виде степешюго ряда р= со+с«(х — хо)+сз(х — хо)з+...+е„(х — хо)" + " (656) с неопределенными коэффициентами. Коэффиц««е««ты со и с«определяются при помощи начальнь«х усло! вий со = уо е« = уо.
у«~)( — Ц= 2+ 2 урп(-ц =6--' 2 1 2.2 — = О 2 1 — +2 ° 2 ° 5 = 22,5, 4 5+2-2.0 = 15, из которо«о методом неопределенных коэффициентов стакицис коэффициенты. Построенный ряд (65.6) сходю интервале (хо — В; хо + )1) и служит решением уравнени ) Пр«ь мер 65.5. Найти решение уравнения уп + ху' + у = х соз т, у(0) = О, у'(0) = 1, используя метод неопределенных коэффициентов. «1 Решение: Разложим коэффициенты уравнения в степенные р«(х) = х, р = 1, г г (х) = х соз х = х 1 — — + — —... 2«4! Ищем решение уравнения в ниде ряда р = со+ с«х+ егх + езх + ... ряды: Тогда у' = е«+ 2сзх+Зезтз + 4езхз +..., у" = 2сз + 2 3 ° сзт + 3 ° 4 с«хз +...
Из начальных условий находим: со = О, е« = 1. Подставляем получен- ные ряды в дифференциальное уравнение: (2сз+2 3 езх+3 ° 4.езх~+...)+х(с«+2езх+Зезх~+4езх~+...)+ з хз т«з хо +(со+с«х+ х +езх +...) =х 1 — — + — ' — — +... 2! 4! 6! Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях зл хо: 2сз=О, х««2.3 ° ез+2= 1„ хз «3 4 ° с«+2ег+сз =О, 1 х: 4. 5 ее + Зез + сз = — —, з.
5 6 ° ео + 4сз + с« — — О, Отсюда находим, что ез — — с« = со = ... = О, ез = — — «, сз с« — — —,... Таким образом, получаем решение уравнения в виде 1 7!'" хз х хт р=х — — + — — — +..., 3« 5« 7« т, е. у = з«пхо Для нахождения последующих коэффицие«ггов дифференцируем ряд (65.6) два раза (каков порядок уравнения) и подставляем выражения для функции у и се производных в уравнение (65.5), заменив в ием р«(х), рз(х), )«(х) их разложениями. В результате папучаем тождество, находим недо«тся в том жс. я (65.5). ь+т ь+т .+т (66. 1)' О другой стороны ь а;ьт 479 Глава ХН. РЯДЫ ФУРЬЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
