Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Исследовать сходнмость функционального ряда ~-~ зщп х п.в ь=! (,5 Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда: з>пх~ пп2>х з>пп х + г + ... + . + ... (62.2) Так как при любом х е К имеет место соотношение ~ — г — < — т, а ряд с общим членом — ~ сходится (обобщенный гармонический ряд, 1 и р = 2 > 1, см. и. 60.4), то по признаку сравнения ряд (62.2) сходится при х е Я.
Следовательно, исхолный ряд абсолютно сходится при всех х е й = ( — оо:, +со). Ф Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях осо бую роль играет ряд, членами которогс> явлшотся степенные функ ции аргумента х, т.е. так называемый спгепенной ряд а„х" = ао + а> х + аз х +... + а.„х" +... (62.3) я=о Р Действительные (или комплексные) числа ао, а>, аг,..., а„,... на-' зываются ноэффициенпю>ии ряда (62.3), х Е й — действительная переменная. Ряд (62.3) расположен по степеням х. Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням (х — хо), т.
е. ряд вида ~ая(х — хо)" =ао+а>(г — хо)+.. +а„(х — хо)" +. (624) в=о где хо — некоторое постоянное число. Рял (62.4) легко приводится к вцду (62.3), если положить х — хо —— ю Поэтому при изучении степенных рядов можем ограничиться степенными рядами вила (62.3). 3 бЗ. СХОДИМОСТЬ СТЕПЕННЬИ РЯДОВ Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (62.3). Область схолимости степенного ряда (62.3) солержит по крайн мере одну точку: х = 0 (ряд (62.4) сходится в точке х = хо).
б3.1. Теорема Н. Абеля Об области сходимости степенного раца можно судить, исходя из следующей теоремы. Ц По условию ряд 2 та„х," ,сходится. Следовательно, по необходимои=о му признаку сходимости !пп а„хо = О. Отсюда следует, что величина а„х,", ограничена, к е. найдется такое число М > О, что для всех и выполняется неравенство )анхо~ < М, и = 0,1,2,... Пусть |х! < )хо), тогда величина 9 = ~ х ~ < 1 и, следовательно, >хо х'" = )а„х") ° — „< М 4", п =0,1,2, т. е. модуль каждого члена ряда (62.3) не превосходит с<к>тветствующего члена сходящегося (д < 1) ряда иж>метрической прогрессии.
Поэтому по признаку сравнения при ~х) < )хо! рял (62.3) абсолютно сходящийся. Следствие 63.1. Если ряд (б2.3) расходится при х = х>, то он рас- ходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству ~х! > 1х>1 ( 5 Действительно, если щ>пустить сходимость ряда в точке хг, для которой (хг! > ~х> ~, то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, для которых )х) < )хг(, и, в частносги, в точке х>, что п1к>тиворечит условию.
б3.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда Из теоремы Абеля следует, что если хо ф 0 есть точка сходимости степенного ряда, то интервал ( — ~хо~; )хо О весь состоит из точек сходимосги данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала ряд (62.3) расходится. и р>щ сходится >т ряд расходится .
(хо('" О )х»~ рял расходятся Рис. 259 ц Интервал (-~хо~;~хо!) и называк>т интпераалом сходимостпи степенного ряда. положив )хо( = >т, интервал схолимости можно записать в виде ( — Л; Й). Число Й нвзывак>т радиусом сходимостпи степенного ряда, т. е. 1> > 0 -- это такое число, что при всех х, для которых )х~ < В, ряд (62.3) абсолютно схо>п>тся, а при Ц»т р»д расходится (см.
рис. 259). 458 459 В частности, когда ряд (62.3) сходится лишь в одной точке хе = О, го считаем, что В = О. Если же ряд (62.3) сходится при всех значениях х 6 Е (т. е. во всех точках числовой оси), то считаем, что В = со. Отметим, что яа концах интервала сходимости (т.
е. при х = В н при х = — В) сходвмость ряда проверяется в каждом случае отдельно. Для нахождения радиуса сходимости сгепеняого ряда (62.3) можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда ]аз] + ]О1 Х] + ]агг 2] +... + ]Оия»»] + и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует п дел п+1] )пп — = 1пп~ — п ~=]х]- !пп~ — ' фО, хфО.
и +1], ]аиь»Х ] . ]а, Е1 -» о и„~ -+ ~ аихи ~ -»~ аи По признаку Даламбера ряд сходится, если ]х] йт ] — нт-'] < 1, т. е. п — »со ~ Оп ряд сходится при тех значениях х, для которых (НП ] — "-2» ] и. »ос ) а,+1 ~' » а ряд, составленный из модулей членов ряда (62.3), расходится при тех значениях х, для которых ]х] > !ш1 ] — в — ~. Таким образом, для ряи- »со ! Ои.~.1 да (62.3) радиус абсолютной сходимости (63.1) Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно установить, что В=. 1 !пп ~/]аи] (63. ) 460 Замечания. 1.
Если )пп ] — "' ' ~ = О, то можно убедиться, что ряд (62.3) або — »со! Ои соли»тно сходится па всей числовой оси. В этом случае В = оо. Если 1шг ] — нтг ~ = оо, то В = О. и »со\ Ои 2. Интервал сходимости степенного рцца (62.4) находят из неравенства]х — хе] < В; имеет вид (хе — В;хе+В) 1 3. Если степенной ряд содержит не все степени х, т. е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости (формулы (63.1) и (63.2)), а пепогредствешю применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.
хи Пример 63.1. Найти область сходимости ряда ~„— 1. и=0 (,3 Решение: Воспользуемся формулой (63.1): — (п+1)! В= йпг "' ~ = !пп, ' = 1пп (и+ 1) = оо. и — »оо и — »со 'О! п — »оо ! п+н) Следовательно, данный ряд абсолютно сходится ва всей числовой оси.
Пример 63.2. Найти область сходимг»сти ряда 3 3,7 .2и-1 (,! Рехпение» Заданный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем: ],2п — 1] ],гп+1] ]и ! =,, ]ив+ 1 сс ]и„+1~, ]х и+ ] (2и — 1), 2п — 1 -ъ ] ип ] -» (2и+1) ]хги '] * 2и+1 Ряд абсолютно сходится, если хг < 1 или — 1 < х < 1.
Исслццуем поведение ряда на концах гпгтерввла сходимости. При х = — 1 имеем ряд — 1 + — — — + — — ..., который сходится по 1 1 1 3 5 7 признаку Лейбница. При х = 1 имеем ряд +1 — — + — — — +... — это тоже сходящий- 1 1 1 3 5 7 ся лейбпицевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда является отрезок ( — 1; 1]. Пример 63.Я. Найти область сходимости рцца (х + 2)" и. 2и п=1 О Решение: Находим радиус сходимости ряда по формуле (63.1): 1 1, (я+1) 2и В= йш = !пп „, =2. -» ]и 2" 1 (и+1)-2 ! пас и-2и Следовательно, ряд сходится при — 2 < х + 2 < 2, т. е.
при — 4 < х < О. При х = — 4 имеем ряд =2 ~с ( — 1) сс=с в=с который сходится по признаку Лейбница. При х = О имеем расходшцийся ряд Следовасельссо, областью сходимости исходного ряда является полуотрезок [ — 4; 0). б3.3.
Свойства степенных рядов Сформулируем без доказательства основные сеоасспва степенных рядов. ф 1. Сумма В(х) степеннос о ряда (62.3) является непрерывной функцией в интервале сходимости ( — В; В). ф 2. Степенные ряды 2 а„х" и 2 Ь„х", имеющие радиусы сходив=о ь=-о мости соответственно Вс и Вг, можно почлевно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел Вс и Вг. 3.
Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда Я(х) = ао + ос х + агаР + агхг +... + а„т" +...— (63.3) при — В < х < В выполняется равенство о'(х) = ос+ 2агх+Загхг+...+и а х '+... (63.4) 4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда (63.3) прв — В < а < х < В выполняется равенство (см. замечание 1, с. 416) г к х г и ( з(1) с)с = / ао с1!+ / ас1сй+ / агР си +...
+ / ао1' с)с+... (635) и О а н н Ряды (63.4) и (63.5) именгг тот же радиус сходнмости, что и исходный ссепенной ряд. Перечисленные свойства 1 4 остшотся справедливыми и для степенных рядов вида (62.4) . Свойства степенных рядов широко использунтгся в теоретических исследованиях и в приближенных вычислениях. 3 б4. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ б4.1. Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь даннусо функцию 1(х) разлагать в степенной ряд, т. е.
функцию 1(х) представлять в виде суммы степенного рипа. Как известно (см. теорема 26.1), для любой функции с'(х), определенной в окрестности точки хо и имеющей в ней производные до (а + 1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора: ~с(х ) сс (*о! Йх) =Х(хо)+, (х-хо)+ (х-хо)'+.-.
х!"'(* ) -.+~ (, )(х — ) +В„( ), (64. ) ,!.+с!„,) где В„(х) = — ' (х — хо)"+, с б (хо, х), — остаточный член в (и+ 1)! форме Лагранжа. Число с можно записать в виде с = хо+ 6(х — хо), где 0 < д < 1. Формулу (64.1) кратко можно записать в виде где Р„.(х) = У(хо)+ '', (х — хо) +... + ! ' (х — хо) многочлен Тейлора. Если функция с(х) имеет производные любых порядков (т. е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки хо и остаточный член В„(х) стремится к нулю при и -+ си ( йгп В„(х) = 0)„то из формулы сс — +ьь Тейлора получается разложение функции с(х) по степеням (х — хо), называемое рядолс Те лора: хо) (х хо) . (64.2) Если в ряде Тейлора положить то = О, то получим разложение функции по степеням х в так называемый ряд Маклорена: (64.3) Отметим, что ряд Тейлора можно формальнс> построить для лсобой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в г(х) е *, еслихфО, О, еслих=О (х — хе) = М ° !пп и-+со (и + 1)! Следовательно, Ип> В„(х) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
