Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 63
Текст из файла (страница 63)
22 1 зк = — Йв ~ ~ — вш 21) ° — ° (1 — сов 22)йГ = — — ° / япх 21 гй+ l Ь ) '2' 8 ' о а 2х 2л й. 7.2 В г Пв ~е + — ~ вш 22соз22йг =- — — ! (1 — сов42)йх+О= — — 2з = — —. 16 / 16 8 о б) По формуле Стокса (58.13) находим: 1 = О(0 — О) йугЬ+ (Π— 0) йхйх+ (Π— Зххуз) йхг1у = = — ЗЦх,"у'йтйу= — З О~иву'й*йу в О Переходя к полярным координатам, получаем: юг н 1 = — 3 ~~ тв в!пх д совз~!рйт сЪр = — 3 ~ в!ггх !2 совх ~р гйр / тв йт =. О о о в 8 2 l лв — вшх 2гр й!р = — -й — (1 — сов 4гр) йгр = о 11в ~2л хтг .д~ +О=- —. 16' ~.
8' 58.5. Некоторые приложения поверхностного интеграла 11 рода С помощью поверхностного интеграла П рода можно найти объем тела, огрзниченггого сверху поверхностью Ях (х = хз(х; у)), снизу— поверхностью Яг (х = хг (к; у)), сбоку — цилиндрической поверхностью Яв, образующие которой параллельны оси Ох: $« = — Ц хйуйх+ угЬйк+хгЬйу, 1 г~ (58.14) 3 в где Я = Яг + Я2 + ЯвДсйствительно, положив в формуле, Остроградского — Гаусса (58.9) Р(кз у; х) = т, 9В(к; у; «) = О, В(з; у; х) = О, находим: Цзг(уйх = Е йхйуйх, т.е.
1«= фзйуйх. (58.15) в Аналогично, полагая Р = О, г„"г = д, 71 = О, находим еще одну ф д нахождения обьема тела с помощью поверхностного информулу тя теграла П рода: (58.16) третью грормуггу Гг ! ' = )'в х йийу, (58.17) в выражающую обьем тела через поверхностный интеграл П рода. Сложив почленно равенства (58.15) -(58.17) и разделив на три, получим формулу (58.14). Другие применения поверхностного интеграла П рода рассмотрим в главе ХЛ «Элементы теории поля». 1) ~1 1) 1 1 1 Глава Х! П.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ ~59. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 59.1. Основные понятия ! ОО 5. Ряд с игг+1~ ! 1 '51= — =:1 — —, 1.2 2' 1 1 Ьз ОΠ— + — = (1 1 2 2 ° 3 сходгпся. Действительно, Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.
Д и меловым рядом (или просто рядом) называется выражение г711 вида и„= и1+ аз+... +и„+ ...„(59. О=1 где пг, пз,..., и„,... — действительные или комплексные числа назы- 1 ваемые членами уляда, и - — абп1им членом ряда. Р яд (59. 1) считается заданным, если известен общий член ряда и„, выраженный как функция гго номера и: и„= 7'(и). Д Сумма первых и членов ряда (59.1) называется и-й часгимчиой суммой ряда и обозначается через Ь'„, т.
е. Ь = и1+из+. "+и„. Рассмотрим частичные суммы 1 3 Ьз и1 +из+из Если существует конечный предел Ь = Ип1 Ья последовательн Я Если И вЂ” ~ОО сти частичных сумм ряда (59.1), то зтот предел называют су ряда (59.1) и говорят; что ряд сшодится. Записывают: Ь' = 2 и„. О=1 Если Ип1 Ь„но сущсствуег или Ип1 Ь'„= оо, то ряд (59.1) на вают расшодяп1ммса Такой ряд суммы не имеет. Рассмотрим примеры.
1. Ряд 2 + 17 — 3 — + 196+ ... нельзя считать заданным, а р 1 5 2+ о+ 8+... — можно: его общий член задается формулой и = Зи— 2. Ряд 0 + О + 0 +... + 0 +... сходится, его сумма равна О. 3. Ряд 1+ 1+ 1+... + 1+... расходится, Ь„= и — ~ оо при и — г оо. 4.Р 1 — 1 яд — +1 — 1+1 — 1+... расходится, так как последовательность частичных сумм 1,0,1,0,1,0,... (Ь1 = 1,Ьз — — О,Яз = 1,...) не имеет предела.
Следовательно, ~ си„ = са1 + сиз + ... + си„ + .. О=1 (59.2) где с . —. произвольное число, также сходится и его сумма равна сЬЬ Если же ряд (59.1) расходится и с ф О, то и ряд (59.2) расходится. Д Обозначим и.-ю частичную сумму ряда (59.2)через „" .. "д , Ь'~ ~. Тот а Ь~"~ = си1 + сиз +... + си„= с(и1 + из +... + и„) = с Следовательно, И Ь(О) 11ш сЬ" — с. Ищ Ь'„= с о, и-+ОО (59 2) однгся и имеет сумму сБ. Покажем телерь, что если ря,д (59 ) (592), „„я допустим прети нос-ряд(59 2) сходи сумму Я1. ТогДа И цЮ вЂ” Игп сЬ'„= с Ип! Ь" . 1 П О ~ОО И-ФОО Отсюда полУчаем Иш 5„= — ~ Ь"1 с т.
е. ряд (1- . е. ряд (59.1) сходится что противоречит условию о расхсдимости ряда (59.1). 1 аппп ь'„1щг (1 ) .+ 1 и+1 т. с. ряд сходится, его сумма равна 1. Рассмотрим некоторые важные свойства рядов. Сеойсзиео А Если ряд (59.1) сходится и его сумма равна 8, то ряд (59.3) (59.4) Сввйссиво 3. Если сходится ряд (59.1) и сходится ряд и„, Р =Ъ а их суммы равны Я> и Яг соответственно, то сходятся и ряды 2 (и„л о„), добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (59.1) и ого остаток (59.5) одновременно сходятся или расходятся.
Ф Из свойства 3 также следует, что если ряд (59 1) сходится, то его остаток г„=. Я вЂ” Я„= и„ь> + и„.ьз + ... стремится к нулю при и-2 оо, т.е. 1пп г„= О. в-+сО 59.2. Ряд геометрической прогрессии при ем сумма кглсдого равна сс>ответе, я + Ь (,.4 Обозначим и-е частичные суммы рядов (59.1), (59.3) и (59.4) через с(в) .(г) Яв, Ь;, и Я„соответственно. Тогда 1пп Я„= 11>п (Ясв) х. Яс")) = йш ф') х 1пп Яс') = Я х. Я в=в, й "и = в 1 в = 1 Ъ т.
е. каждый из рядов (59.4) сходится, и сумма его равна Я> х Яг соот ветственпо. Ф ф Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийсл ряд. В справедливости этого утверждения можно убедиться методом о' противного. за,метим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходя>нимся рядом.
Свойство 8. Если к ряду (59.1) прибавить (или отбрс>сить) конеч ное число членов, то полученный ряд и ряд (59.1) сходятся или расхс дятся одновременно. (.4 Обозначим через Я сумму отброшенных членов, через Й вЂ” наиболь ший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию вставших ся членов ряда (59.1), будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули.
Тогда при и > й будет выполняться равенство Яв — Ь,', = Ь, где Яч, — это п-л частичная сумма ряда, полученного из ряда (59.1) путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому 1пп Я„=. Я+ 1пп Я,',. Отсюда следует, что пределы в левой и правой в->сю в.>х частях одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (59.1) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятсл (расходят-, ся) ряды без конечного числа его членов.
Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов. ° ' Р О> яц и„+1+иявз+-., = (59.5) й=.и+1 называется и-м вшпвтквм улда (59.1). Он получается из ряда (59.1) отбрасыванием с> первых его членов. Ряд (59.1) получаетсл из остатка Исследуем сходимость ряда а + аС) + ад~ + ... + ас)" ' + ... (а ~ О), (59.6) который наш шается рядом геометрической прогрессии. Ряд (59.6) часто используется при исследовании рядов на сходимость. Как известно, сумма первых и членов прогрессии находится по формуле Я„= ', с) ф 1.
Найдем предел этой суммы: а(1 — с«" ) « — д а(1 — 9") а , д" 1пп Я„= 1пп = — — а 1пп— в — >св в — >с > 1 — С) 1 — >«в — >~ю 1 — с) Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины >«: 1. Если ~С)~ < 1, то с> — > О щ>и и — > оо. Поэтому 1пп Я,„= ряд (59.6) сходится, его сумма равна —" 2. Если ~9~ > 1, то >«" — > оо пря и — > оо. Поэтому !пп Я„= оо, рлд (59.6) расходится; Ы = 1, то пРи д = 1 ряд (59 6) прини а а+ а+ а+ - + а+, для него Ь'„= и в, и 1пп Ь'„= оо, т. е.
рлд (59. ) (г9 6) в — >в> расходится; при >« = — 1 ряд (59.6) принимает вид а — а + а — а +... в этом случае Я„=- О при четном и, и Я„= а при нечетном п,. Следовательно, 1пп Я„не существует, ряд (59.6) расходится. Я Итак, ряд геометрической прогрессии сходится при ~с)~ < 1 и расходисся при )д( > 1. Промер 59.1. Показать; что ряд 2 + 2 + 2+ — +... + —;;-т +...
3 2 1 1 сходится. С 1 Ре>пение> Данный ряд можно переписать так> з 1 з 1 з 2з «+2з +21 + +2з + 2 22 2" Как видно, он представлжт собой рлд геометрической прогрессии с а = 2з и >« = — < 1. Этот ряд сходится согласно свойству 1 числовых рядов. 44« 1 1 — + ... + — + 4 и )59.7) п.1п(1+ — ) < 1, 1 > )п )ц + 1) — 1и и.
п 59.3. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд Нахождение и-й частичной суммы Яи и ее предела для произвольного ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сяодимости. Первым из ннх, как правило, являетгл необходимый признак сходимости.
Ц Пусть ряд )59.1) сходится и йгп Яи со Я. Хогда и )пп Я„..г = с>' )при и, — > оо и )и — 1) — > оо). Учитывая, что ии ос ߄— Яи г при и > 1, получаем: 1)ш ии со 1пп )Яи — Яи г) = йгп Яи — 1пп Яи г = Б — Я = О. ° >1 — >со и — >ос и >со и >со ) ) Действительно, если бы ряд сходился„то )по теореме) 1пп ии со О. Р, Но это противоречит условию. Значит, ряд расходятся. Пример Ы.Я.
Исследовать сходимость ряда 2 )~ Решение: Ряд 2 —, расходится, т. к. Зп — 2 5 Зп — 2 1пп ииос )пп — =ЗфО, 5 т. е. выполняется достаточное условие расходимости ряда. Пример 59.8. Исследовать сходимость ряда ( 1) ( 2) ( и) (,) Решение: Данный ряд расходится, т, к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
