Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 58
Текст из файла (страница 58)
ХХример 54.В. Вычислить Я- 4*'йз г 1 + (х2 + у2 + 22)2 где 1' — шар х2 + у2 + 22 С 1. (3 Решение: Вычислим интеграл путем перехода к сферическим к дннатам: х =- рсозгрзпгВ, у = ряп рзупВ, 2 = рсо46. Тогда гпг = гухйу«г«х = ртяпВдрйрВВ. Граница области Ъ' — сфера и ее уравнение имеет вид р = 1, подьпг грзльная функция после замены переменных примет вид —, 2 1+ (рз)' т.
е. — т. 11овые переменные изменяются в слезуюших пределах: р 1 1+у от О до 1„гр -- ог О до 2гг,  — от О до гг. Таким образом, согласно фо муле (54.6), 1 2 2 1=Ц~ ..р япуг1рйгргУВ=- ~япуаВ / йр (' г(р= и о о о з 1 3 2х = ~з1пдг(д (' йр( — 1п~1+рз~) ~ = / япугуВ ~ — 1п2йр = о а о о 1 г", 2 22я =- — 1п2 / япуйВ гр = — 1п2 ~зпгВг«В = о 2я и 4я = — 1п 2( — соя В) ~ = — 1п 2. з 1.
з 54.4. Некоторые приложения тройного интеграла Объем тела Объем области )г выражается формулой Ъ" = Я г1з нли 1' = Я йх йуг12 — в декартовых координатах, УГ = Я т йт йр г12 в цнлиццрических координатах, 1' = Я р2 зшВг(рйрйу — в сферических координатах. Масса тела Масса тела ьч при заланг2ой объемной пзютвости у вычисляется с ггомонШю тройного интеграла как , =- Яу(х;у;х) йхйуВ, где у(х; у; 2) — объемная плотность распределения массы в точке м(х; у; 2). Статические моменты Моменты о' „, Я„,, Я„, тела относителыю координатных плоско- стой Оху, Охх, Оух вычисляются по формулам о „= Я2. у(х;у;2)г(в, оз, — — Ях у(х;у;2)дн, Я„= ~Цу .у(х;у;2)йш Центр тяжести тела Координаты центра тяжести тела Ъ" находятся по формулам Яр, 9„5,2 Хс — ~ Ус — г зев ьч т Пг Моменты инерции тела Моменты инерции тела относительно координапгых гглоскосчей вычисляются по формулам Х =Я2 -у(:у;2)йи, Х„,=Ях -"«( у з)г1 Х = Ц~ у .
у(х; у; 2) г(з, а моменты инерции относительно координатных осей: Е, = Я(у2 + 22) . у(х; у1 я) гуз, Х„= Я(х~ + 2~) - у(х; уг з) йгг, =Я('+ ') (' ') ° ХХример В4.4. Найти объем тела, ограниченного поверхностями з=х +утих=1. в» ! ! о о Рис. 231 Рис. 232 и у(х;у;в) = »З7ю* ~*» с ! ра еносверхупл. параболоидом в = х~+у~ (см. рис.
231). Объем тела находим, использу цилиндрические координаты: '=П1' ."=-1" 1™1" = Ъ о о »ь в» ! 2» 1 Х !2 4) 4 ~ 2 ХХуимер о4.5. Найти массу шара хв + ув + вв < 2йв, если пл ность в каждой точке !пара обратно пропорциональна расстоянию нее до начала координат (дополнительно: найти координаты центр тяжести) . !,В Решение! Уравнение сферы хв + ув + вв = 2йх можно записать так; хв + ув + (в — й)в = йт. Центр шара расположен в точке Ог(О; О; й) (см.
рис. 232). Пусть М(х; у; в) — произвольная точка шара. Тогда, по условию, плотность 2 определяется формулой ~ — ° ЬЬ т ю е ° ° ~ »т»Г!++*' — ь ние от точки М до начала координат. и, = (((~!!р;,и,=Я~т+,— ть !' и Вычислять интеграл будем в сферических координатах. Уравнение сферы х + у + вв = 2йв примет вид р~ = 2йр ° сов д, т. е. р = 2йсов о. -~ ™ич Н отгону сфчрич сфчрические координаты будут изменяться в следующих прел!шах! р — от до сов; О 2й .
о 0--. от О до к; !Р— от О до2и. Подынте- 2' »рвльнвя фу функция примиг вид =' = ~. Позтому !/Рз Р 2 $ тн»ги о = Ц/'-". р'сййпддр<йрсй = й ~ сйр ~ вшу "й / Р(Р = 24! Р о о 2» Ол 2 ~ д / в~уй~. — 4йв осев 0 = — 2й~а ~ йр / сов о!!(ссео) = о о о о = — 2йй гур.— 2й й ( З) ~ ~Р 3 'Р~ 3™' !о о И соображений симметрии следует, !го х, —, у,— = О = О; вычислив з 4 — с(н, найдем вь =- — „й. Итак, координа! ,4 ты центра тяжести (О; О; — й).
(55.2) (55.1 г —.-1 Рнс. 233 402 Глава ХП. КРИ ВОЛИ Н ЕЙ Н ЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Обоб ен щ ием определенного интсграе ° тегрирования есть нек чанаслучай ког линейный интеграл. некоторая кривая явл т, да область иа р, является так называемый криво й 55. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 РОДА 55.1. Основные понятия Пусть на плоскости Оху задана неп .
ь П сть ' . а непрерывная кривая АВ (или 1 ) ассмотрим непрерывную функцию х", функцию /(х; у), определенную я = В на и произвольных дуг М;,гМ; с и . точку (хб у;) и составим сумму ы рем на каждой ге М- ду е М; 1Мг произвольную и ~~' ./'(хбуг)А/г. Ее называют ингпеграеьноб с ммвб воб АВ. но суммоб для функции )'(х;у) по криПусть Л = щах Ы, — — наибольшая —, — — нан пьшая из длин дуг деления. Если при Л вЂ” ь О (тогда и -+ оо) с ществ ),уществуст конечный предел интсгр нтсгральных 1 мм (55.1), то его называют криволинебпим интаегралом огп функции /(х;у) по длине кривоб АВ (или 1 рода) и обозначают ~ 1(х„у) гИ (или / йх; у) д/)- / Таким образом, по определению, Условие существования криволинейного интеграла 1 рода (существования предела интегральной суммы (55.1) прн п -+ оо (Л -+ О)) представляет следующая теорема, которую мы приводим здесь без доказкгольства.
Теорема 55.1. Если функция 1(х;у) непрерывна в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке (х:,у) Е В существует касательная к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл 1 рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них. ! Аналогичным образом вводится понятие криволинейного ннтеграф ласт функции 1(х;у;г) по пространственной кривой 1,.
Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги (1 рода). 1. / 1(х; у) гИ = / 1(х; у) гИ, т. е. криволинейный интеграл 1 ро- лп вл да не зависит от направления пути интегрирования. 2. / с 1'(х; у) г/1 = с . / /'(ге; у) г/1, с = сопзк 3. ~(~г(х; у) х /г(х;у)) ей = ~ /1(х у)г//х ~ Я(х у) гИ. у ~ х у И /' т( . у),И если путь интегрирсеа- ь ь1 ьх ния 5 разбит на части 1ч и Вг такие, что 5 = 7ч ( ) Вг и Вг и Вг имеют единственную общую точку. (55.6) 1 ) И = / у(гсовсд;гоша) .
~lг + го Рнс. 234 уив~ сто 0 ~( сс ~( 2 ссолу ~нем 7Г (сов со+ йп ср) Йр = 2. ° о 405 404 5. Если для точек кривой В выполнено неравенство Ях;у) ( ( К(х; р), то / 1с(х; у) сИ ( / ув(х; у) сй. с, Ъ ь Е тес = 1, сде 1 — — днисса кршюй .4В. лн (л-+ос с=с 7.
Если функция Дх; у) непрерывна на кривой АВ, то на этой кр вой найдется точка (х,; у,) такая, что / 1(х; у) сИ = 1(хг;у,) ° 1 ( рема о среднем). 55.2. Вычисление криволинейного интеграла ! рода Вычисление криволинейного интеграла 1 рода может быть сведе к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательст правила вычисления криволинейного интесрала 1 рода в случаях ес кривая 1 задана параметрическим, полярным и явным образом. Параметрическое представление кривой интегрирования Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = х(Ф у = у(г), г е (а;Д, где х(4) и у(!) — — непрерывно дифференцируем функции параметра с, причем точке А соответствует Г = сс, точке В .
значение г = су, то ~ х("с'~ФВ \ угу Й. о5з Ан Х Аналогичная формула имеет место для криволинейного интеграла от функции Дх„. у; г) по пространственной кривой АВ, задаваемой' уравнениями т = х(1), у = у(с), в = в(4), а < с ( д': в У(х;у;в)сИ=/ 1(х(1)'уЯ в(1)).~/х" +у~ +в~'сй (55.4) хн а Явное представление кривой интегрирования Если кривая АВ задана уравнением у = сд(х), х с (а; Ь), где ~р(х)— нопрерывно дифферепцируемая функция, то У(х; )сИ = / У(х.
( )), /1+уз'с(, (555) Ан о Подынтегрвльное выражение в правой части формулы (55.5) получается заменой в левой части у = сд(х) н й = ф + ув дх (дифференцивл дуги кривой — см. п. 41.3). Пример ББ.М. Вычислить / хув сй, где 1, — отрезок прямой м жду точками О(0; О) и А(4; 3). ~) Ре,пение: уравнение пр~мой ОА есть у 4 ' — Зх 0 < т < 4. Соглас формуле (55.5), имеем: (3 )' (, (~)*,, ),, ь =45. с, о о Полярное представление кривой интегрирования Если плоская кривая В задана уравнением г = ссссо), . ~р р' () и« Лв полярных координатах, то сй = )( г + (г' )всс с в , еделенпого интеграла в фор Подчеркнем, что нижн мулах (55.3)-(55.6) должен быть меньше верхнего.
П имер аа.х. Вычислить /(х + у)сИ, где Х, —- ромер лепесток лемнискаты г = чсвш2у, распол оженной в 1 координатном углу. О Решение: Кривая интегрирования изображена на рисунке исунке 234. Воспользуемся формулой (55.6). Так как сове 2со сто сй = всп2со+ — 'с(сд = вш 2у тс в1п 2во 2 ь (х+у) сй =. / (гсовсо+гвспср) — =- о 55.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла ! рода Кривопинейный интеграл 1 рода имеет разнообразные приложения в математике и механикс.
Длина кривой Длина 1 кривой АВ плоской или пространственной линии вычв сляевея по формуле 1 = ( сй. АВ Площздь цилиндрической поверхности Если направлиющей цилиндрической поверхности служит кривая АВ, лежащая в плоскости Оху, а образуюпшя параллельна оси 02 (см. рис. 235), то площадь поверхности, задаваемой функцией 2 = Х(х; у), находится по формуле ~',) = /,Цх; у) сй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
