Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Это решение зависит от т произвольных постоянных. Постоянные А, В, С,..., Ф определяготся методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через т из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим гв линейно независимых частных решений системы (52.6). ь)(2 2ь ь+ьз ц Ц вЂ” 2+к+1)=О,яг =2,аз=уз=1.Корню )а = 2 соответствует система (см. (52.8)): — аг — )гг + )г =О, аг — )1г — ')г = О, — ХХг =О, р,=о, аг — у1 —— 0 Позаггя уг = находим аг — — 1 Получаем одно частное решение нс в олной системы: уг = е, уз — — О, дз — — ез .
О) — 2г Ю, О) зг Двукратному корню к = кз — — йз =- 1 (т = 2) соответствуег реше- ниее вида уг~ ' ) = (А + Вх)е*, уз1 ' ) =. (С + Х)х)е', уз( ' ) = (Е + Ех)е'. ) йгдставляем эти вгиражения (решения) в уравнения исходной системы: В - е ' + (А + Вх)е = (А+ Вх)е' — (С + Вх)е* + (Е + Ех)е*, В - е' + (С + Рх)е' = (А + Вх)е" + (С + Х)х)ек — (Е + Гх)е*, Е ° е*+ (Е + Ех)е* = — (С+ Х)х)ея + 2(Е + Ех)ез, или, после сокрашения на е* ~ 0 и группировки, ( — Е)х+ В+ С вЂ” Е= О, ( — Е)х + А — Х) — Е = О, (Х) — Е)х + С + Р— Е = О. Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда  — В=О,  — Е=О, В+С вЂ Е, А — Х) — Е = О, С+Г-Е=О.
Выразим все коэффициенты черпг два из них (т = 2), например через А и В. Из второго уравнения имеем Е = В. Тогда, с учетом первого уравнения, получаем В = В. Из четнертого уравнения находим Е = А — Х), т. е. Е = А — В. Из третьего уравнения: С = Š— В, т. е. С = А —  — В, или С = А — 2В. Коэффициенты А и  — произвольные. Полагая А = 1, В = О, находим: С = 1, Х) = О, Е = 1, Е = О. ! Полагая А = О, В = 1, находим: С = — 2, ХХ = 1, Е = — 1, г = 1.
Получаем два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню й = 1; [з) г Р) и Ог) у„=е, уг — — е, уз — — е и Р~ ) =хе" У~ ) =( — 2+х)е, Уз ) =( — 1+х)е'. Записываем обпгее решение исходной системьс уг = сге *+ сзе*+сзхе', Уз = сгез+сз(х — 2)е', уз = егер+ сге*+ сз(х — 1)е'. 376 Глава Х1. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 353. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 53.1. Основные понятия и определения Обобщением определенного интеграла на случай Функпнй двух и ' ременных является твк называемый двойной интеграл.
Пусть в замкнутой области В пл кости Оху задана непрерывная функц в = Х(х;у). Разобьем область Х) на «элементарных областейв Х), (1 = 1, площади которых обозначим через а диаметры (наибольшее расстояние м жду точками области) — через д; ( рис. 214). В каждой области Ю, выберем пр Рис. 214 извольную точку М;(хб р;), умножи значение Дх;; р;) функции в этой точи на с)Я; и составим сумму всех таких произведений: ,Х(х3» р1)»»Я1 + ) (ха» у2)Х»о2 + " ' ' + т (х»» р»»)»ло»» — )' ) (х»л у»)ь»Яь (53.1) Эта сумма называется ингаегрально»1 срммоб функции Х(х; р) в области Р. Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда и стремится к бесконечности таким образом, что гпах д;, -> О.
Если этот предел существует и не занисит ни от способа разбиения области Х) на ча-. сти, нн ог выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции Х(х; у) по области В и обозначается Д Х(х; р) дхду (или' 11Х"') )- Д Таким образом, двог2ноб ингаеграл определяется равенством ~~ Х(х; у) с(х дд = 1пп ~~ Х(хб у;) а»К. (53.2) б 1ь»ахи-»о) ~1 Д В этом случае функция Х(х;р) называется интеерирремвп в области ХХ; Х) — область интегрирования; х и у — переменные инптеерирования; с)хо)у (или с)Б) --- элемент ллои)ади.
Для всякой ли функции Х(х; у) существует двойной интеграл? На » »т вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь »»" » доказательства. Замечанья. 1, Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может гуществовать не только лдя непрерывных функций. 2.Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в обла» ти Х» Функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области.
Таким образом, мы Рис. 215 можем разбивать область Х) па площадки прямымн, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом сгЯ; = Х) х; Х1р», равенство (53.2) можно записать в виде 0 Х(х;р)да:»Хр = 1пп ~~ Х(хбу;) . Ьх; Ьрь »б йв ж- а);=1 53.2. Геометрический и физический смысл двойного интеграла Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу. Объем цилиндрического тела Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью в = Х(х; р) ) > О, снизу — замкнутой областью Х) плоскости Охр, с боков — цилиндрической поверхностью, образуя>щвл которой параллельна осн Ох, а направляющей служит граница области Х) (см. рис.
21б). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем И. Для этого разобьем область В (проекция поверхности х = Х(х; у) на плоскость Оху) произвольным образом на л областей Х)»з площади которых равны Ьо;, (Х = = 1, и). Рассмотрим цилиндрические столбики с основаяиями Х);, ограничегп1ые сверху кусками поверхности в = Х(х; р) (на рис. 216 один из них выделен). В своей совокупности опи составлянл тело 17. Обозначив объем столбика, с основанием Х)1 через Х11;, получим Р= ~АЕь 1=1 Возьмем па каждой площадке Х); произ вольную точку Ыз(хо рз) и заменим ка ждый столбик прямьзм цилиндром с тем же основанием В« и высотой 21 = Дх«; р«). Объем этого цилиндра приближенно рг вев объему ЬЪ"1 цилиндрического столба ка, т.
е. Хзгз Дхз; р;) «зЯ1. Тогда полу чаем: 1« = Е М~ = ,');Я 6 р«)«1$ь (53.3) 7=1 7=1 м,(хп рз) Это равенство тем точнее, чем больше чи- сло п и чем меньше размеры «элемептарРис. 216 ных областей» Р1. Естественно принять предел суммы (53.3) при условии, что число площадок Рг неограниченно увеличивается (и -+ со), а каждая площадка стягивается в точку (шах д, — з О), за объем Ъ' цилиндрического тела, т. е.
р = йш '~ Х(хч; р„)1хоз, (777«х ж -70) 7«М1 или, согласно равенству (53.2), 17 = Ц Дх; р) дх «(р. (53.4) б Итак, еелпчина две«(ного интеграла от неотрнца зельне«( фрнкз(ии равна обвгмр 7(нлнндрич«ского тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла. Масса плоской пластинки 'Хребуется найти массу т, плоской пластинки Х), зная, что ее поверхностная плотзюсть у = у(х; р) есть непрерывная функция координат точки (х; р). Разобьем пластинку 12 па и элементарных частей Х)1 (1 = 1, п), площади которых обозначим через ЛЯ«. В каждой области Х)1 возьмем произвольную точку Мз (хг „рг) и вычислим плотность в ней: «(х«) Р«). Если области Х)1 достаточно малы, то плотность в каждой точке (х„р) Е Лз мало отличается от значения «(х;; рз).
Считая приближенно плотность в каждой точке области Х)1 постоянной, равной «(х,", рг), зп = 1пп ~) «(хз) рз)«з сз (х7«х 11-+О) 7=1 или, согласно равенству (53.2), т. =- ЦТ(х; р) дх7«р. (53.б) Итак, двойной интеграл от функции у(х; р) численно равен мас7ха ПЛаСтИНКИ, ЕСЛИ ПОДЫНтЕГРВЛЬНУЮ ФУНКЦИЮ У(Х; Р) СЧИтатъ ПЛОГНО- 7 тью втой пластинки в точке (х; р). В этом состоит физический смысл двойного интеграла. 53.3. Основные свойства двойного интеграла Можно заметить, что процесс построения интеграла в области Х) освоено повторяет уже знакомую нам процедуру определения инте- зала функции одной переменной на отрезке (см. и. 35).
Аналогичны и свойства этих интегралов и их доквзатезп ства. Поэтому перечислим осзювпые свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми. 1. Ц с. Х(х;р) дх741« = с Ц у(х;р) дхг(р, с — соней 2. Ц(«1 (х; р) х,~2 (х; р)) дх Йр = Ц,Г1 (х; р) дх ар х Ц 72 (х; р) дх др. 3. Если область:0 разбизь зпп1ией на две области Х)1 и Ог такие, зто Х)1()Х)2 = П, а пересечение Х)1 и 122 состоит лишь из линии, их разделяющей (см.
рис. 217), то Рис. 217 ЦХ(,р)д др=- ЦЫр)д*др+ ЦХ(х;р)~ д. пх можно найти ее массу «и;: тз и Яхз; рз) «) Яз. Так как масса т всей план тивки Х) равна т = 2, тн то для ее вычисления имеем приближенное ра.веногво 77 т ~~ 7(х;; рз) ЛЯь (53.5) 7=1 Точное значение массы получим как предел суммы (53.5) при условии и -+ со н п«ахи; -+ О: 331 ЦИх;р)п 19> Ц ~(х;р)с)х(р. ос. О с(Я = Я, твк как 2 с)сЯс = Я. н с=..с Я(х) = ~ 7(х;р) с(р.
Ъ' = / Я(х)сЬг, 383 4. Если в области 13 имеет место неравенство 7"(х;р) ) О, то в (,) (х; р) с(хс(р 3 О. Если в области В функции Дх; р) и со(х;р) уш о влетворяют неравенству ('(х; р) ) р(х; р), то и 6. Если функция )'(х; р) непрерывна в замкнутой области Р, пло щвдь которой Я, тотЯ < О 7(х;р)с)хс(р < МЯ, где т и М.—. соотвез ственво наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области О. 7. Если функция Дх; р) непрерывна в замкнутой области 7), пло щадь которой Я, то в этой области существусьт такая точка (хо) ро), что ~ у(х; р) с(хс(р = У(хо, ро) .
Я. Веопсчиву с) 1 7(хо, ро) = †. Цт(х;р)с1хс1р и называют средним значением ()в)нации 7" (х; р) в области Т). 53.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух онредассенньсх интегралов. Пусть требуется вычислить двойной интеграл Д 1(х; р) с(х с(Р, где и функпня Дх; р) > О непрерывна в области О. Тогда, как это было показано в и.
53.2, двойной интеграл выражает объем цилинцричесжого тела, ограниченного сверху поверхностью х = Дх; р). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было показано, гго ь где Я(х) -- площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, х = а, х = Ь уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело. Положим сна сала, что область Й представляет собой криволипейс ю трапецию, ограниченную прямыми х = а и х = Ь и кривыми р = дг(х) и р = срз(х), причем функции у1(х) н Ьоз(х) непрерывны и ьс1совы, что дс(х) < срз(х) для всех х с (а;Ь) (см.
рис. 218). Такая ь исасть называется нраеильиоб о направлении оси Ор: любая прямая, о:сраллельная оси Ор, пересекает гранину сбласти не более чем в двух и 3чквх. Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендику~зрпой оси Ох: х = сопз(, где х Е (а; Ь). О Рнс. 218 Рис. 219 В сечении получим криволинейную трапецию АВОО, ограниченную линиями х =,г(х; р), где х = сопзФ, г = О, р =- дс(х) и р = ссьз(х) (см. рис. 219). Площадь Я(х) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла тг(я) тс(г) Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так: ь ь у т-( ) ~=(смь=)"( )' л,иь)с. ь а т,(ь) С другой стороны, в п.
53.2 было доказщсо, что объеьс цилиндрического тела определяется как двойной интесрал от функции г(х; р) ) О по области Р. Следовательно, Ц йх; у) дх ду (53.7) — — + — + — = 1,45. 1 8 7 2 4 29 6 6 4 3 5 20 (53.8) Ответ; разумеется, один и тот же. П Конепекекекинк по инеи еи ин иконке. Поен й 1»е 385 Это равенство обычно записывается в виде Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного ипш грвла в декартовых ксюрдинатах. Правую часть формулы (53.7) назм вают деукрапсным (или повпюрнмм) ингпезрам1м от функции 7 (х; у) вп нее (х) области Р. При этом / 7'(х; у) ду называется внуспренним интегрз пс(к) лом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
