Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Тогда у = р', ...; , /И, „1ЬЬ/1 уйй = р1™1 и уравнение (49.9) примет вид Р(х; р; р',...; р ) = О. (и — ь) Частным случаем уравнения (49.9) является уравнение 13(х. 1и — Н (и) ) ОО /(х, 1 — ь)) Е::-' ''1 С помощью замены у(и О = р(х), у(и1 = р/ зто уравнение сводится к ДУ первого порядка,. / Прильер 49 2 Решим урьвньние у — "- = О (.) Решение: Полагаем у' = р, где р= р(х) уо = р'. Т'сяда р' — ~ = О.
Это уравнение с разделяющимися переменными: -~ = В, -с = — "х. Интегрируя, получим 1п(р~ = 1пц + 1п1сь~, ' йс ьс' р х 1п (р~ = 1ьь (сьх~, р = сьх. Возвращаясь к исходной переменной, получим хз у' = с х, у = с — + сз — обьцее решение уравнения. 2 Ф 347 Ш. Рассмотрим уравнение р =з(ир'), (49.10) которое не сод»рохин> явно независимой временной х. Для понижения порядка уравнения введем нову>о функцию Р = = Р(р), зависящую от переменной р, полагая р' = Р. Дифференпируем это равенство по т, учитывая, чж> Р = Р(р(х)): »1(1/) др(р) др(р) а>р» р(у) ГЛ»»Ь «р д др т.е.>о= .Ф - р =Р-д .
ТепеРь уравнение (49.10) запишется в виде р -Е= (( ) р Пусть Р = р(д; с>) является общим решением этого ДУ первого порядка. Заменяя функцию Р(р) на р', получаем д' = >»(р; с>) -- ДУ с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравнения (49.10) > др = х+аз. у (р;с>) х1астным случаем уравнения (49.10) является ДУ ~:":=Л ро =.1(р). Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: р' = =Р(р), до =Р -~- 'др Так же поступаем при ре>пении уравнения г'(р; р', р";...; р>"~) = О. Еп> порядок можно понизить на единицу, положив р' = Р где Р = (; ). — .
Р = Р'чд>. По правилу дифференцирования сложной функции находим ро = р-а. = "Йр Затем найдем >/о = д (Р Р') = д (Р.р') ак = ((Р>)з+ Р" > — — =Р „Р „„)ит.д. Замечание. Уравнение (49.8) также можно решать, применяя подстановку р' = Р, где Р = Р(р). 2Т Ример 49.3. Найти частное решение уравнения ро-(р')'+р'(р-1) =О, удовлетворяющее начальным условиям: р(0) = 2, р'(0) = 2. < Ь Решение: Уравнение имеет вид (49.10). Положив р' = Р(р) рл — Рдо р = Р ° -е, получаем: др Р.
~ — Р'+Р(р — 1) =О. др Гнк как р ф 0 (иначе р' = О, что противоречит начшпгному условию >/ = 2) то -к — р+ р — 1 = О --- получили линейное ДУ первого порядка. д др Проведем решеяие. полученного линейного ДУ методом Бернулли (п. 48.4). Полагаем р = и - и. Имеем: >/и + ии' — ии + р — 1 = О, или >ь'и+ и(и' — и) = 1 — р.
Подберем функцию о так, чтобы и — о = О. Тогда — = др, и = е . »1с, к Получаем: т. е. ди = (1 — р) ° е ~др и'.е" +и-0 = 1 — р, Интегрируя это равенство, находим, что и = — (1 — р) . е' '"+ е э + с>. Следовательно, Р=и» = (( — 1+р)е "+е "+с>) ет", или Р=с>е" +р. :Заменяя р на р', получаем: р' = с> ео+р. Подставляя р' = 2 и р= 2 в что равенство, находим с>: 2 =.
с>е + 2, с> — — О. Имеем р' = р. Отсюда р = схе'. Находим сх из начальных условий: > 2 = схео, сх = 2. Таким образом, р = 2е' — частное решение данного ДУ. 49.3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Основные понятия Многие задачи математики, меха>п>ки, электротехники н других технических наук приводят к линейным дифференциальным уравне- ниям. Уравнение вина Ьо(х)рбй + Ь>(х)р(о ~> + ... + Ь„(х)р = д(х), (49.11) Д где Ьа(х) ф О, Ь>(х),...,Ь (х),д(х) -- заданные функции (от х), называется линейным ДУ и-го порядка.
Оно содержит искомую функцию р н вге се пронзи>дные липп, в первой степени. Функции Ьо(х), Ь> (х),..., Ь„(х) называются коэффици- ентами уравнения (49.11), а функция д(х) — его свободным членом. Д Если свободный член д(х) г— н О, то уравнение (49.11) называется лине>1иь>м однородным уравнением; если д(х) ф О, то уравне- ние (49.11) называется неоднородным.
Разделив уравнение (49.11) на Ьа(х) ф 0 и обгх>начин Ь>( ) Ь.(.) д( ) Ьо(х) Ьо(х) Ье(х) = ад (х),..., — = а„(х), — = 1(>»), 349 запишем уравнение (49.11) в виде приведенного: рг»») + а (. ), га — 1) + (49.12) Двл удом рассматривать линейные ДУ вида (49.12) и 1яаее б ви . и считапь . . Фф циенты и свободньгй член уравнения (49Л2) являются про ывными ф н пр .р и функциями (на некотором интервале (а; Ь)). При этих ус- являются неловиях справедлива теорема с гцествг>ван 49.12) (см.
теорему 49.1). 49.4. Линейные однородные ДУ второго порядка (ЛОД ) Рассмотрим линейное одно о нос д р д ое дифференциа ппое уравнение ДУ) второго порядка: (49.13) и установим некоторые свойства его решений. Теорема 49.2. Если ф нк ии г функции уг — — рг(х) и уг = уг(х) являются частными решениями уравнения (49.13), , то решением этого уравнения является также функция . (49.14) р = с,рг(х) + ггуг(х), где сг и сг — произвольные постоянные.
(1 и дх мфу р = сгуг + сгуз и сс производные в левую часть ЛОДУ (49.13) . Получаем: ( 1У1 2Р2) + а1(х) (с1Р1 + 12У2) + о2(х) (с191 + с21/2) = »» = сг уг + сгуг + аг ( с) ° (с, рг + с2уг) + аг(х) (сг рг + сгрг) = = сг(уг + аг(х) уг + аг(х) - у) + сг(рг + аг(х))/» + аг(х)рг) = = сг . 0 + сг ° О =- О так как ф гк ии > ак как функции рг и уг — решения уравнения (49.13) н, значит, выражения в скобках тождественно равны нулю. Таким образом, функг. ня г = уравнения (49.13). '/ = сг 1/1 + сг'уг также является регпенн н см Из тес емы 49.2 ..
р гмы 41.2, как ачедствие, вытекает, что если уг и ), то решениями его будут также функции Р = Уг + Р2 н Р = с Ч1. Функция (49.14) содержит две произвольныс постоянные и явля- ется решением уравнения (49.13). Может ли она являться общим е- вронскиан имеет вид ( ) У1 Р2 !/1 Р2 И поэтому для лгсбого х Е а; Ь аг И/(х) = агг, ', = О. -(„уг 1/2 Для ответа на вопрос введем понятие линсйной зависимости и лип Оной независимости функпий. )"~) Функции уг = рг(х) и уг = рг(х) назыввгагся линейно независимыми на интервале (а; Ь), если равенство аг//1 + сггуг = О, (49.15) где аг, аг Е К, выполняется тогда и только тогда, когда аг — — аг = О. )"з) Если хотя бы одно из чисел аг или аг отлично от нуля и выполняется равенство (49.15), то функции уг и рг называются лииейио зависимыми на (а; Ь). Очевидно, что функпии рг и уг линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорцигигвлыгы, т.
е. для всех х Е (а; Ь) выполняется равенство ' = Л, или уг = Лрг, Л = сопза рг Наг/ример, Функции рг = Зек и рг = е' линейно зависимы: Уг = Р2 = 3 = соггв$; функции рг и уз = ег* — линейно независимы: уг е' = Зе ' ф сопз$; функпии г/1 = згпх и рь —— созх ян.пяются линейно пегависимымиг равенство аг вгп х + аг соек =. 0 выполнив гся для всех х Е К лишь при аг —— аг = О (или рт = 13х ~ сопвс). г/г Средством изучения линейной зависимости системы функций является так называемый опредвлапгахь Вронского или вронскаан (Ю.
Вронский — — польский математик). Для двух дифференцируемых функций уг — — рг(х) и рг — — уг(х) 350 Доказателыпво теоремы опустим. Из теорем 49.3 и 49.4 сшепует; что вроискссии ие ровен ирлю ии е одной точке иитервили (а; Ь) глогди и люлько тогда, когда частные. решения линейно иевивисимы,. Д Совокупнос.-п любых двух линейно нозависимых на интервале, (а.; Ь) частных решений ус(х) и уг(х) ЛОДУ Второго порядка определяет фундаменпшльную систему реийении этого уравнения: любое произвольное решение йкокет быть получено как комбинация, у о1ус(2') + огдг(х).
Ирилсвр 4Р.4. Частные решения У1 = вш:е и рг = сов х, рз = 2 сйпх и уй =- 5совх (их бесчисленное множество)) уравнения уо + у = О образуют фучосаментальную систему решений; решения же ув = О и ув = сов х не образуют. Теперь можно сказать, при каких условиях функция (49.14) будет общим решением уравнения (49.13). Теорема 49.5 (структура общего решения ЛОДУ второго порядка). Если два частных решения ус = ус(х) и Чг = уг(х) ЛОДУ (49.13) образуют на интервале (а; Ь) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция (49.16) р = с,ус + сгуг, где с1 и сг — произвольные постоянные. С.в Согласно тсюреме 49.2, фупкцсш (49.16) является решением ураннения (49.13). Остается доказаггч что это решение об щ ге, т.
е. что сиз него можно вьщелить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям У =Уо У =Ро (49.17) ~х=-хо ~х хо 1'де хо Е (а;Ь). Подставив начальные условия (49.17) в решение (49.14), получим систему уравнений с Ро = сс Ус (хо) + сгуг(хо), Ро =- ссдс(хо) + сгдг(хо)т где уо = у(хо), уот = у/(хо), с неизвестными ст и сг. Определитель этой системы Ус(хо) У«(хо) — Ит(.
) У/1(хо) У2(хо) равен значению вронскиана И'(х) прн х = хо. "['ак как решения у„(х) и уг(х) образуют фундаментальную систему и ин ний на (а; У!) и хо Е (а; Ь), то, согласно теореме 49.4, И'(хо) Ф О. ) )Витому. система уравнений имеет единственное решение: 0 1 УО У2(ео) .0 1 Р1(хо) У/О Ит (хо) % Р2(хо) И'(хо) УУ! (хо) РО 1'лчиепие у — — сссус (х) + сверг(х) является частным решением (едияственным, в силу теорелсы единственности) уравнении (49.13), удовлетворяй нцнм начальным условиям (49.17). Теорема доказана.
° ХХрилсер 4 Р.5. На, основании теоремы 49.5 общим решением уравсн пия ри+ У= О (см. пример 49тй) является функция у=ос впс х+сг сов т. 49.5. Линейные однородные ДУ п-го порядка Полученные результаты можно расщнктранить на линейные однородные дифференциальные уравнения и-го поряока, имеющие вид уси) + а (х) . Уси 1) +ай(х) Чси 2) +...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
