Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Ь >О. Так как А < О, то в точке ЛХ» функция имеет локальный максимум: — з(6; 3) — 3. 36. 3 бз 34 324 216 81 27 В точке Мз(О; О): А = О, В = О, С .= 0 и, значит, »3 = О. Проведем ооюлннтельное исследование. Значение функции з в точке ЛХз равно »лю» з(0;0) =. О. Можно заметить, что з = — р4 < 0 при х = О, р ф 0; — хз > 0 при х < О, р = О. Значит, в окрестности точки Мз(0;О) фгнкция з принимает как отрицательные, так и положительные зна- ния. Следовательно, в точке Мз функция экстремума не имеет. ° 46.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области Пусть функция з = Дх; р) определена и непрерывна в ограничен»о И замкнутой области .У. Тогда она достигает в некоторых точках Н свое»о наибольшего М и наименьшего»п значений (т, н. глобальный ксшремрм).
Эти значения достиганлся функцией в точках, располоконных внутри области В, или в точках, лежащих на границе области. 11раооло нахозюдения наибольшего и наименьшего значений диф- 4»еренцируемой в оаэи»асти Х» функции з = Х(х; р) состоит в спедующем: 1. Найти все критические точки функции, принадлежащие Ю, и ш.»числить значения функции в них; 2. Найти наибольшее и наименыпее значения функции х = 1(х; р) оо границах области; 3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее ЛХ и наименьшее 'т.' Лрпмер 46.2. Найти нанболыпее и наименьшее значения функции з = х р+ хр + хр 2 и замкнутой области, ограниченной линиями: р = —, х = 1, х = 2, р = — 1,5 (см.
рис. 211). »,)» Решение: Здесь з,' = 2хр+ рз+ р, з' = хо+ р 2хр+ х. 1. Находим все критические точки: Ряс. 211 р(2х+ р+ 1) = О, х(х -1- 2р + 1) = О. реп»ением системы являются точки (О; 0), ( — 1; 0), (О; — 1), ~ 3 3). 1. Ни одна из найденных точек не принадлежит области Х». 2. Исследуем функцию г на границе области, состоящей нз участков АВ, ВС, СЕ и КА (рис. 211). 323 =- — 4,5 = я(2; 2( — 31 На участке АВ: х = 1, х = рг + 2р, где д 6 ~ — 3; 11, я' =. 2р+ 2р+ 2 = О, р = — 1.
Значения функции х1 — 1) = — 1 х( — 31 =— 2/ я(1) = 3. На участке ВС: р = —, х = х+ — + 1, где х 6 )1; 2), х' = 1— 1, 1 1 1 — — т — — О, х~ —— 1, хз = — 1 Х )1; 2). Значения функции х11) = х т)2) = 3,5. На участке СЕ: х = 2, г = 2рг + 6р, й 6 ~ — 2, -1, х„' = 4р + 46 + 6 = О, р = — —. Значения функции х ( — — ) = — 4,5, х ( — ) = 3,5. 3 2 ' ' 2 На участке Ал: й = — 2, х = — 2 + 4х, х ь )1; 21, х„' =.
— Зх+ 1 — Зх+ 3 = О, х = — ф )1; 2). Значения функции я11) = — 3, х12) = — 4 3. Сравнивая полученные результаты, имеем: М = +3,5 =- г(2; — ) =- х(С); 1т Глава Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ )) 47. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ 47.1. Основные понятия При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде ~ равнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и се производные.
Такие уравнения называются дифферент1иальными 1термин принадлежит Е Дейбнипу, 1676 г.). Реигением дяфг)пренциального уравнения называется функпия, которая при подстановке в у равнение обращает его в тождество. Так, решением уравнония р' = 1 (х) является функпия р = 1'"1х)— нервообразная для функции 11х). Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях )ДУ). Если искомая 1неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае — ДУ о часшных пропзоодных. Далее будем рассматривать только обь|кновенпые ДУ.
Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется но1ждком этого уравнения. Например, уравнение ро' — Здо + 2р = Π— обыкновенное ДУ третьего по1тдка, а уравнение хт у'+ 5хй = рз --. первого порядка; р х,'. = .= х я„' — ДУ в частных производных первого порядка. Процесс отыскания репюния ДУ называется его ингаеарнрооанием, а, график решения ДУ вЂ” — ингдвгроаьной ярового. Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям.
47.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Задача 1 Материальная точка массы пт замедляет свое движение под дейсгнием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скоро- сти И. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость тс ' через 3 с после начала замедления, если 1с(0) = 100 м/с, а г'(1) = 50 м („1 Решение: Примем за независимую переменную время 1, отсчит емое от начала замедления движения материальной точки.
Тогда ростыочки Ъ' будет функцией 1, т. е. И = Ъ'(1). Для нахождения И воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом и ки): т ° а = Р, где а = Ъ" (с) — есть ускорение движущегося тела, Р результирунхцая сила, действующая на тело в процессе движения,. В данном случае Г = — И', к > 0 — коэффщсиент пропорциона 2 ности (знак минус указывает на со, что скоросггь тела уменьшае Следовательно, функция Ъ' =- 'г'(г) является решением дифферес ального уравнения т - г" = — й Из или г" = — й Их. Здесь т — — м тола. Как будет показано ниже (пример 48.5), И = где с 1 — 1+с ь сопз~,. Найдя зависимость скорости от времени, легко найти око точки через 3 с после начала замедления.
Найдем сначала параметры — и с. Согласно условию задачи им к т ем: И(О) = — = 100 и И(1) = = 50. Отсюда с =— е 100' т 1 Следовательно, скорость точки изменяется по закону И = 100 . П Ф+Г этому И(3) = 25 м/с. Задача 2 Найти кривую, проходящую через точку (4; 1), зная, что отрезо любой касательной к ней, заключенный между осями координат, д лится в точке касания пополам. (~ Решение: Пусть М(к4у) — — произвольная точк кривой, уравнение которой у = 1(я).
Для опред пенности предположим, что кривая расположена первой четверти (см. рис. 212). Для состаапения дифференциальною уравн ния воспопьзуемся геометрическим смыслом первой производной: 18о есть угловой коэффициент касательной; в точке М(я; у) он равен у', т. е. у' = 18 о. Рис. 212 Из рисунка видно, что 18(пМВС) = МС. Но ВС ' 18(~МВС) = г8(180- МС = у. По условию задачи АМ = МВ, следовательно, ОС = СВ = я. ' 326 Таким образом, получаем — 18 о = к или у' = — к.
Решением поз я и нного дифференциального уравнения является функция у =— пербола). Решение будет приведено в и. 48.2 (пример 48.4). ° ! (ругие задачи Можно показать, что: ° закон изменения массы радия в зависимости от времени («радиоактивный распад») описывается дифференциальным уравнением сс'и = — й т, где к > 0 — - коэффициент пропорциональности, са т(г) — масса радия в момент 1; ° «закон охлаждения тел», т.
е. закон измененгпс температуры тела в зависимости от времени описывается уравнением — = й(Т вЂ” 1э), ссТ сй где Т(г) — температура тела в момент времени 1, Й . — коэффициент пропорциональности, 1е — температура воздуха (среды охлаждения); ° зависимость массы я вещества, вступившего в химическую реакцию, от времени 1 во многих случаях описывается уравнением сЬ вЂ” = Й я где Й вЂ” коэффициент пропорциональности; с1г ° «закон размножения бактерий» (зависимость масс:ы т, бактерий ог времени г) описывается уравнением т', = й-т, где й > 0; ° закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над уровнем моря описывается уравнением = — й - р, где р(П)-- атмосферное давление воздуха на высоте 5, к > О. уже приведенные примеры указывают на исключительно важную роль дифференциальных уравнений при решении самых разнообра~ пых задач.
348. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 48.1. Основные понятия Дифференциальное уравнение первого порцдка в общем случае можно записать в виде г(я;у;у) = О. (48.1) Уравнение связывает независимуьо переменную х, искомую функць» у и ее производную у'. Если уравнение (48 1) можно разрешить ог» сительно у', то его записывают в виде (48.") и называют ДУ первого порядка, разрещеппььм атнасптеаьна прок еаднаа.
Мьь в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ. ф Уравнение (48.2) устанавливает связь (зависимость) между кось динатамн точки (х; у) н угловым коэффициентом у' кагательн а к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следователык, ДУ у' = 1(х; у) дает совокупность направлений (поле иапраалеяььй)»; плоскости Оху. Таково геометрическое истолкование ДУ первого и» рядка. Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, н» зывается ььзоклпнай.
Изоклинами можно пользоваться д тя приблнже» ного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно пьь лучить, если положить у' = с, т. е. 1(х; у) = с. хьрильер 4а.1. С помощью изоклип начертить вид интегральнык кривых уравнения у' = 2х. (,ьь Решение: Уравнение изоклнн этого ДУ будет 2х = с, т. е. изоклинзми здесь будут прямые, параллельные оси Оу (х = с).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
