Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Дадим независимой переменной х приращение Ах, сохраняя значение неизменным. Т вается ч у тм. Тогда з получит приращение которое тм. Т, назыя частным приращением з по х и обозначается А,г. Итак = 1(х+ Ах; у) — ((х; у). Анало алогично получаем частное приращение г по у: Ьх = У(х; у+ Ау) - Их; у). Полное приращение Аз функции з опрецеляетвя равенством Аг = г(х+ Ах;у+ Ау) — г(х;у). .((х+ А "у) — 1(х'у) а. о Ьх д -+о Ах Геометрический смысл частных производных функции двух переменных Графиком функции з = ((х; у) является некоторая поверхность (см.
п. 12.1). График функции в=у(х; уо) есть линия пересечения втой поверхности с плоскостью у=до. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной (см. и. 20.2), заключаем, что Д(хо,уо)=«ка, где а — — угол мехтду осью Ох и касательной, проведенной к кривой в=у(х;уе) в точке Мо(хо;уо' ((хе'уо)) (см. рис. 207).
Аналогично, („'(хо; уе) = «бд. 44.2* Частные и роизводные высших порядков ч . астныг производные — '' "' и — Ъз р) г д ' д ' " "'"'"'""'"' " взводными первого лдк . (х;у) е О. Эти ф кзии рв нвр дка. Их можно рассматривать ф ь как функции от называются ч ти функции могут иметь частные произво вводные, которые чагьчнмми производными вьчврог д . Ог югся и обозначаются следу об в нвря ка.
зи оп е е ющим разом: 1з д ляд (дг') д'г ~д ~ — —,=г,=У. (~;у); д (дг~ дгг В Р дх 1дуГ Оуд ду (дх/ дхду ду '1 др/ О г РР 'гг'( у). 'у Аналогично оп е р деляются частные производны 3- 4- е го, го и т, д. поряд И) "-'Р=4 дФ дх ОхдуО. =а.~а'" и('*"'"*= = г,) и т.д. Я 1астная произвол;ная второго бо го или лее высокого по я а, в: тая по различным пе монн м р дк, взяре енным, называется смеизанной' навозной производной. Т дной.
Таковыми являются, например, г' з '"' дхд ~' у 44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции Пусть функция г = 1(х;у) определена в некоторой окрестности точки М(х; у). Составим полное приращение функции в точке М: Ьг = у(х+ Ьх; у + Ьу) — у(х;у).
Функция г = у"(х;у) называется дийгференцируемой' в точке Д М(х; у), если ее полное приращение в атой точке можно предста- нить в виде Ьг = А Ьх+В. ЬУ+о-Ьх+О Ьу, (44.1) где о = о(Ьх, Ьу) -+ О и О = д(Ьх, Ьу) -+ 0 при Ьх -+ О, гзу -+ О. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную часгаь нрирагцгнил функции. Главная часть приращение функции г = у(х; у), линейная относительно Ьх и Ьу, называегсл полным дгкрггеренциалвм втой функции и обозначается символом дг: (44.2) Выражения А.
Ьх и В. Ьу называют частпными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают ззх = дх и Ьу = ду. Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде (44.3) гг име функции = г 2 г 3 ° ' Р Дньи', второго порядка частные и оизво г= х — х'у +, з+1 ~ 1'епгение: Так как г' = 4хз 4 з — — ху и гг = — бх уг + буг, . Р г,г = (4хз — 4хуз)' = — 12 „г Р Ф Р = ( — бхгуг б~з)' Оказалось, что гв = гв . гР Рг Этот результат не сл чаен. И дем . доказательства.
у . Имеет место теорема, которую п ив .И , приве- 310 ~ Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равенство (44.1). Отсюда вытекает, что 1пп Ьг = О. Это означает, аг-+О ЬР-зв что функция непрерывна в точке М. Положив гзу = О, Ьх ф 0 в равенстве (44.1), получим: Ь,г = А Ьх + о ° Ьх. Отсюда находим — кг = А+гг. Переходя к пределу при Ьх -+ О, получим 1пп — г — = А, гт г Ьх аи,в ЬХ т. е. дг = А.
Таким образом, в точке М существует частная произволдх ная Д(т; у) = А. Аналогично доказывается, что в "сачке М существует частная производная 1Р(х; у) = д — — В. г . дт Равенство (44.1) можно записать в виде аз аз Ьз = — Лх+ — Лд+ 7, а* ау где 7 = а лх + а ьу -+ 0 при ьх -+ О, ьд -+ О. Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Так, непрерывная функция з = ~/хз + дт не дифференцируема в точке (О; 0). Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (44.3) принимает вид: (44. 5) аз = аяз + доз Г::::: ° ) ах ' "з = а — пд — частные дифференциалы функции з = У(х;У).
Теорема 44.3 (достаточное условие дифференцмруемос функции). Если функция з = Г(х;д) имеет непрерывные частные производные г' н з' в точке М(х;д), то она дифференцнруема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (44.5). ! Примем теорему без доказательства. Щ Отметим, что лля функции д = 7(х) одной переменной существо- вание производной г'(х) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в втой точке. Чтобы функция з =,г'(х;д) была дифференцируема в точке, необхо юю дюю, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.
А рифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных. 44.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям Из определения дифференциала функции з = 7(х; д) следует, что при достаточно малых (Ьх( и ~ЬУ~ имеет место приближенное равенство Ьз и ~Ь. (44.6) Так как полное приращение Г з =,((х+ Ьх;у+ Ьд) — ((х;д), равенство (44.6) можно переписать в следующем виде: (44.7) х; д)Ьх +,(„(х; д)ЬУ- Формузюй (44.7) пользуются в приближенных расчетах. Пример 44.8.
Вычислить приближенно 1,02з о'. (;1 Решение: Рассмотримфункциюз=х . Тогда1,02 =(х+Ьх) к „з,ог ш~-ат где х=1, Ьх=0,02, У=З, Ьу=0,01. Воспользуемся формулой (44.7), предварительно найдя з,' н з,'.: г,'=(х")т =д-х" ', з„'=(х")'„=х" 1пх. Следовательно, 1,02зшм1 +3.1з '-О 02+1з 1п1-001, т.
е. 1,02зо'и и 1,06. Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим: 1 02з,о1 м1 061418168 Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т. д. 44.5. Дифференциалы высших порядков Введем понятие дифференциала высшего порядка. Полный дифференциал функции (формула (44.5)) называют также дифференциалом первого порядка. Пусть функция а = 1(х; д) имеет непрерывные частные производные, второго порядка.
Дифференциал гтюроао порядка определяется по формуле озз = т((дз). Найдем его: /аз аз 42 1 нх+ Нд (,дх ад а. а. ~' (аз аз — пх+ — дд~ 4х+ 1 — нх+ — пд1 Йд = т аз~ аз~ ~ ~' а~~ Ф~ "х+ нд) ' х+ ~ ах+ з "у '~д. -~а. аа. )' ~аа ад а2 дх фд~з, аза,щ+а ад С во песк это ахт ахай аУ записывается таь ~'а а 4зз = ~ — с(х+ — ад) 1,а* ад ) 313 т.
е. или сЬ аз с1х аз с!у — = —. — +— сй ах сй ау сй с13 аз Нх аз ду — — — или Нх ах дх ау ух (44.9) (44.10) 314 31з' Аналогично можно получить формулу для дифференцсаьаа гарегаьего порядка: с! 2 = 44 2) = ~ — с!х+ — ду 2, 3 2 где ах ау < , з дз дз д 2 3 а а У/ а 3 а зж а ~У+3 ~ ~д+ ° ~У ,! + с! „уз+3 3 а а 2 а з д / х х ау ах ау 2 ауз М стадом математической индукции можно показать, чсо га а с!"2 = ~ — Ух+ — с(у~ ~а ' ад)' Отмет метим, что получеспсые формулы справедливы лишь в случае, когда переменные х и у функции 3 = Г(х; у) являются независимыми.
ре ) Най д'2 „„ 2 = хзд", 1 Ответ: с!22 = бхуз Дхз+ 13хздс(х с!У+ 2хз с!. 2 44.б. Производная сложной функции. Полная производная усть 3 = сс (х' у) — функция двух переменных х и у, кажда из торых является функцией независимой переменной й х = х(с) = ',1). ' учве функция 2 = Дх(с); у(3)) является сложной функцией одной независимой пе ременной 1; перемещсые х и у — ссрозселс угаочные нерезсенные. 1„1 Даднм независимой переменной 1 приращение Ы.
Тогда функции х = х(3) и у = у(1) получат приращения с."сх и сзу соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение Ьз функции 2. так как по условию функция 2 = 1(х; у) дифференцируема в точке М(х; д), то ее полное приращение можно представить в ви е в виде аз Дз Ьз = — . С.'сх + — . сад + ссЬх + дсзд, где сс — з О, Д -+ О при с."сх -2 О, сзу -+ 0 (см. и. 44.3). Разделим выра- КЕНИЕ С.'22 На Л1 и перейдем к пределу при сзс -+ О.
Тогда Ьх — > О и Лд -+ 0 в силу непрерывности функпий х = х(с) и у = д(с) (по условию стюремы — - они дифференцируемые). Получаем: д, л а . лд 1пп — = — йпс — + — - 1пп — + 1пп сс- 1пп — -+!йп ))- йп —, ас-~о сзс ах ас-со Сзс ау ас-со сзз ас-со ссс-+о ~Й ас->о ас-ю АЗ ' Д а. Д* аз 1У У ау — = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
