Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(,Ь Решение: Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 177. Нахо- дим ее плошадь 5: --+4+ — — — — 9+4 = — = 2-. ° 8 27 8 8 2 3 3 3 3 3 Пример 41.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом х = о сов 1, р = Ь вп й („Ь Решение: Найдем сначала — плошади Я. Здесь х изменяется от О 1 4 до а, следовательно, ь' изменяется от а до О (см. рис. 178). Находим: 2 о е -Я=- ( Ьйп1.
( — ав1п1)Ж= — ИЬ ( ьйп ьсй= — / а/2 а/2 Полярные координаты гг В=-, / "(р)д (41.3) Риг. 179 Рис. 180 283 282 л/в аЬ г — (1 — сов21) гй = — ~г~' — — вгп21~ ) = —. = 2 ( оо — 2 ° ~г1 ) = 4 . о Таким образом, -Я = ~~-. Значит, Я = яаЬ. 1 ггаЬ Найдем площадь 5 криволинейного сектаора„т. е. плоской фигур ограниченной непрерывной линией г = г(~р) и двумя лучами р = а ~р = )1 (а < //), где г и р — полярные координаты (см. рис. 179). Дл решения задачи используем схему П вЂ” метод дифференциала. 1. Будем считать часть искомой площади Я как функцию угла т. е. Я = В(уг), где а < уг < /Г (если уг = а, то Я(а) = О, если р = //, ВУ) =В)- 2. Если текущий полярный угол ог получит приращение Жр = гЬр то приращение площади /.'гЯ равно площади «элементарного криволинейного гектора» ОАВ.
Дифференциал г/Я представляет собой главную часть приращения /лЯ при г/гр — г 0 и равен плошади кругового сектора ОАС (на рисунке она заштрихована) радиуса г с центральным ушюм Йр. Поэтому г(5 = 1 го - гЬр. 2 3. Интегрируя полученное равенство в пределах от ул = а до ~р = д, получим искомую площадь Яр«имер «л.З Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» г = а сов 3 р (см.
рис. 180) . О Решение: Найдем сначала площадь половины одного лепестка «розы», т. е. — часть всей площади фигуры: 1 л/6 г/6 -Я = — (/ (асгн3~о) гЬр = -а / — (1+совбгр) гЬр = о о а /е 1, 'г/е а 7г яа = — (р! + — вшбгр) ) = — ( — + 0) =- о б о 4 б 24' т. е. ОВ = /2 —. Следовательно, Я = ~~ . Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то лучами, выходяшими из полюса, ее следует разбить на криволинейные секторы, к которым применить полученную формулу для нахожцения площади. Так, для фигуры„изображенной на рисунке 181, имеем: д '=-Н~--И" --Н"' Р О гл в Рис. 181 41.3.
Вычисление длины дуги плоской кривой Прямоугольные координаты Пусть в прямоугольных координатах дана плогзгая кривая АВ, уравнение которой у = /(х), где а < х < Ь. Й Под длиноб дреи АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеяьев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у =,/(х) и ее производная р' =,/'(х) непрерывны на отрезке (а; Ь), то кривая АВ имеет длину, равную Применим схему 1 (метод сумм). 1. Точками хо = а, хы..., хл — — Ь (хо < хг « ...
х„) разобьем отрезок 1а; Ь) на и. частей (см. рис. 182). Пусть этим точкам соответствуют точки Мо = А, М„..., М„= В на кривой АВ. Проведем хорды МоМы МгМв,..., Ми .гМ„, длины которых обозначим соответственно через ЛТ«, /1Х~,..., /Х/ „. Получим ломаную МоМг Мв... М„гМ„, длина которой равна В = гх/» + Ыв +... + гть„=,~ /х/г- (41.5) Рис. 182 с ю,а=„'Т;-~Юр,' 'гь .
285 284 2. Длину хорды (или звена ломаной) ЬХ„можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами юг; и ььуг: ью =рТь*Рь(ьрГ, где Ьх; = х; — х; г, ььу; = Дх;) — у(х; т). По теореме Лагранжа о конечном приращении функции юььу; =,~7(с,) вихрь где сь с (хг — г ть). Поэтому ьь= (ью'+юг(;) ь г= г имг ь;, а длина всей ломаной МсМ ...М„равна а и юа= Еьюг= ~ ююю+О%У ь*,ь юююю).
р=г р —...1 3. Длина 1 кривой АВ, по определению, равна 1йп .1а = 1пп Ъ ььЬ;. аюахаср — ро арахавю-юю~-~ р ью, ю ь*; ю уа.;=,Яь„~",~ьрГ ю '"" "~а*~~ай) ар а рю+[ГЮ т резке (а; д), так как, по условию> непрерывна функция ур(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда гпах юьхь -+О: ю= ю ~югр+(7~;ь'ь*;=1 юююю(гыга*. (и — рсс) а ь г юр,ю= 1' 'Т+~~*ТРь, р р ь а = 1 юЛ+РТа а Если ураннение кривой АВ задано в параметрической форме о <1< 8, х = х(г), у =уИ), где х(ь) и у(ь) — непрерывные функции с непрерывными производными и х(о) = а, х((1) = Ь, то длина 1 кривой АВ находится по формуле Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой Ргь х = х(ь), дх = х'(1) г1г, 1'(х) = —;-' — ) .
При мер 42.4. Найти длину окружигкти радиуса В. 1,,Ь Репгение: Найдем — часть ее длины от "гочки 1 4 (О;В) до точки (В;О) (см. рис. 183). Так как у = х2 1 хт х н д. — 1рх / 1+,, ю1х=В агсвш — ~ =В о Значит, 1 = 2яВ. Если уравнение окружности запи- Рис. 183 сать в параметрическом виде х = Всгвь, у = Ввш (О < 1 < 2т), то ь ( — ВьиЯх+ (Всов1)2Щ = Вь~ = 2кВ о Вычиспение длины дуги может быть основано на применении метода дифференциала.
Покажем, как можно получить формулу (41.3), применив схему П (метод дифференциала). 1. Возьмем произвольное значение х б [а; Ь] и рассмотрим переменный отрезок (а; х). На нем величина 1 становится функцией от х, т. е. 1 = 1(х) (Х(о) = О и 1(Ь) = 1). 2. Находим дифференциал гй функции 1 = 1(х) при изменении х на малую величину ьтх = аГхг й = 1р(х) дх.
Найдем у(х), заменяя бгюконечно малую дугу М1р' хордой Ы, стягивающей эту дугу (см. рис, 184): ) „ью 4ь Р+юьрг ах-рс Ьх а -+с Ьх = юь уюю ( — ") = ююю(рв . Рис. 184 Рис. 185 Рис. 187 Рис. 186 Поэтому 3. Интегрируя й в пределах от а до 5, получаем1 = / ф+ р' тих. Д Равенство Ж = ф + р,'в Их называется формулой дифференцмала ддви в прямоугольных координатах. Так как р,' = — и, то к = Яйг +Тьг. Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для беско4 печно малого треугольника АХСТ (см. рис.
185). Полярные координаты Пусть кривая АВ задана уравнением в полярных координатах т = т(р), а < р < 13. Предположим, что т(1р) и т'(р) непрерывны на отрезке 1а; 13]. Если в равенствах х = т сов 1р, р = т вшу, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол 1о, то кривую АВ )х = т(~р) сги~р, можно задать параметрически Тогда '(р= (р)в ~р. < х' = т'(~р) сов у — т(р) гйп 1р, д' = т'(~р) вш у + т Я сгн р.
у ь7.~ (г )* = = нрьГ~-вв ' в*.~тм) ' ~ '- м и)*= Т У;~/ап г('1 ~, 1'/ 1., айаг" ~- = Л~%* «-Жу 11рименяя формулу (41.5), получаем Промер 41.Б. Найти длину кардиоиды т = а(1 + сов 1о). (,Ь Рещепие: Кардиоица т = а(1+ сову) имеет вид, изображенный на рисунке 188. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем по- ловину длины кардиоиды. 1 2 ~ о+ Юг+и- ' го'4'='(~Лтт ~ Ф= о о =а11 2.2совв — Фр=2а~ сов — Йр=4а ° вш — ~ =4а. ° я г я . 'р! 2 l 2 2~о о о Таким образом, 21 = 4а.
Значит, 1 = 8а. 1 41.4. Вычисление объема тела Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений Пусть требуется найти объем 1г тела, причем известны площади Я сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ох: Я = Я(х), а < х < Ь. Применим схему П (метод дифференциала). 1. Через произвольную точку х е [а; Ь) проведем плоскосп П, перпендикулярную оси Ох (см. рис. 187). Обозначим через Я(х) площадь делах от а до Ь: Ъ'= ) 5(х) дх. а Ц Полученная формула называется формрлой обвема йпела илоиЬади иараллельмььт сечений.
(41 сечения тела втой плоскостью; Я(х) считаем известной и непрерывна изменякяцейся при изменении х. Через п(х) обозначим объем части тела, лежащее левее плоскости П. Вудем считать, что на отрезке [а;х] величина в есть функция от х, т. е. е = п(х) (п(а) = О, п(6) = Ь ). 2. находим дифференциал л' функции и = в(х). Он представляет собой евлементарный слой» тела, заключенный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и х+ ьйх, который приближенно может быть принят за цилиндр с основанием Ях) и высотой дх.
Повтому дифференциал объема дЪ' = о'(х) г1х. 3. Находим искомую величину Ъ' путем интегрирования дА в пре- Ъ'й = гг / х г1р. с (41.8) Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной фУнкЦии х = агу(Р) > 0 и ЩУЯмыми х = О, Р = с, Р = г( (с < И), то л убьем чела, образованного вращением втой трапеции вокруг оси Ор, по йпалогии с формулой (41.7), ранен зуммер 41.6. Найти объем вллипсоида — 2- + р + -р — — 1. Х2 в 22 а г (,) Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной гигоскости Орх и на расстоянии х от нее ( — а < х < а), получим эллипс (см.. рис. 188): р р + = 1.
— (с /1 — )2 Площадь етого вллипса равна 5(х) = х22 .гбс(1 — -т). Поэтому, по формуле а (41.6), имеем Рис. 188 Ь' = тбс / ~1 — — ) г1х = -табо. йь. / [ 2) -а сечений, получаем о й Ъ;=я ) р~дх. а (41.7) Объем тела вращения Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, ог.ра-' нвченная непрерывной линией р = 1(х) ) О, отрезком а < х < 6 и' прямыми х = а и х = б (см. рис.
189). Полученная от вращения фигура,. называется телом вращения. Се гение этого тела нлгускостью, перпендикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох (х е [а; Ь]), есть круг с радиусом р = 1 (х). Следовательно, Я(х) = 2 рй. Применяя формулу (41.6) объема тела по площади параллельных Рве. 189 П1уимер 41.Х Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями р = — *, х = О, р = 22/2 вокруг оси Ор (см. рис.
190). О Решение: По формуле (41.8) находим: Ь'2 = т / 2р "р = яр [о —— 8гс е 41.5. Вычисление площади поверхности вращения Пусть кривая АВ является графиком функции р = )'(х) ) О, где х Е [а; 6], а функция р = 1(х) и ее производная р' = 1'(х) непрерывны на этом отрезке. Найдем площадь Я поверхности, образованной врагцснием кривой АВ вокруг осн Ох. Применим схему П (метод дифференциала). 1. Через произвольную точку х е [а; 6] проведем плоскость П, перпендикулярную оси Ох.
Плоскость П пересекает поверхность вращения по окружносги с радиусом р = 1'(х) (см. рис. 191). Величина Я поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от х, т. е. й = й(х) (й(а) = О и й(б) = Я). 1й Конанакулашлнй ш анашой мшамшнка. Полный кура 289 ь А = 4[В(х) с(х (41.10) (см. и. 36). х = а(1 — вшс), 0 < Ф < 2гг. у = а(1 — совг), 290 2. Дадим аргументу х приращение стх = дх. Через точку х + йт е [а; Ь) также проведем плоскость, перпелдикулярную оси Ох. суункпи з = з(х) получит приращение с1з, изображенного на рисунке в внд с<пояска».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
