Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Найти интеграл / / 3+ вшх + сов х С1 Решение: Сдечаем универсальную подстановку 2 = гк х. Тогда 0х = 2 Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными вшх и совх, над ко-. торыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание,. умножение и деление) принято обозначать Л(вшх; сов х), где Л вЂ” знак рациональной функции. Д Вычисление неопределенных иттеграпов типа 2~Л(вши; сов х) >Ь сводится к вычитлеиито интегралов от рациональной функции подстановкой $3 — = 2, которая называепя р>ииоерсальиой. х , Следовательно, 2 >гг 21 1+1' 1+2' 1+22' дх 2й' ( >12 3+вшх+совх 1 (1+12)(3+ — г-', + —,'=-") l Р+1+2 г 42+ ) 2 2+ —.' 2 1+2232 11ример 82.2.
Найти интеграл 1 = ) —: — г —. тЬ 1 1+ил х (,1 Решение: Так как 1 1 Л( — ив х; — сов х)— 2 2 1+ (- 21пх)г 1+ 21пг х то полагаем ~3 х = С Отсюда тй 2 22 х=агс231, >Ь= — и вш х=— 1+Р 1+гйгх 1+Р П у >12 1 т т)(чт21) (1 „р)(1 „и ) 1 2~2+1 ьт2./ (2Г21)г+1 1 = — агсййчl22+ С = — агсгв(чт223х) + С- ° Я Л 32.2. Интегралы типа / ап х-соввхвЬ Для нахождения таких интегралов истюльзуются следующие приемы: 1) подстановка вш х = 1> если и — целое попожительное иечетпное число; 2) подстановка сов х = 1, если ш -- целое положительное печеное число; 3) формулы понижения порядка: сов х = — (1+ сов 2х), ип х = 2, г 2 1 2 ' ' 2' = — (1 — стж2х) ипх совх =. — ип2х если тп и т> — пелые иеотприт1атпельиие четпние числа; 4) подстановка Фаях = 1, если та + п — есть четное отрицательное целое число.
11ример 32.3. Найти интегРал 1 = ~ ип" т сов (~ Решение: Применим подстюювку япх = 6 Тогда х = агсвшз 41х = 1 > — Ги, с4?ах = /à — $2 и 42 44 Г 25 4 — 4 .( /1 ' Р) . — ~З (1 12)282 — ~(24 21ь+Зв) й Л:М ° З, . 2, - В, 1 2 1 — 2 — + — +С= — вш х — — в?п х+ — вш х+ С. 7 9 5 7 9 ПРимеР 224. Найти интеграл 1 = / в1п х совз х 4(х О Решению 1= ( (вшхсовх) яп хдх =- ~ — яп 2х ° — (1 — сов'2х) 41х = 2 .
2 Г 1, 2 1 14 2 = — у яп 2х41х — — ( в1п22хсов2хГ(х = — 4 — (1 — сов4х) 4(х— 81 — — 14 вш 2х44(яп2х) = — х — — вш4х — — вшз 2х+ С. 16 64 48 11ример 22.6. Найти интеграл 41х = (Г совх-вш х 1 сов 42 сов р' = -(сов(42 — 2) + сов(о + 46)), 1 в?п Гз в?п р' = — (сов(42 — 8) — сов(о + 6) ). 2 П44пзмер 22.6 Найти интеграл 1 / в?п 8х сов 2х 44х (,Ь Решение: 1 1 = / 21пбхсов2хдх = — / (вш10х+ япбх) 4?х = 21 1 1 1 = — ~ — — сов 10х — — сов бх) + С.
° 2 10 6 533. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 33.1. Квадратичные иррациональности Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции. Интегралы типа ах'+ Ьх+ с атз + Ьх+ с ( ~ Резпение: Здесь и? + и = — 4. Обозначим 18х = С Тогда х = агс681, дх =- — т, япх = — Г===, сов х = и + г ?441+ 12 14Г1+ Р Ю 2 — — /'— — à — з 41 ?,. —— У, а= (1-за+ /' М+Е2 (Л+РР4 зз 1 1 2 — — — + 1и )1! + С вЂ” — — с~8 х + 1п ~ 'ьб х~ + С.
32.3. Использование тригонометрических преобразований Нпп?егралы тапа ~ яп ах - совЬх4?х, ( совах. сов бх4(х, й ? и вш ах яп Ьх 41х вычисля?ется с помощью известных формул тригоноегрии: 1 вш 42 совб = — (в1п(44 — (1) + 21п( + Г4)) анп называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом выделить полный квадрат ахз + Ьх + с = Ь с Ь 2 с Ь 2 44?с — Ьз "1х ) И 2а) а 4аз) и сделать подстановку .т + — = С При этом первые два игггегрзла при- Ь 2а водятся к табличным, а третий — к сумме двух табличных интегралов.
Пример 22.1. Найти интегралы 1 = 1 4х2 + 2х (~~ Решение: Таккак4х +2х+1=4 х + — х+ — =4 х+4 + —, 1, 1, 1 8 2 4 4 1= — д ,/474. '-4'+ — '~ ф* 6' — ' 25? Следовательно, Интегралы типа 254 .255 1 = бф+1+ — ) 42 =31'+ бг+ 6)п~1 — Ц+С = 3 «г/х+ 2+ б о«/х+ — 2+ 01 ~ и/ — + — 2 1(+ С ° Пр 33.5.
У имер .. Указать подстановку для нахождения интегралов: ~/х-1 г я+1 — 42х, 1 — / / 2 х-х ~(х-1 (1-х)г (;~ ешенне: Для 14 подстановка х = гг, для 1г подстановка х + 1 = Ьг. х — 1 ЗЗ.З. Тригонометрическая подстановка /В(х'айаг — хг)ах, /г1(х;«Д2+хг)д /Н(~, Я ' приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических ф нк й фу кци б с помощью- слсзующих тригонометрическит подстанооокп х = а . зш Ф для первого интеграла х = а ° г г рого интеграла х = —. для третьего ин егр ; х = а ° я для з)п г т .рала. Пример 88.6. Найти ицтеграл 1 = / ~~~ 4Ь.
О Решение: Положим х = 2 яп1, дх = 2 созг 4М, Ф = агсзш х. Тогпа 2' 1 444-4 ' и 4сазг1 ° г 2 сов г гй = / — ай = йяп 8 14-гг гг гн г 1444 = — с"йг — Ь+ С = = С вЂ” агсяп — — сгцап ь1п 4) — С агс -, ч44 4Е* П4:т') япг г Зг.4. И Р г Л44444~*+~+444 днесь подынтегральная функция есть рациональная функция от,ГЫ4Ь4.П~ „44, » 4 драт и сделав подстановку х + — = 1, интегралы указанного типа Ь приводятся к интегралам уже рассмотренного типа, т. е.
к интегралам типа / й(1; «44аг г— Ьг) 4й, / В(Ь «1аг + пг) ай / 14(4 "~й~ — аг) гй. Нти интегралы можно вычислить с помощью соотвегствук4щих тригонометрических подстановок. Пример чУ„7. Найти интеграл 1 = / хг + 2х (х+ 1) О Решение: Так как хг+ 2х — 4 = (х+ 1)г — 5, то х+1 = 1, х = 4 — 1, дх = .Я вЂ” 5 =44П .44=~Ы 444П„. 4=-'44-,44==.Ф4~4.. япг' гп1 г г = агсзш л —. Тогда Ь и-г 4 — ( — «(5) соз г 1 /' г з 1 — - 41г — — — соз гдг— гггг — з1пг г й4П 1 1 г Л| 1. = — — ° — ( (1 + сог 2з) 41г = — — р + — яп 2з) + С = «15 2 10«2 ф «15 1 1 15«. = — — ~агсяш — + —,гш~2агснш — д + С = 10'«1 2 '«1 Л Лг .
«Г5 1.2 «45« = — — ~агсзш — + — вш~2 агсяп ~1 + С = 10 «х+1 2 «х+ 111 ь „:и р ° 4* ~н 4 ьЬ 4- дить с помощью подстановки х = —. Г 33.5. Интегрирование дифференциального бинома Интегралы типа / х ° (а + Ьх )" 4)х (называемые интегралами ат ди5г45ереиииального бинома), где а, 6 — действительные числа; ш, и, р — рациональные числа, берутся, как показал Чебышев П.А., лишь в СЛуЧаЕ, КОГда ХОтя бЬ7 ОДНО ИЗ ЧИСЕЛ р, ™ — +-а ИЛИ тт«Х-4 + р яВЛя и п целым. Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется следу ющими подстановками: 1) если р — целое число, то подстановка и = 1й, где Ь вЂ” наим шее общее кратное знаменателей дробей гп и и; 2) если + — целое число, то подстановка а+ Ьх" = г', где в и знаменатель,лроби р; 3) если ~+ 1 + р — — целое число, то подстановка а+ Ьх" = х 7« где з — знаменатель дроби р.
Во всех остальных случаях интегралы типа / х™(а + Ьх")" не выражатотся через известные элементарные функции, т. е. «не рутся». з МХрййаиер 88.б. Найти интеграл 1 = ~ бх. 27х т,з Решение: Так как 7 — У х- а . (1 + х1) и дх, то гп = — —, и = 4, р = —,, ул = 2. Поэтому делаем подстанов 47х+1= 72 т = (72 — Ц4 бх 4(зв 1)з 372711 З зт'42УХ+1 Так образом, 12Р(зз — 1)з ай = 12 ~(1~ — 12) ай = (аз 1р «7 = 12 .
— — 12 . ' + С = ( 4/Х + 1)а — 3 .( 47Х + 1)а 7 4 7 3 34. «БЕРУЩИЕСЯ» И «НЕБЕРУЩИЕСЯ» ИНТЕГРАЛЫ Как уже отмечалось вьпле, операция интегрирования функций за чительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всег выбранный путь интегрирования является наилучшим, более кор ким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не ез ствепным способом.
Многое зависит от знания рекомендуемых мног искусственных приемов интегрирования, от сосубразительности, от тренироианности. Например, 7 —  — можно найти, не используя реког бх 2бб иоцдуЕМуЮ ПодетавОВКу зя Х = $, а ПРИМЕНИВ ИСКуГХутВЕНЫЫй ПРИЕМ: + ~1~2 х)' 7 сова х l сове х аь2 Х аьй Х 2 2 . 2 г совз х совз х сивз х ряд ли стоит вычислять интеграл Зхз + 4х + .т' х(хз+ 2х+ 2 з 1 = 1йтх+ — $к' х+ — вк х+С. 3 5 азлагая подынтегральнуго функцию на простейшие дроби: Зхз+ 4х+ 1 Зхз+ 4х+ 1 А В С х(хз+2х+ 1) х(я+1)2 х х+1 (х+1)2 + + стив, что числитель Зхз+ 4х+ 1 являецш производной знаменателя (х'+2х+1) =хз+ 2хз+х, легко получить: Зхг+4х+1, б(хз+2хз+х) б.=1' .
' =1~2 ' ! = 1и ~хз + 2хз + х~ + С. х(хз + 2х + 1) 1 хз + 2хз + х е * дх — интеграл Пуассона (теория вероятностей), -- интегральный логарифм (теория чисел), 1пх а Коими«та«к«из по аммаай мат матика. Лмаъ«куак 257 На практике при вычислении неопределенных интегралов испольют различные справочники, содержащие таблицы особенно часто тречающихся интегралов. В частности, «Таблицы неопределенных интегралов» М.
Л. Смолянского. Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях вычислить неопределенный интеграл, т. е. найти первообразнуку функцию для подынтегральной функции. Как известно, всякая непрерывная 7Ьраакайия имеет переообразяую. В том с.лучас, когда первообразная некоторой элементарной функции 7(х) является также элементарной функцией, говорят, что ( 7'(х) дх «берется», т. е. интеграл выражается через элементарные функции (или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл «пе берется» (или «его найти нельзя»).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
