Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 31
Текст из файла (страница 31)
2 7. Исследуем функцию на экстремум. Так как у' = — х — +21~, 2 (1 — х) ' критическими точками являются точки х4 = 1 и х2 — — — 1 (у' не существует), но они не принадлежат области определения функции. Функция экстремумов не имеет. 8. Исследуем функцию на выпуклость. Находим у": 2х(1 2)2 (х2+ 1)2(1 — хз)( — 2х) 2х(х + 3) (1 х2)4 — хз)З вЂ” 1 0 1 М 12 Рис. 159 Рис.
160 Вторая производная равна нулю или не существует в точках х2 = хй О, х2 = — 1, хз — — 1. На рисунке 159 представлена схема изменения Т акое второй производной исследуемой функции. Точка О(0,0) — точка перегиба графика функции. График выпуклый вверх на интервалах ( — 1; О) и (1; оо); выпуклый йиз на интервалах ( — со; — 1) и (О; 1). График функции изображен на рисунке 160, В определении функции у = !(х) не говорится о том, при помощи каких срелсгв находятся значения у по значениям х.
В тех случаях, з когда функция является формулой вида у = — ' — 5х + 7, значения — х функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но квк найти значения, например, функций у = з1пх, у = 1п(1+ х) при любых (допустимых) значениях аргумента? Для того, чтобы вычислить значения данной функции у = !(х), ее заменяют многочленом Рв(х) степени п, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функпию многочленом дает формула Тейлора.
2б.1. Формула Тейлора для многочлена Пусть функция Дх) есть многочлен Р„ЯХ) степени и: ,((х) = Р„(х) = ао + а2Х+ азхз +... + а„х". П сб ресбразуем этот многочлен также в многочлен степени и относительно разности х — хо, где хо — произвольное число, т. е. представим Р„(х! в виде Ря(х) = Ао+ Аг(х — хо) + Аз(х — хо) + .. +Ак(х — хо)". (26.1) Для нахождения коэффициентов Ао, Аы..., Ая продифференцируем и раз равенство (26.1): Р„'(х) = А) +2А2(х — хо) +ЗАО(2; — хо) +...+пА„(х — хо)" ', т. е.
Р„"(х) =2А2+2 ЗАз(х — хо)+... +п(п — ЦА (х х ) -2 'г имеем: Р„'(хо) = Аы Р„'(хо) = 2А2, т. е Р„',"(:то) = 2-ЗАз Рч!"!(хо) = п(п — 1)... 2 1А„, т. е. А (я! кй П одставляя найденные значения Ао, Ам..., А„в равенство (26.1), получим разложение многочлена и-й степени Р„(х) по степеням (х — хо): .1гг(Х) = Ри(ХО) + (Х ХО) + (Х Х ) + ... Р;,(Хо) Р„"(хо) П 2! ... +, (х — хо)". (26.2) Ррб(ХО) 215 Р„"'(х) = 2 ° ЗАз + 2 . 3 ° 4Аг(х — хо) + - ° + п(п — 1Кп — 2)А (х — хо)" Р„" (х) = п(п — 1)(п — 2)...
2 ° 1А„. Подставляя х = хо в полученные равенства и Р„(хо) = Ао, т. е. равенство (26. 1), '40 Ргг(ХО)г Р,',(хо) Аг — — —" Р„"(хо) 2! А Ри (Хо) 3! Формула (26.2) называется фор2нрлогу Теблора для многочле- на Р„(т) сгаепени и. Пример 26.1. Разложить многочлея Р(х) = — 4хз + Зхз — 2х+ 1 гю сгепеиям х + 1. ~~ Решение: Здесь хо = — 1, Р'(х) = — 12Х2+ бх — 2, Р"(х) = — 24х + б, !гггг(х) = — 24. Поэтому Р( — 1) = 10, Р'( — 1) = — 20, Р"( — 1) = 30, Рта( — 1) = — 24. Следовательно, — 20 30 -24 Р(х) = 10 + — (х + 1) + — (х, + 1) + — — (х + 1) ', 1 2! 3! — 4хз + Зхз — 2Х + 1 = 10 — 20(х + 1) + 15(х + 1) 2 — 4(х + 1)з ° 2б.2. Формула Тейлора для произвольной функции Рассмотрим функцию у =,г(х). Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях„приближенно предсз'авить функцию г'(х) в виде многочлена и дать оценку погрешности этог.о приближения.
Теорема 26.1. Если функция г(х) определена в некоторой окрест- ности точки хо и имеет в ней производные до (и+ 1)-го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка с Е (хо! х) такая, что справедлива формула Дх)=У(хо)+ — „-(х-хо)+ 2, -( -~о) 2 (ХО) г (ХО) 2 ьй (и+ 1)! (с = хо + 0(х — хо), 0 < 6 < 1). (26.З) Д Формула (26,3) называется !роргнУлог' Тейлор у( ) Э ф мулу можно записать в виде ~(х) = Ро(х) + и.
г(~) где Р (х) ((хо) ! (х -хо) + (х хо) + - " + (г(хо) У (хо) 2 2 (™) Д называется гнного членом Теблораг а ,! !~~ ~(с) „+ (и+ 1)! дЬ вЂ” 1) "(д — п)(1+с)" " ', е (и+ 1)! ,> называется осгпатпочным ь«еьиии формулы Тейлора, записан- П ным в форме Лагранжа. Л„(х) есть погрешность приближенного равенства Дх) Р„(т). Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию у = 1(х) многочленом у = Р„(х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена Я (х). Д При хо = О получаем частный случай формулы Тейлора —. фора«улу Маклорена: (О) : У(о) У (0) 2 1~ ( ) „ 7Ф )(') +1 1! 2! и! (и + 1)! где с находится между 0 и х (с = дх, 0 < 6 < 1).
ПРи и = 0 фоРмУла ТейлоРа (26.3) имеет вид Дх) = 1(хо) + +,('(с)(х — хе) или У(х) — Дхв) = ~'(с)(х — те), т. е. совпадает с формулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для приблгокенных вычислений 1(х) = Дхе) + 7"'(хе)(х, — хо) (см. «ддфференциал функцииэ) является частным случаем более точной формулы У'(хо) (!"!(хо) 1(х) 1(хо) + , (х — ) + .- + , (х — *о)". Пример 86.2. Найти число е с точностъю до 0,001.
! ! Рев1ение: Запишем формулу Маклорена для функции 1(х) =с*. На; ходим производные этой функции: 1'(х) =е', 7" (х) =е«, ..., 1!"+1>(х) = =е«. Так как 7(0)=ее=1, ~'(0)=ее=1, (!")(0)=1, (!"+1)(с)=е', то по формуле (26.4) имеем: 2 3 хп веха+1 е =1+ — + — + — +...+ — + 1! 2! 31 и! (и+ 1) .' 1 1 1 еь с=1+ — + — + — +...+ — + 1! 2! 3! ' и! (и+1)! Для нахождения е с точностью 0,001 определим и из условия„что ес остаточный член «в -, меньше 0,001. Так как 0 < с < 1, то е' < 3.
(и+ 18 Поэтому при п = 6 имеем ес — < — = 0,0006 < 0,001. 7! 5040 Итак, получаем приближенное равенство 1 1 1 1 1 ем1+1+ — + — + — + — + — ~ 2! 3! 4! 5! 6! 2 + 0,5+ 0,1667+ 0,0417 + 0,0083+ 0,0014 = 2,7181 м 2,718, т. е. е 2,718. Ф Приведем разложения по формуле Маклорена некоторык других элементарных функций: ,3, з .2в+1 зв+З а!и х = х — — + — —...
+ ( — 1)" + ( — 1) "+' с1и с, 3! 5! (2п + 1)! (2п + 3)! х~ зв 2«+2 сов х = 1 — — + — —... + ( — 1)в — + ( — 1) "+ ° созе, 2! 4! ' (2п)! (2п + 2)! х2 хз хп .и+1 1п(1+ х) = х — — + — +... + ( — 1)" -' — + ( — 1)" 2 3 и (и+1)(1+с)вы' Глава Ч!. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА й 27.
ПОНЯТИЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ 27.1. Основные понятия комплексным числам х называется выражение вида х = х+ 1у, Д где х и у -- действительные числа, а 1 — так называемая мнимая единица, гз = — 1. Д Если х = О, то число О + 1у = гу называется чисто мнимым; если у = О, то число х+ гО = х отождествляется с действительным числом х, а зто означает, что множество Й всех действигельных чисел . является подмножеством множества С всех комплексных чисел, т. е. йсС Д Число х называется дейстпвитаельной частью комплексного числа х в обозначается х = Вез, а у — мни.мой частью з, у = 1шз. Г Два комплексных числа зг — — хг + гуг и гз = хз + 1уз называклс равнмми (х1 = хз) тогда и только тогда, когда равны их действи тельные части и равны их мнимые части: гл —— хю у1 = ух. В частности, комплексное число з = х + (у равно нулю тогда и только тогда, когда.
х = у = О. Понятия <болыпе» и «меныпе» для комплексных чисел не вводятся. Й Два комплексвъпг числа з = х + 1р и й = х — гу, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сварлзгсенныма. 27.2. Геометрическое изображение комплексных чисел Всякое комплексное число з = х + 1у можно изобразить точкой М(х;у) плоскости М Оту такой, что х = Вез, у = 1шх. И, наоборот, каждую точку М(х;у) координатной г плоскости можно рассматривать квк образ 3 комплексного числа з = х+ 1у (см. риг. 161).
Д О х х Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется жома- Рис. 161 лежснвй алвсжостаью. Ось абсцисс называется дейставитель осью, так как на ней лежат действительные числа з = х + 01 = х. Ось ординат называется,мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа г = О + 1р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
