Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Тогда по теореме Лагранжа Лс Е (х1, 'хз) такая, что ~(хт) — Дх~) = 3'"(с)(хз — х1). Но по условию г'(х) = О, стало быть, 1'(с) = О, где х1 < с < хт. Поэтому имеем )(хз) — Дх1) = О, т.е. агсып х+ атосов х — С. Положив х — О, находим О+ — — С, т. е. С вЂ” —. 2' Поэтому ацншх+ агссовх = 2. Это равенство выполняется и при т = *1 (проверьте!). Аналогично доказывается, что атс15 х + агсстй х = а. 2' Формуле Лагранжа можно придать другой виц.
Применив теорему Лагранжа к отрезку [х; х, + Ах) (Ах > 0), будем иметь Дх+ Ьх) — 1(х) = 1'(с)сХх. (25.3) Каждое число с Е (х; х + Ьх) можно записать в вице с = х + дух, где 0 < д < 1 (действительно, х < с < х + Ах = — > 0 < с — х < Ах =ь =э 0 < с х < 1; положим 9~:х = О ==~ с = х+ дух). Формула (25.3) х х примет вид ,((х + Ах) — Дх) = У'(х + И~х) Ьх, где О < В < 1. х, сд с х+Ьх хосх Рис. 143 25.2. Правила Лопиталя и т,д. хх1оиэиер 25.2.
Найти Нэп * -+1 х1пх УУРтмиер 2эб Я Найти йпэ х-+О 2х О Решение 1пп — = 1пп —, Дх) ~'(с) х-эха у(Х) х-эхо уэ(С) ленности вида — . со Используя теорему Лагранжа, можно оценить точность прибшэ-' женного равенства эзр — э19. Сделаем зто, считая, что функция Дх) имеет непрерывную вторую производную уээ(х): ,1, = (у( + Лх) - Их)) — У'(х)5х = Х'( )Ьх- Х'(х)Ьх = =(Г(с)-~'(*)) х=~х(апс-*) *, где ст б (х; с) (рис. 143).
Итак, Ьр — др = уээ(сэ)(с — х)Ьх. Пусть М = шах [(э'(т)[. Так (х;х+ах] как ~с — х) ( Ьх„а уэ'(сэ) ( М, то получаем оценку )ЬР— др( ( М[Ьх)з. Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида — н —, ко- 0 оо 0 со' торый основан на применении производных. Г' Теорема 25А (Правило Лопмталя раскрытия неопределенностем 0 0 ' а — ).
Пусть функции дх) и у(х) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки хо и обращаются в нуль в втой то~ке: тх( ) „( ) — 0 Пус1-ь ф(х) ф О в окрестности точки хо. Если существует предел,!пп -, =1, то 11ш - ' = 1пп =т — — — 1. 'х — эхх д (Х) х-эхо У(у) х — эхо ф (Х) д Применим к функциям у (х) и оэ(х) теорему Коши для отрезка [хо, 'х лежатцего в окрестности точки хо.
Тогда =,, где Р х — у(хо) ~'(с) ' лежит между хо и х (рис. 144). Учитывая, что У(хо) = у(хо) = ~ получаем Дх) у'(с) (25. у(х) уэ'(с) При х — э хо, величина с также стремится к хо., перейдем в ра ство (25.4) к пределу: Так как 11пэ —, — =1, то 1;ш ь ) 1 Позтому йп, Уф1 х-эхо т' (х) ' — эхо ~о (с) х-+хо ~ээ Х) КоРотко полученную формулу читают так предел отношения двух Гжсконечно малых равен пределу отношения их производных, если < ледний существует. Зоэнечоннл 1 Теорема 254 верна и в слу ше когда функции т(х) и <р(х) не определены при х = хо, но 11ш 1(х) = О и й, „( ) — 0 х-эхо х — эхх Лостаточно положить 1(хо) = Бтп ((х) = О и у(хо) = йп„,(х) — О х-эхо х-+хо 2. Теорема 25.4 справедлива и в том случае, когда х — э оо. Действительно, положив х = — получим 1 х-+ х тэ(х) -+О уэ(~) -+о (хэ(1)) -+о уээ(ХИ ~э) + ю(, ) ' 3.
Если п1юизводные,('(х) я чэ'(х) удовлетворяэот тем же условиям, что и функции Дх) и у(х), теорему 25.4 можно применить еще раз: Ов Решение: 1пп — 1 — 1 — 1пп — 1пп = 1. Ф х — 1 101 (х — 1)', 1 х-эт х1пх [О~ х-м (х1пх)' хчы 1пх+ 1 1 — совбх О, бсйпбх 0 3 бсовбх пш з — = — = Ьп = — = — 1пп =9. ° х-- о 2хз 0 — о 4х 0 2 о 1 0 Теорема 25.4 данг возможность раскрывать неопределенность вида —. Сформулируем без доказательства теорему о раскрытии неопреде- Теорема 25.5 (Правило Лолиталя раскрытия неопределенностей вида — ).
Пусть функции 1'(х) и )о(х) непрерывны и дифференцируемы в окрест- ности точки хо (кроме, может быть, точки хо), в этой окрестности 1пп у"(х) = Епп гр(х) = сс, уол(т) ф О. Если существует предел х-лхо о-+хо х-+хо ул (Х) х-+хо !Ло(Х) х-лхо л)О (Х) Пример 25.«'. Найти 1пп -б —. х-+5 Фббх л,1) Решение: ввЗх ~сс1 . 3 совв5х 3 . 1+соа10х [01 -+ 1в бх (ос1 * — т сова Зх 5 5 — $1+ сллабх 101 3, — 10 ып 10х аш 10х ['01 „. 10 соа 10в: 5 = — 1пп = 1пп 5 *-+-, — 6 вш бх *-+, а)п бх [01 х-+, 6 сов бх 3 2-й спогсбх х-+ — ", 155х ос й -л 0 15(-и + 31), с15 31 ВК 51 5 = 1пп ~~ — = 1па = 1пп — = —.
° г-+о 13(бог+ 51) ог ш с)551 г-+о 1531 3 Раскрытие неопределенностей различных видов !! !Л*!Нс*.в = !о ! = ! —, = (-) [ о, — [ — )~!~ Х(х) (01 I . гр(х) ос 'й Например, 2 — х [01 4 = [оо 0) = Иш —, = И = 1пп х — лв сан пх 101 х-+в — — в — о- ° х лг Ип! Фб — (2 — х) х-+в 4 Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределелплостей вида — и —, которыо называют оснввиьми. Неопределенности 0 сс 0 сс' вида 0- сс, сс — ос, 1оо, осе, 0 сводятся к двум основным видам путем тождественных прстлбразований. 1.
Пусть 1(х) — в О, !р(т) — > сс при х -+ хо. Тогда очевидны следующие преобразования: 2. Пусть )'(х) — ! ос, л)о(х) -+ сс при т, -+ хо. Тогда можно поступить '!'в.к: 1ш! Щх) — )о(х)) = [ос — ос) = ='=-( —,'. --,',,) ='=.';." ,= И На практике бывает проще, олапримвр, 1 1 1 . х — 1 — 1пх ~0~ 1ш! — — = [сс — ос) = 1пп х-а ! 1пх, х — 1/ х-+! )пт, (т — 1) (0) х-+г:1+1пх ~0[ хгн ! + ! 2' х 3. Пусть или )'(х) л 1 и лр(х) -+ ос, или Дх) -+ сс и )о(х) -+ О, или 1(х) -+ 0 и лр(х) — + 0 при х -+ хо. Для нахождения предела вида Ип! у(х)"гх) удобно сначала прологарифмировать выражение х-Ф хо А = Х(х)т1х).
Пример 26.5. Найти Илп(соа2х)т. х — >о ( ) Реп!ение: Имеем неопределенность вида 1~. Логарифмируем выра! жение А = (сов 2т) т, получим: 1п А = тт 1п сса 2х. Затем находим предел! )и соа2х ! 01 — в ( аш 2х)2 1п 2т 1пп 1п А= Иггл И ооо вх *-+о *- о тв ~0~ о 2х х-ло 2х = — 2, т. е. 1п 1пп А = — 2. Отсюда 1пп А=е в, и 1пп (сов 2х) т =е в.
° х-+о х-+о:о -+о Решение можно оформить короче, если воспользоваться «готовой» формулой !пп лл1х)!пг1х) 1лп! )"(х)"гх) = е" 'о = ехр( Иш уг(т) 1п1"(х)) х-лхо ~х — !ха (использовано основное логарифмическое тождество: 1" = е'ил ). Прнмер 25.6. Найти Иш(! )лвх х-+о * О Решение: о = [сс ] = ехр( Игп1бх1п — ) = ехр(йп! — х — ) = о1х) ~ о х) ~ о с1бх) (, х( — т) 'л г . гигах~~~ =ехр(1пп ' =ехр~йплх~ — ) ) = ее' = е =1. Э )- [.. ° ~ х))- ! Ип х Рис.
145 Таким образом, (2х з ° е * при х ЗС О, Г(-).= [ (О при х = О. 201 П рммер Я5.7. Пусть 1()= е-х прихфО, 0 прих=О. Найти с'(х). (Дополнительно: найти усв)(0).) (,] Решение: При х ф 0 имеем ,г"(х) =е * ( — х ~) = 2е ' ° х з.
При т = 0 по определению производной: ('(0) = йш = 1пп ((О + Л) — ((О) , е хт Делаем замену у = лст и применяем правило Лопиталя 1 е тт1 ..„Iу . 1 1пп = 1пп — = 1пп — =О. л-,е Л ~ и-+сч ет т-юс 2./у ° ет Аналогично можно показать, что 7 с'ч(0) = О.
25.3. Возрастание и убывание функций Одним из приложений производной является ее применение к исгледованию функций и построению графика функции. Установим необходимые и достаточнью условия возрастания и убывания функции. (.З Пусть функция 1" (х) возрастает на интервале (а; Ь). Возьмем произвольные точки х и х + слх на интервале (а; Ь) и рассмотрим относпение -~ = ~ ~ . Функция г(х) возрастает, поэтому если Ах х л, с, *.~ с* * сс,~ье с(,л, л о, ° .~ с*<, с*+л* -с() с( ~ь*) ссса.с у х".= ~ о, квк числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки.
По условию теоремы функция 1(х) имеет произвнпную в точке х и является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно, у'( ) =- 1ы ~(х+~х) ~(х) > О. па-+е Ах Аналогично рассматривается случай, когда функция 7(х) убывает на интервале (и; Ь). Геометрически теорема 25.6 означает„что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках (на рисунке 145 в точке г збсциссой те) параллельны оси Ох.
с 1 Пусть |'(х) > О. Возьмем точки хс и хз из интервала (а; Ь), причем хс ( хю Применим к отрезку (хи хе) теорему Лагранжа: 1 (хз) — 7(хс ) = = 1'(с)(хт — хс), где с Е (хх.,хз). По условию Х'(с) > О, хт — хс > О. Следовательно, Х(хз) — Х(хс) > О или т'(хз) > У(хс) т. е. Функция Х(х) на интервале (а; Ь) возрастает. И Рассмотренные теоремы 25.6 и 25.7 позволяют довольно просто исследовать функцию на монотонность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
