Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Утверждения теорем 19.4 и 19.5, вообще говоря, делаются неверными, если нарушены какие-либо из ее условий: функция непрерывна не на отрезке [а; Ь), а в интервале (а; Ь), либо функция на отрезке [а; Ь) имеет разрыв. Рисунок 126 показывает это для следствия теоремы 19.5: граф разрывной функции не пересекает ось Ох. ХХример 19.5. Определить с точностью до е = 0,00001 корень уравнения е™~ + хз — 5 = О, принадлежащий отрезку [О; 1), применив метод половинного деления. 1'1 Решение: Обозначим левую часть уравнения через Х(х). Шаг 1. Вычисляем сэ = Х(а) и эу = Х(Ь), где а = О, Ь = 1.
Шаг 2. Вычисляем х = "+ 2 Шаг 3. Вычисляем р = Х(х). Если Х(х) = О, то х — корень уравненияя. Шаг 4. При Х(х) ф 0 если д. 1а < О, то полагаем Ь = х, 1Ь = р, иначе полагаем а = х, д = 9. Шаг 5. Если Ь вЂ” а — з < 0 то задача решена. В качестве искомого корня (с задашюй точностью з) принимается величина х = "+ Ь.
Ина- 2 че процесс деления отрезка [а; Ь) пополам щюдолжаем, возвращаясь к к|агу 2. В результате произведенных действий получим: х = 0,29569. ° 520. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 20.1. Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная пшроко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов. Скорость прямолинейного движения Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой.
Каждому значению времени 1 соответствует определенное расстояние ОМ = о' до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени 1, т. е. о' =,9(1). Рис. 128 Рис. 129 162 Это равенство называют законом движенья пючки. Требуегся найти скорость движения точки. Если в некоторый момент времени 1 точка занимает положение М, то в момент О М Мс ! вРемени 1+ Ы (сИ вЂ” пРиРаЩение вРЕмени точка займет положение Мы где ОМт = Я + »1Я (ЛЯ вЂ” приращение расстояния я(1+ьт) (см. рис.
127). Таким образом, первые ние точки М за время Ы будет сХЯ = Я(1 + Ы) — Я(1). Отношение — выражает среднюю скороспть движения точки ЬЯ время Ьй сХЯ Средняя скорость зависит от значения т1т: чем меньше Ьт, т точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данны момент времеви й Предел средней скорости движения при стремлении к нулю и межутка времени Ь1 называется скоростью двизсенил шочки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скоросп через К, получим К= 1пп —, или К= 1пп ~ХЯ Я(1 +»."И) — Я(1) (20.1) ьт-+о сх1 ' ьт-+в 2М Касательная к кривой Дадим сначала общее определение касателыюй к кривой.
Возьмем на непрерывной кривой Г две точки М и Мд (см. рис. 128). Прямую ММт, проходящую через эти точки, называют секущей. Пусть точка Мт, двигаясь вдоль кривой Г, неограниченно прибл жается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стрс., мится к некоторому предельному положению МТ, Ц Касатпельной к данной кривой в донной точке М назьсвж ется предельное положение МТ селсущей ММм проходящей че точку М, когда вторая точка пересечения Мт неограниченно прибли жается по кривой к точке Мт.
Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у = 7(х), имев щий в точке М(х; у) невертнкальную касательную. Найдем ее угло коэффициент к = ся о, где о — угол касательной с осью Ох. Для этого проведем через точку М и точку Мт графика с абсци сой х + Ьх секущую (см. рис. 129). Обозначим через д — — угол меж: секущей ММт и осью Ох. На рисунке видно, что угловой козффицие секущей равен с1у Г(х + Ьх) — Г(х) Йтьк = 1$»р = Ьх Прн Ьх -+ 0 в силу непрерывности функции приращение Ьу тоже стремится к нулю; поэтому точка Мт неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММс, поворачиваясь около точки М, переходит в касательную. Угол ср -+ о, т. е. Итп»р = ст.
ьт-+в Следовательно, 1пп Фпср = ся о. Ьт-то 4 Поэтому угловой коэффициент касательной равен 1 й=сбст= йпт 1я~р= йш — = Иш .1...Ьр, Г(х+ Ьх) — Г(х) (20.2) ь*-+а ь;эв Ы ь*-+о Лх К нахождению пределов вцца (20.1) и (20,2) приводят решения и множества других задач. Можно показа"ть, что: — если с„'» = ст(т) — количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время Ф, то сила шока в момстпп времени 1 равна схЯ . Я(1+ тз1) — Я(1) ьт-+е сх1 ьт-+о Ь1 — если И = Ж(1) — количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время 1, то скорость химической реакс1ии в мвмеиш вуемени 1 равна А!11, Л (1+ се!) — 77(1) К = йтп — = йпт (20.4) ьт-тв .тт1 ьт-тв Ь1 — если ти = ш(х) — масса неоднородного стержня между точками О(0; О) и М(х; О), то линейная плоптносшь сшержня в шочке х есть Ьш .
ш(х + Ьх) — тп(х) Я= 1пп = 1пп (20.5) ьт-та Ьх ь*-+о »"сх Пределы (20.1) -(20.5) имеют одинаковый вцд, "везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной. Эти пределы можно записать так: Г' =лт» тйо=у*~ Г=стт~ т =Жт~ (чнтается «1»" равно Я штрих по Гь„«тангенс ст равен у штрих по хэ и т. д.). 20.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл.
Уравнение касательной и нормали к кривой Пусть функция у = Дх) определена на нексэтором интервале (а; Ь). Проделаем следующие операции: — аргументу х е (а; Ь) дадим приращение Лх: х + Лх е (а; Ь); — найдем соответствующее приращение функции: Ау = Дх+ йх)— — Пх)' — составим отношение приращения функции к приращению аргу- Ли мента: ' Ьх' ДИ н айнем предел этого отношения при сгх -+ О: Итп — И. а схх Если этот предел суп1ествует, то его называют производной фупк- с, г ак г ции т'(х) и обозначают одним из символов у„у (х); р;; у . Д Производной функции у = 1(х) в тпочке хз называется предел отношения прирашения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Итак, по определению Производная функции Дх) есть некоторая функтптя т" (х) произ ведеиивл из данной функции.
Д Функция у = Дх), имеющая производную в каждой точке интерва- ла (а; Ь), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием. Значение производной функции у = 1'(х) в точке х = хв обозначается оцним из символов: 1'(хв), у'~ „или у'(хв). Пример х0.1. Найти производную функции у = С, С = сопят. 1л Решение: . Значению х даем приращение Ьх; — находим приращение функции схус сху = 1(х+ ьъх) — Дх) =С вЂ” С=О; — значит, = — = О; ' Ах 1зх Ьй — следовательно,у = Итп = Иш О=О,т.е. (с) =О. а* — ~в тзх а -+в Пример 20 3 Найти производнуто футткпди у О Решение: — Аргументу х даем приращение Ах; находим 11у: Ьр = (х+ Ах)х — хт = 2х ° Ах+ (Ах)т; — — т — ~ — — — *'~ —.~ — — 1 ~-ш, — находим предел этого отношения: 1пп — = Итп (2х + Лх) = 2х.
Ар ак-+о с1х а -+в Таким образом, (хв)' = 2х. В задаче про скорость прямолинейного движения было получено Ь" = 1пп ~~. ас- оЖ' Это равенство перепишем в виде И = Яс, т. е. скоросшь прямолинейного двт женив матпернальной точки в мамеипт времени с ветвь провзводнвл от пути Я по времени й В этом заключается механический смысл проозводтсой. ф Обобщая, можно сказать, что если функция р = Дх) описывает какой-либо физический процесс, то производнал у' есть скорость щюптекания энтого процесса. В этом состоит физический смысл производной. ф В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффипиент касательной й = Сйа = 1нп -.
Это равенство перепишем оп а*-то сх' в вице у'(х) = гяа = 1с, т. е. производнал 1'(х) в то асе х равна угловому козффициентпу касатаельной к графику функции у = 1(х) в таочке, абсцисса тсопюрой равна х. В этом заключается геометпрический смысл производной. Я Если точка касания М имеет координаты и= 1(х) (хз, уо) (см. рис. 130), то угловой коэффициент касательной есть и = у'(хв). Пользуясь ЛХ уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении (у — ув = к(х — хо)), можно записать уравнение касаптельной У вЂ” Ув = 1'(хв) .
(х — хв)- Д Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормальто к Рнс. 130 кривом. Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент 1 1 ~онори уках. т (хв) Паевому уравнение нормали имеет вид р — уо = — -т — (х — хо) 1 у (хо) (ссли 79(хо) ф 0). 20.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции Если Д (х) ~ у' (х), то производная в точке не существует.
Не .уществует производной н в точках разрыва функции. 2. Производная р' = 79(х) непрерывной функции у = 7'(х) сама не обязательно является непрерывной. ф Если функция у = 7(х) имеет непрерывную производную у' = у'(х) в некотором интервале (а; Ь) 9 то функция называется гладко9« Теорема 20.1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
( а Пусть функция у = 1(х) дифференцируема в некоторой точке х. Следовательно, существует предел 1нп — к = 7'9(х). А ь«- о гхх Отсюда, по теореме 17.5 о связи функции„ее предела и бесконе и малой функции, имеем — а = 1'(х) + а, где г9 -+ 0 при Ьх -з О, то 91 Ьу = 7"9(х) . Ах+ гт - 91х. Переходя к пределу, при Ах -+ О„получаем !пп Ар = О. А зто и Ьи — 9О означает, что функция р = 7'(х) непрерывна в точке х. Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
