Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 26
Текст из файла (страница 26)
2 Действительно, 1 = 1/х. Тогда Р = зйзз. Отскща Р„' = — ~з-, т. е. 2 31 3 22. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В ряде случасв,зля нахождения производной целесообразно заданную функцшо сначала ирологарпфмироеатиь. А затем результат продиффсренцировать. Такузз операцию называют логарифмическим ди15- Яеренцироеанием. ХХример 22.х. Найти производную функции (хз + 2) ° Ят — Цз ° ез (х+ 5) С1 Решение: Можно найти Р' с помощью правил и формул дифференцирования.
Однако такой способ слиппсом громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию: 1п Р =!п(хз + 2) + 3 1п(х, — Ц + х — 3 1п(х + 5). Дифференцирусм это равенство по х: 1, 1 3 1 1 Р = ° 2х+ —. — +1 — 3 Р ха+2 4 х — 1 х+5 (ха+2) - ~/(т — Цз е* / 2х 3 3 +1 ). Э (х+5)з ~ ха+2 4(х — Ц х+5) ' Существуют функции, производные которых находят лишь логаф рифмичсским дифференцированием. К их числу относится так называемая стпененно-нонаэагаельная ФРниция Р = и", где и = и(х) и о = о(х) — заданные дифференцируемые функции ог х.
Найдем производную этой функции: 1п Р = о 1п и, =--~ — - Р = о - 1п и + о - — - и, 1 Р и (л Решенно: у(ш> = вп х+ — 13 2 (~) ( (ь — 1))» Р32 СФормулируем правило запоминания формулы (22,1): производная степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии и = сопв$, и производной степенной функции, при условии о = сопзй Лример 22.х.
Найти производную функпди у = (з1п 2х)* +'. С> Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем: у'=(в1п2х)" +' 1пв1п2х 2х+(х~+1)(в1п2х)* сов2х.2. Ф Отметим, что запоминать формулу (22.1) необязательно, легче запомнить суть логарифмического дифференцирования. 323. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 23.1. Производные высших порядков явно заданной функции Производная у' = 1'(х) Функции у = г'(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка. Если функция ~»(х) дифферснцируема, то ее производная называется производной вгворого порядка и обозначается уо (или ~" (х), — $, дг дх —, ®, др — ).
Итак, уо = (у')'. Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается уо' (нли Х'"(х), — ~, ... ). Итак, у'о = (уо)'. Производной и-го порядка (или п-й производной) называется производная от производной (и — Ц порядка: Производные порядка выше первого называкпся производными омстих порядков. Начиная с производной четвертого порядка, производные обозна-' чшот римскими цифрами или числами в скобках (ум или уйй — производная пятого гюрядка). ПРимер 23.1.
Найти производную 13-го порядка функции у = = з1пх. у' = (зш х)' = сов х = вш х +— 2/ уо = (у')' = (сог х)' = — зш х = нп х + — 2 2 уо' = ( — сгп х)' = — сов х = зш х + — 3 у»у = ( — сов х)' = зш х = зш х, + — - 4 23.2. Механический смысл производной второго порядка Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону о' = 1(с). Как уже известно, производная дг» равна скорости точки в данный момент времени: ог —— 1».
Покажем, что о»лорал проигооднаг от пути по времени есть величина УскоРгнил пРЯмолинейного деижгнил точки, т. е. Яго = а. Пусть в момент времени Ф скорость точки равна 1», а в момент 1+ Ьг — скорость равна 1» + Г 1», т. е. за промежуток времени стг скорость изменилась на величину Ь1». Отношение — выражает среднее ускорение движения точки за сто» Ь~ время»3с Предел етого отношения при »гг -+ О называется ускорением точки М в данный момент 1 и обозначается буквой а: 1пп — = а, ьр ' ас- о »г1 т.е.
г" =а. Но 1» = 5». Поэтому а = (5»)', т. е. а = до 23.3. Производные высших порядков неявно заданной функции пусть функция у = г(х) задана неявно в виде уравнения г'(х;у) = О. Продифференцировав это уравнение по х. н разрешив полученное уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцнровав по х псрвую производную, получим вторую производную от неявной функции.
В нос войдут х, у и р'. Подставляя уже найденное значение р' в выражение второй производной, выразим р" через х и р. Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка. Промер 23.2. Найти р"', если хз + рз = 1. (,1 Решение: Дифференцирусм уравнение хз + рг — 1 = О по х: 2х+ '-2р.ц' = О. О Г = — р. д: гк = — — '.О:.*-:2,, р р р — х ( — -*„) 92+ хг 1 р р р' — (так как хз + рз = 1), следова— 1 3рз-р' 3 Г хт Зх тельно, рги =— 23.4.
Производные высших порядков от функций, заданных параметрически Пусть функция р = Х(х) задана параметрическими уравнениями х = х(г), р = р(1). Кэк известно, первая производная р„' находится по формуле 1 (23.1 Найдем вторую производную от функции заданноМ параметрически. Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что л г ~ ~ ~ ! ($~х)Ф рхк =(рх)х =(рх)~'гж =,ю ) т,1 Аналогично получаем гв Ь. т)е л (рх )с р*ьь = ю ~ рхкхк = хс 1х = сов1, крамер 28.Я. Найти вторую производную функции (р=вш О Решение: По формуле (23.1) (зш 1)', сгв1 (соз 8)', — в1п 8 Тогда по формуле (23.2) ( — с13 1), '~~ 1 Ф ( 1)1 з1п 1 ь1пз 1' Заметим, что найти р,", можно по прсобразоваяной формуле (23.2): (р.) (*.)~ р, ',-*, р, ~апоминать которую вряд ли стоит.
~1 24. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 24.1. Понятие дифференциала функции Пусть функция р = Х(х) имеет в точке х отличную от нуля производную йш — = Х'(х) ф О. Тогда, по теореме о связи функции, ес ~1в л~-+о Ах предела и бесконечно малой функции, можно записать —" = ~'(х) + а, где а-+О при Ах-+ О, или Ар = ~'(х) Ах+а ° Ах. Таким образом, приращение функции Ар представляет собой сумму двух слагаемых ('(х) .
Ах и а. Ах, являющихся бесконечно малыми при Ах — г О. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функ- ~'Ь~- Ъх ция одного порцлка с Ах, так как 1пп = Х'(х) ф О, а второе лж->О ~-~х слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Ах: а. Ах 1пп = 1пп а=О. л о Ах а-о Поэтому первое слагаемое Х'ф) ° Ах называют главной частью приратценгья функции Ар. Д Дифференциалом фрннцаи р = Дх) в точке х называется главная часть ес приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается ар (или 41 (х)): йр = 3" (т) Ах.
(24.1) Диффсронциал ар называют также дцфференциалом первого поумдна. Нвйцем дифференциал независимой переменной х, ш е. дифференциал функции р = т,. Твк как р' = х' = 1, то, согласно формуле (24.1), имеем Нр = с1х = = Ах, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: 4х = Ах. Поэтому формулу (24.1) можно записать так: ф = ~'(х)дх, 184 Рис. 138 1В7 иными словами, дифферен'циал функции равен произведению Ф производной этпгтй функции на дифференциал независимой переменной.
Из формулы (24.2) следует равенство = 1 (х). Теперь обознаЙн чение производной ь можно рассматривать как отношение дифферсндх цизлов дд и Йх. гтртьмер х4.1. Найти дифференциал функции ('(х) = Зхт — з1п(1+ 2х). (д Решение: По формуле др = ~'(х) дх находим др — (чхз з>п(1 + 2х))' дх = (бх — 2 соз(1 + 2х)) сЬ. ° Пример 24.4.
Найти дифференциал функции р = 1п(1+ ет ") + хат + 1. Вычислить дд при х = О, ~Ь = 0,1 О Решение: т 10е'е' х бр=(1п(1+с' *)+чу~+1)'ах= ~1+ ш + ~-г — 1)" ° Подставин х = 0 и дх = 0,1, получим др(,, = ( — +0)0,1=0,5. хи=од 24.2. Геометрический смысл дифференЦиала фУнкции Выясним геометрический смысл дифференциала. Для зтого п1юведем к графику функции з = т*(х) в точке М(х р) сательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х + Ьх (см. рис. 138). На рисунке 1АМ~ = Ьх, ~АМт~ = тХу. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем: 1бо = —, хе.
~АВ~ = 1бо Ьх. ~АВ) Ьх Но, согласно геометрическому смыслу производной, тбо = 1'(х). Повтому АВ = 1'(х) ° ьтх. Ц Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем др = АВ, т. е. дифференциа.з функции р = 7'(х) в тпочке х равен ттриратцению ординатпы касатпельной к графику функции а энтой пточке, когда х полрчитп приращение Лх. В атом и состоит геометрический смысл дифференциала.
24.3. Основные теоремы о дифференциалах Основныс теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (др = ~'(х) гЬ) и соответствующие теоремы о производных. Например, так как производная функции р = с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: др = с' тЬ = О. тЬ = О. ( 1 Докажем например, вторую формулу.
По определению дифферен- циала имеем." а(ие) = (ип) т1х = (и е+ тти )Йх = п - и тЬ+ и - е'дх = с да+ и де. И (-) Пусть | = т'(и) и и = ~р(х) дведиффсренцируемые функции, образу ющис сложную функцию р = Дд(х)). По теореме о производной сложной функции можно написать Умножив обе части етого равенства на г1х, получаем ртдх=д'„и' дх. Но р.', дх = др и п',. дх = г(п. Слсдовательно, последнее равенство можно переписать так: др = р'„° ди. формуль»»(у = у~ ' стх и»1у = у ' »1и видим» что пер вый дифференциал функции у = ) (х) определяется одной и той же формулой независимо ог того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.
Я Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала. Формула ду = у,' »1х по внешнему виду совладает с 4юрмулой ду = у„' ° сЬ, но между ними есть принципиальное отличий» в первой формуле х — независимая переменная, следовательно, дх = Дх, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, »1и ф ф Ди.
С помощью определения диффоренпнала н основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов. Например, д(соз и) = (соз и)' ди = — в»п и»1»». 24.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям Квк уже известно, приращение Ду функции у = 1(х) в точке х можно представить в виде Ду = )»(х) ° Дх+ о Дх, где а -т 0 при Дх — т О, или Ду = »1р + а Дх. Отбрасывая бесконечно малую а . Дх более высокого порядка, чем Дх, получаем приближенное равенство Др= ду, (24.3) нричем зто равенство тем точнее, чем меньше Дх. Ф Это равенстпво тюзволяетп с большой точностпью вычислить нриблиотсенно приращение любой дифферепцируемой фрикции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
