Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Уравнение касательной, как известно, есть у„а — Пха) = )ч(хв)(х — хв), т. е. у с = Лха) + У (хаНх — ха). Тогда у — у„=,)(х) — 1(хв) — 7'(хв)(х — хв). По теореме Лаграюка, ((х) — ('(ха) = ~'(с)(х — ха), где с лежит между тв и х. Поэтому у-у. =У'(сПх-ха)-У'(хвНх-хв), у =7(х) т. е. у у — у-. = (У'( ) — ('(ха)Нх — хв).
М , 'Разность 1'(с) — 7"'(ха) снова преобразует) по формуле Лагранжа: ~'(с) — у'(хо) = ) а(сз)(с — ха), где с1 лежит между ха и.с. Таким образом, получаем у — у ., = )"а(сз)(с — ха)(х — хэ). Исследуем это равенство: 1) если х > ха, то х — ха > О, с — хв > 0 и 1 "(с1) < О. Следовательно, г — и ~ю,*..р г„ 2) если х < хв, то х — хв < О, с — ха < 0 и Ха(с,) < (). Следовательно, у укм<О,т.е.у<укмх х с с ха х Итак, доказано, что во всех точках интервала (а; 5) ордината касательной болыпе ординаты графика, т.
е. график функции выпуклый вверх. Аналогично доказывается, что при 1" а(х) > 0 график выпуклый вниз. Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема. Теорема 25.12 (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная (а(х) прк переходе через точку ха, в которой онз равна нулю илв не существует, меняет знак, то точка графика с эбсцяссой ха есть точка перегиба. Ц Пусть уа(х) < 0 при х < хв и уа(х) > 0 при х > хэ.
Это значит, что слева от х = .тв график выпуклый вверх, а справа — выпуклый вниз. Следовательно, точка (хв,.у(хв)) графика функции является точкой перегиба. Аналогично доказывается, что если га(х) > 0 при х < ха и (а(х) < < 0 при х > ха, то точка (хв,,г'(хэ)) — точка перегиба графика функция у = )(х). й Пример 25.12. Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции у = хь — х + 5.
(,) Решение; Находим, что у' = 5х4 — 1, уа = 20хз. Вторая производная существует на всей числовой оси; уа = 0 при х = О. Отмечаем, что у" > 0 при х > 0; уа < 0 при х < О. Следовательно, график функции у = хь — х, + 5 в интервале ( — оо; О) — выпуклый вверх, в интервале (О; оо) — выпуклый вниз.
'Гочка (О; 5) есть точка перегиба. 25.7. Асимптоты графика функции Построение графика функции значительно облегчается, если знать его асимптоты. Понятие асимптоты рассматривалось при изучении формы гиперболы (см. с. 81). Напомним, что асимппютоо кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей нэ, кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис. 156). Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.
Говорят, что прямая х = а является аергаикальной аспмюиопюй графика функции у = 7(х), если йш у(х) = со, яли 1пп 1(х) = = оо, или 1пп з'(х) = сю. а-за-~-а Действительно, в этом случае непосрецстненно из рисунка 156 видно, что расстояние точки М(х; у) кривой от прямой х = а равно д = = )х — а). Если х -+ а, то с( -+ О. Согласно определению асимпттпы, прямая т = а является асимптотой кривой у = т(х). Для отыскании вертикальных асимптот нужно найти те значения х, вблизи которых функция 1" (х) неограниченно возрастает по модулю.
Обычно это точки разрыва второго рода. Например кривая у = имеет вертикальную асимптоту (см. х+1 рис. 157) х = — 1, так как 1пп 2 = +ос, 1пп — = — оо. х-+ — гьа х + 1 ' х-~ — ~ -о х + 1 Уравнение наклонной аспмппюти будем искать в виде (25.5) Найдем к и 5. 208 Рис. 157 Рис. 158 хех Й= 1пп — = 1пп е'=О, х-+ — со Х х-+ — оо 1пп — = 1пп ~ — +Ь--— а . /Ь о1 х — кю Х х-Фсо Х х Так как — — > 0 и — -+ 0 то о х х й = 1пп —. р х-Фсо Х (25.7) 210 211 Пусть М(х; р) — произвольная точка кривой у = ((х) (см.
рис. 158), По формуле расстояния от точки до прямой (с( = ~Ахо + В о + С~) Аз+Пи находим расстояние от точки М до прямой (25.5): с( = ~ х =й +=~, тйз+ 1 Условие д -+ 0 будет выполняться лишь тогда, когда числитель дроби стремится к нулю, т. е.
1ин(Ь -е+Ь) =О. Отсюда следует, что Йх — у+ Ь = о, где о = о(т) бесконечно малая: о -+ 0 при т -+ оо. Разделив обе части равенства у = Ь + Ьх — о на х и перейдя к пределу при х -+ со, получаем: Из условия (25.6) находам Ь; Ь = 1пп (у — Ьх). (25.8) Ишак, если существует наклонная асимптота р = Ьх+ Ь, то Ь и Ь находятся по формулам (25.7) и (25.8).
Верно и обратное утверждение: если существуют конечные пределы (25.7) и (25.8), то прямая (25.5) является наклонной асимптотой. Если хотя бы один из пределов (25.7) или (25.8) не существует или равен бесконечности, то кривая д = 1(х) наклонной асимптоты не имеет. В частности, если )с = О, то Ь = 1пп Дх). Псетому е = Ь вЂ” уравх-соо пение хорна онгоальной оси мппюшм.
Замечание: Асимпготы графика функции у = 7"(х) при х -+ +со и х -+ — со могут быть разными. Позтому при нахождении пределов (25.7) и (25.8) следует отдельно рассматривать случай, когда х — 1 +со и когда х -+ — оо. Пример йБЛЯ. Найти асимптоты графика функции и = хе*. О Решение: Так как 11ш хе =- 1пп ех = +ос, то график функции х — ++со Х х-+ +со при х -+ +оо наклонной асимптоты не имеет. При х — 1 — со справедливы соотношения йпс (хех — Ох) = 1пп хех = 1пп — = ~ — ~ = 1пп = О.
з-~ — со з-+ — оо х-+ — со Е-х ~СО~ х-+ — со — Š— * Следовательно, при х — 1 — со график имеет горизонтальную асимптоту р=О. 25Л). Общая схема исследования функции и построения графика Исследование функции у = 1(х) целесообразно вести в определенной последовательности.
1. Найти область определения функции. 2. Найти (если зто можно) точки пересечения графика с осями координат. 3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых Дх) > 0 или 7'(х) < 0). 4. Выяснить, является ли функция четной, нечетной илн общего вида.
5. Найти асимптоты графика функции. 6. Найти интервалы монотонности функции. 7. Найти акстремумы функпии. 8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика. функ-. ции. На основании проведенного исследования построить график функции. Заметим, что приведенная схема исследования не является обязательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь несколько операций, например 1, 2, 7. Если же график функции не совсем (1 — х2)2 326. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 213 212 понятен и после выполнения всех восьми операций, то можно дополнительно исследовать функцию на периодичность, построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности функции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопровождать постепенным построением графика функции.
Пргь44ер 25..Ц. Исследовать фунх4ппо у = — ~-2 и построить ее 1 — х график. О Ре4пЕние: Выполним все восемь операций предложенной вьш~е схемы исследования. 1. Функция не определена при х = 1 и х = — 1. Область ее определения состоит из трех интервалов ( — оо; — 1), ( — 1; 1), (1;+ос), а график из трех ветвей.
2. Если х = О, то у = О. График пересекает ось Оу в точке О(0; О); если у = О, то х = О. График пересекает ось Ох в точке О(0;0). 3. Функция знакоположительна (у > 0) в интервалах ( — со; — 1) и (О; 1); знакоотрицательна — в ( — 1; 0) и (1;+со). 4. Функция у = — 2 является нечетной, т. к. х 1 — х Следовательно, график ее симметричен относительно начала координат. Для построения графика, достаточно исследовать ее при х > О. 5.
Прямые х = 1 и х = — 1 являются ее вертикальными асимптот ми. Выясним наличие наклонной асимптоты: 4 — х~ )4= 1пп:= 1пп =0 х-+ха х х-хнах 1 — х2 ((4 = 0 при х -+ +ос и при т -+ — оо), х х Ь вЂ” Ьгп ( — — Ох) — 1пп — О. х-хс~ 1 — х х-и 1 — х2 Следовательно, есть горизонтальная асимптота, ее уравнение у = 0 Прямая у = 0 является асимптотой и при х -+ +ос, и при х -2 — сю. 6. Находим интервалы возрастания и убывания функции. Так ка х ~' 1(1 — х2) — х(-2х) х2 + 1 '=~ — )'= х2! (1 .2)2 (1 2)2 ~ то у' > 0 в области определения, и функция является возрастающей н каждом интервале области определения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
