Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 25
Текст из файла (страница 25)
соз х Проделав аналогичные операгии, получим формулу (сойх)' = — 2 яп х Этот результат можно получить иначе: 1 (сгй х)' = Гя 2 1,! Решение: (соз 2х)' = — яп 2х ° (2х)' = — 2 яп2х. Обратные тригонометрические функции у = агсвшх, у = вхссовх, у = вхсХйх, у = вхсс1йх Пусть у = агсяпх. Обратная ей функция имеет вид х = з!пу> у Е ~ — я; й|. На интервале ! — ь- я~ верно равенство х' = газу ф О.
2'2~' 2' 2) По правилу дифференцирования обратных функций 1 1 1 1 (агсз!п х)' = —. ( ' и' ор л:.~„' л:Р' ПРимер 20.7. Найти производную функции у = соз 2х ) 172 173 Х х 1 2 (Хх) = — Х 2 3 прн всех х 74 О. т. е. агсссях = — — егерях.
2 7Г вгсЗЯХ+ агссзЯх =— 2' т. е. (згссйбх)' = — 2. 1+х 174 175 где перед корнем взят знак плюс, так как сову > О при у б ( — 2, 2). Итак, (згсзш х)' = — ~ —. з/1 — хз Аналогично получаем, что (агссозх)' = — г — -. Эту формулу ь21 — хз можно получить проще: так как агссозх+ аггвшх = —, т. е. зхссозх = 32 = й — вгсз2п х1 то (агссоз х) = ~ — — згожп х 2 - Ь ) -,/-,:хз Найдем производную функции у = вгсгб х. Она является обратной к функции х = фу, где у б 2 — х; а1. Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, получаем,что 2 (агсцх2Х) = = 2 = сов у = (се у)' „', 1+ 13~ у 1+ хз Итак, (вгс43 х)' = — 1 — ~, 1+х Функции вгс13 х и вгссзбх связаны отношением Дифференцируя это равенство, находим /х 1 (згссгбх)' = ~ — — вгс$3х) = — (агсгбх)' =— ~,2 ) 1+ хз' Прзьмер Х0.8.
Найти производные функций: 1) у = агссоз хз; 2) у = = х. агс13 хц 3) у = (1+ 5Х вЂ” Зхз)4; 4) у = вгссоз 2/х; 5) у = 1о332(3+ 2 ). Ог:П~ 'Г=- .. ЬГ=- 1, 2* 1 — зт Л:*" 2) (х - вгсгбх)' = х' ° агсзбх+ х ° (згсзбх)' = агсзбх+ 1+ хз 3) ((1+5Х вЂ” Зхз)4) 4(1+ 5х — Зхз)з, (5 цхз) 1 1 4) (~~ыз/х)' =— ( /т)2 2~/Х 1 5) (1об~~(3+2 х))' = 31об~~(3+2 *) .2 1п2 ( — 1). Э (3+ 2-*) 1п3 Замечание: Найдем производную степенной функпии у = х с любым показателем а б И, В этом случае функция рассматривается для х > О. Можно записать х" = е"4"'.
По правилу дифференцирования сложной функции находим г е, (Х1')2 — е . Х1' 2 Формула остается справедливой и для х < О, если функция у = хх существует: Пример 20.9 Показать, что функция у = — + — х + С удовлех 1 2 2х .сверяет уравнению хз у2 + 1 х4 О Решение: Находим у'. 1 1 у' = — - 2Х + — - (-2)х 3 + О т. е.
у = х — — ~. Подставляем значение у в данное уравнение: 1 1 х 1т х' . (х — — ) +1 =х, т.е. х, — 1+1 хх х, О= О. 4 .4 ХЗ) Функция удовлетворяет данному уравнению. 20.7. Гиперболические функции и их производные В математике, механике, электротехнике и некоторых других дисциплинах встречаются гиперболические фрикции, определяемые следующими формулами: ех — е х Д~ 3Ь х = е е — гиперболический синус; 2 сЬ х = — гиперболический косинус («щепная линия»); е*+е ' ЗЬХ = — = я сзЬХ = — = — гиперболичезЬх сх — е * сЬх С*хе * сЬХ с*+ е * зЬх е* — е * ский тангенс и котангенс, где е — неперово число.
На рисунках 132 — 135 показаны графики гиперболических функций. Между гиперболическими функциями существуют следующие основные зависимости: Ркс. 132 Рис. 136. Параметрические уравнения х = совг к у = ия Ф определяют окружность хт + у~ — 1 ярк гем ОА — ссз1 АЗХ =явг Рис. 137. Параметрические уравнения х = сЬФ я и = вЬ1 определяют гипер- болу хт — у~ = 1, причем ОА = сЬЬ АМ = вЬФ Ряс. 135 20.8. Таблица производных 176 сЬ х — вЬ х=1; вЬ(х*у) = вЬх сЬужсЬх вЬу; сЬ(х ж у) = сЬ х - сЬ у ж вЬ х ° вЬ у; 1 ж СЬ х - 1Ь у ' вЬ2х = 2вЬх ° сЬх; сЬ2х =сЬвх+вЬкх. Все эти формулы вьпекают из определения гиперболичес функций.
Например, 4 = — (ез'+2+с "— сит+2 — е ' ) = —.4=1. 1 Геометрическая интерпретация гиперболических функций (см. рис. 137) аналогична интерпретации тригонометрических функций (см. рис. 136). Найдем производные гиперболических функций: ~с* — е ~ е* е * (вЬх)'= ~е е ~ = Я вЂ” ь2ь — =сЬх,ше. (вЬх)'=сЬх; 2 1 2 2 ') 2 — вЬх, к е. (сЬх)' = вЬх; ь.'В .— ь (я )' ~,' — »' ~ сЬх/ сЬ х Ь вЂ” т —, т.
е. (1Ь х)' = — 2 —,. 1 1 сЬ и' сЬ х' ,12 1„2 Ья.у=(~*) =~ » =- ', [»»Г=- — т-. Выведенные правила дифференцирования, формулы производных основных элементарных функций запишем в виде таблицы. На практике чаще всего приходится находить производные от сложньвх функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент «х» заменен на промежуточный аргумент ки». Правила дифференцирования 1.
(и ~ я)' = и' ~ е', 2, (и я)' = и'е + ис', в частности, (си)' = с и', у 3. (~) = и— "— ~У~-, в частности, (й) = -~~, 4. у,' = у' и', если у = 1(и), и = р(х); 5. у', = —,, если у = 7(х) и х = д(у). Формулы дифференцирования 1. (с)' = 0; 2. (и'")'=о ° и'* '-и', в частности, (~/и)'= 1 .и', 2~/и 3. (а )' = а" ° 1п а и', в частности, (е")' = е" - и'; 4. (1оя, и)' = — - и', в частности, (1п и)' = 1 - и', 5. (вши)' = ссви ° и'; 6. (сохи)' = — зши.
и', 7. (18и)' = — ~~ — й; 8. (с18 и)' = — -~1 — . и'; соз и зш и 0 (агсв1пи) = — т — — = — ° и', 10. (атссови)' =- — 1 . и', ъ'1 — ив Л:ггх 11. (вгстби)' = — т . и', 12. (вгсстйи)' = — 1 . ис 1+и 1+ 13. (зЬи)' = сЬи и', 14.
(сЬи)' = вЬи и', 13. (1Ь )'= — 4 — - ', 10. (стЬ ) = сЬ и зЬ и Для вычисления производных надо знать лишь правила диффе- ренцирования и формулы производных основных элементарных функ- ций, строго соблюдать зти правила при выполнении упражнений. Пример 20.10. Найти производную функции у = х4 — Зхз+2х — 1. (э Решение: у' = (х — Зх + 2х — 1)' = (х4)' — (Зхз)' + (2х)' — (1)' = = 4хз — 3(х )' + 2(х)' — 0 = 4хз — Ох~ + 2 41 Надо стараться обходиться без лишних записей.
2хз Пример хОЛ1. Найти производную функции у = — * тй' ( д Решение: 2хз '~~ (хз)~ ° 18 х — х ° (Ся х)' Зх 18 х хз г 18х) (ткх)' (тбх)з Производная па1(дена. В процессе решения использованы правила 2, 3 и формулы 2, 7. Пример 20.1х. Найти производную функции у = соз(Ьт'~ 2х). (~ Решение: Коротко: у' = — в1п(1п 2х) 12Ьт 2х. — 2. 2х Решение с пояснениями: данную функцию можно представить следующим образом: у = сони, и = ттз, 1 = 1пх, х = 2х. Производную сложной функции найдем по правилу у,' = у„' ° и', 1', ° х,' (здесь промежуточных аргументов три): у = — вши ° 12 ° 1 — 2, 1 т.
е. у' = — вшт'~ ° 12 ° (Ьтг)п — 2, 2х т. е. у' = — в1п(1п х)ш - 12 ° 1пт' х . —, и х и е. у' = — ьйп(1п~~ 2х) . 12 1п~~ 2х ° —. в х Окончательно у' = — 12-зш(Ьтг 2х) ЬР 2х. —. ж х 3 21. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ 21.1. Неявно заданная функция 1:ели функция задана уравнением у = 1(х), разрешенным относительно у, то функция задана е явном ваде (явная функция).
Д Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения г'(х; у) = О, не разрешенного относительно у. Всякую явно заданную функцию у = у(х) можно записать как неявно заданную уравнением 1(х) — у = О, но не наоборот. Нс всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у + 2х + сов у — 1 = 0 или 2" — х + у = 0). ф Если неявная функция зв,пана уравнением г"'(х; у) = О, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно ироди44еренцировать это уравнение по х, рассматривая ири этпом у как 1дуккциго х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у'. Производная неявной функции выражается через аргумент х и функгщю у.
Пример 21,1. Найти производную функции у1 задвинуто уравнь пнем ха 1 уз Зху= О, 178 Выражаем Р'. > ( 2х 3 3 ' (,ха+2 4(х — Ц х+5 т. с. =г Р =Р о .1пи+о — и 1 Л и 1 Р = и" о 1пи+о ° — и т. с. или (и")'=и' 1пи о +о и" ' ° и'. (22. Ц 181 180 О Решение: Функция Р задана неявно. Дифферснцируем по х равен ство хз + Рз — Зхр = О.
Из полученного соотношения Зхз+ 3.Рз. Р' — З(1. Р+х. Р') =0 и — ХЗ следует, что РЗР' — хР' = Р— хг, т. с. Р = Рз — —. Р— х 21.2. Функция, заданная параметрически Пусть зависимость между аргумонтом х и функцией Р задана па1 раметричсски в виде двух уравнений 1 х = х(с), (21.1$ Р =- Р(1), где 1 — вспомогательная переменная, называемая параметром. Найдем производну1о Р,', считая, что функции (21.Ц имеют производные и что функция х = х(1) имеет обратную 1 = у(х). По правилу дифференцирования обратной функции ( ) хк Функцию Р = Х(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.Ц, можно рассматривать как сложную функцию Р = Р(1), где 1 = 1з(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: Р',.
= = Р1'1 ° С учетом равенства (21.2) получаем Полученная формула позволяет находить производную Р,' от функции заданной параметричсски, не находя непосредственной зависимости Р от х, ( 1з ХХример йу.й. Пусть Найти Р,'. Р=1з. (;) Решение: Имеем х' = Ззз, Р,' = 25 Следовательно, Р' = — гг, т. с. 2 Ф ЗГ В этом мололо убедиться, найдя непосредственно зависимость Р от х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
