Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Дифференциал обычно находится значнтольно проще, чем прнра »донне функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике. МХртьмер я4.3. Найти приближенное значение приращения функ ции у = хз — 2х+ 1 при х = 2 и Дх = 0,001. 1. »1(и~и) = да~ »1о; 2.
»1(и. с) = и»»и+иди, в частности, д(си) = г ди; Ги~ иди — и»1и „, /с1 с»и, Ь)- . ь) 4. »1у = у„' дх, если у = 1(х); 5. ду = у„' ди, если у = 1(и), и = »»т(х); 6. де= 0; 7.4(и )=а и ' ° »1и; 8. »1(а ) = и 1па - »(и, в частности, д(е ) = е ° »1и; 9. »1(1о8 и) = - ди, в частности, »»(1пи) = — »1и; 1 и 1па и 24.4. Таблица дифференциалов 10.
д(зши) = оозиди; 11. д(соз и) = — в(п и д»»; 12. 4(18 и) = — т — ди; '1 с»н и 13. »((сгй и) = — —:т — »1и; з»п и 14. »1(ахсз1пи) = — »1»»; 1 1 — и 15. д(агссоз и) = — »1и; 1 — и 16. 4(агс18и) = — ~ ди; 1 1+»» 17. »1(ахсс»8и) = — — т Щ 1 1+и 18. д(зйи) = сЬи»1и; 19. »»(с1» и) = з1» и й»; 20. д(о» и) = т — »1и; сЬ и 21.
»1(с»1» и) = — — ~ — »Ь. в»» и („~ Решение: Применяем формулу (24.3): Ду ду = (хз — 2х+1)'-Дх = = (Зхз — 2) ° Дх. ду~,=з = (3-4 — 2) 0,001 = 10. 0,001= 0,01. а =о,оо» Итак, Ду 0,01. Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем Ду: Ду — Их+ Дх)з 2(х+ Дх) + ц (хз 2х+ ц— = хз + Зхз Дх + Зх - (Дх)з + (Дх)з — 2х — 2. Дх+ 1 — хз + 2х — 1 = = Дх(3хз + Зх . Дх + (Дх)з — 2). Ду~,-з =0,001(3 4+3 2 ° 0,001+0,001 — 2) =0,010006. а =о,оо» Абсолютная погрепшость приближения равна )Ду - др~ = )0,010006- 0,01) = 0,000006.
Подставляя в равенство (24.3) значения Ду и»1у, получим )(х+ Дх) — 1(х) 1'(х) . Дх или (24.4) Формула (24.4) использретасл длл вычислений приблио»сенных значений функций. ХХример 24.4. Вычислить приближенно вхс18 1,05. 189 (,)с Решение: Рассмотрим функцию Х(х) = вгс28х. По формуле (24. имеем: вгс28(х + Ах) ассой т + (агс18 т) схх, т. е. Схх вгс18(х + с.зх) агс18т + 1+ тг Так как х+ Ах = 1,05, ю при х = 1 и с1х = 0,05 получаем: 0,05 к агс18 1,05 - агс181+ — ' = — + 0,025 - 0,810.
Ф 1+1 4 Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) превышает величины М . (Ах)г, где М вЂ” наибольшео зяаченис [Х" (х на сегменте [х; х + Ьх) (см. с. 196). Пример 24.$. Какой путь пройдет тело при свободдом падсн на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падсн 12 тела Н = да2 —, д = 1,6 мХсг.
з„)с Решение: Требуется найти Н(10,04). Воспользуемся приближенной формулой (АН дН) Н(1 + Ы) ш Н(1) + Н'(1) ~И. При1= 10 си ~и= а = 0,04 с, Н'(1) = 9„1, находим Н(10,04) ' + 1,6 ° 10 . 0,04 = 80+ 0,64 = 80,64 (м). ° 1,6. 100 Задача (для самостоятельного решения). Тело массой т = = 20 кг движется со скоростью э = 10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела (Е„= "2; Е (10,02) сэ 1004 (Цж)) . 24.6.
Дифференциалы высших порядков Пусть р = Х(х) диффсренцируемая функция, а ее аргумент х— независимая перемеияол. Тогда се первый дифференциал с(р = Х'(т) сЬ есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции у = Х(х) называется ее впюрмм дифференциалам (или дифференциалом второго порядка) и обозначается сру или сРХ(х). Итак, по определению сРр = с1(ссу). Найдем выражение второго дифференциала функции р = Х(х). Так как с1т = Йх не зависит от х, то при дифференцировании считаем сЬ постоянным: Рр=4(йр) = 1(Х'(х)«х) =(Х'(х)4 )'.сЬ=Х"( )йх.4х=Ха(хНЬ)' сру = Хсс(х) с(хг (24.5) Здесь сЬ2 обозначает (сЬ) .
Аналогично определяется и находится дифференциал третьего по- сРр = Х (х) сЬ + Хс(х) - сРт. (24.6) Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второю порядка изменяется: появляется второе слагаемое Х'(х) сРт.. Ясно, что если т -- независимая переменная„то сРх = сс(сЬ) = д(1 - с(х) = с(х ° д(1) = сЬ .
0 = 0 и формула (24.6) переходит в формулу (24.5). Нример 24.д. Найти сРу, сели р = ез' и т — — независимая переменная. ( з Решение: Так как с/ = Зев*, ув = 9ег", то по формуле (24.5) имеем сРу дези ссхг Нрнл4ер 24.7. Найти сРу, если сшиая переменная. у = т и х = 1 + 1 н 1 — незавн- сс' у = с)(сРу) = сс(Х'"(х) ссх ) = Хв'(х)(сЬ) .
И, вообще, дифференциал и-го порядка есть дифференциал от дифференциала (я — 1)-го порядкж д"у = с1(сР ~р) = ХОО(х)(сЬ)с1. 1Я Отсюда находим, что ХОО(т) = — „-4. В частности, при п = 1, 2, 3 соответственно получаем: Х'(х) = —, Х (х) = — ', Х'а(х) = —, я е. производную функции можно рассматривать как отношение се дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной. 5 Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х — независимая переменная. Коли же функцию у = Х(х), где х - — фуинцня огп какой-нзо дррзсл1 иевавнсимосг неремеииосг', то дифференциалы второго и вьшю порядков нс облацшот свойством инвариантности формы и вычисляются но другим формулам.
Покажем это на примере дифференциала второго поряпка. Используя формулу дифференциала произведения (д(и-и) = = иди+ иди), получаем: сРу = с((Х'(х)сЬ) = сс(Х'(х))ат+Хс(х) с1(сЬ) = Хв(т) с1х сЬ+Х'(х) сРх, 191 то 4'р = рв.41', <1 й = (301~+ 121) <11г. Рис. 139 Рис. 140 Рис. 141 т. е. — 1(с) < О. Если < О. Если Ах < О, то 7 хонссскуискиис ио снсшсн нсхисн к . Принс с курс О Решение: Используем формулу (24.6): так как <<х 31г,у <1гх 61 <Цг 4'<3 =24хг+2х.6141'=2(31' й)г+2(4з+ 1)6141г сх = 1814 <й~ + 121~ <й~ + 121 <11г = (301~ + 121) <й~.
Другое решение: й = хг, х = гг + 1. Следовапльно, у = (рз + 1)г. Тогда по формуле (24.5) 3 25. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНЫХ 25.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и при кладное значение. ( 1 Так как функция )'(х) непрерывна иа отрезке [а; Ь], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно, М и рл. Если М = ри, то функция 1(х) постоянна на [а; Ь] следовательно, ее производная 1<(х) = 0 в любой точке отрезка [а; Ь].: Если М ф ри, то функция достигает хотя бы одно из значений или ри во внррпрвниев точке с интервала (а; Ь), так как 1(а) = 1(Ь).
Пусть, например, функция принимает значение М в т<учке х = с 6 (а; Ь), т. о. )(с) = М. Тогда для всех х 6 (а; Ь) выполняет 1(с) > )(х). (25. Найдем производную )с(х) в точке х = с: 1(с + сох) — 1(с) ас-се <хх В силу условия (25.1) верно неравенство Цс+ Ьх) '.кх > 0 (т. е. <.'ух — у 0 справа от точки и = с), то ~(с+ Ах) — ~(с), < 0 и поэтому )с(с) г'(с + Ьх) — <'(с) Таким образом, (<(с) = О. В случае, когда 1(с) = и<, доказательство аналогичное.
1'еометрически теорема Рояля означает, что на графике функции у = ) (х) найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси Ох (см. рис. 139 и 140). На рисунке 141 таких точек две. ( 1 Отметим, что <<7(Ь) <<7(а) ~ О, так как в противном случае по теореме Ралли нашлась бы точка с, такая, что <<7'(с) = О, чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию Е(х) = Пи) -И.)- ,)'(Ь) — Х(а) «7(Ь) — у(а) — (К(х) — Фа)).
Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля< непрерывна на отрезке [а; Ь] и дифференцируема на интервале (а; Ь), так как является 1(6) — 1'(а) 6 †где а<с<Ь. Отношение У Ь вЂ” о есть угловой коэффипионт секущей АВ, а величина ~'(с) — угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой х=с. Рис. 142 195 линейной комбинацией функций Дх) и фх); на концах отрезка она принимает одинаковые значения Г(а) = г'(6) = О. На основании теоремы Ролля найдется точка х = с Е (а; 6) такая, что г'(с) = О.
Но гт(х) = 1'(х) — г(ь~ (~ 9т'(х), следовательно, 6-(.)=~(.)-'(" '(',(.)=О у(6) — у(а) ~ Отсюда следует У(6) — До), Яс) 1(Ь) — Да) у(6) — ~р(а) ~р'(с) ~р(Ь) — ~р(а) женному на значение произвсцной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка. Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Запишем формулу (25.2) в вице Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: па графике функции р = Дх) найдется точка С(с; Дс)) (см. рис.
142), в которой касательная к графику функции параллельна секущей АВ. Следствие 25.1. Если производная функции равна нулю на некото- ром промежутке, то функция постоянна на этом промежутке. Д Пусть 1'(х) = О для тх б (а; Ь). Возьмем произвольные х1 и хз из (а; Ь) и пусть х~ < ха.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
