Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Напомним, что функция возрастающая или убывающая называется монотонной (см. с. 122). Пример 25.8. Исследовать функцию 7(х) = хз — Зх — 4 на возрастание и убывание. ча Решение: Функция определена на К=( — оо;оо). Ее производная равна: ('(х) =зх' — 5=5(х — 1)(х+ 1); 1'(х) >О при хЕ( — си; — 1)О(1;оо); ,('(х) СО при хй( — 1;1). Ответ: даняая функция возрастает на интервалах ( — оо; — 1) и (1; оо); убывает на интервале ( — 1; 1).
1 з ~! Ь (х) Ряс. 147 Рис. 148 Рис. 149 202 25.4. Максимум и минимум функций Точка хо называется точнот2 максимума фупкдии у = 1(х), Д если существует такая Б-окрестность точки хо, что для всех х ф хо из этой окРестности выполнЯетсЯ неРавенство 1(х) < 1 (хо). Аналогично определяется точка минимума функции: хо — точка минимума функции, если Лб > 0 Кт: О <!х — хо~ < Б =~ Х(х) > > 1 (хо). На рисунке 146 х1 — точка минимума, а точка хэ — точка максимума Функции у = У(х).
х Значение функции в точке макРяс. 146 симума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции. Понятие экстремума всегда связано с определенной окрестностью точки из области определения функции. Поэтому функция может иметь экстремум лишь во внутренних то асах области определения. Рассмотрим условия существования экстремума функции. Д Пусть, для определенности, хо — точка максимума. Значит, в окрестности точки хо выполняется неравенство 1(хо) > 1(хо + Ьх). Но тогда —" = " бп „т хо+ Ьх — 1(хо), Ьо ' <О,еслиЛх>О,и2-п >О,если Ьх х ' ' Ы Ьх < О. По условию теоремы производная (г( ) й ° (хо + ~х) ((хо) ~'(хо) = 1пл аз-+о Ьх сУществУет.
ПеРеходн к пРеделУ, пРи Ьх -+ О, полУчим 1'(хо) > О, если Ьх < О, и ('(хо) < О, если Ьх > О. Поэтому ~'(хо) = О. Аналогично доказываепся утверждение теоремы 25.8, если хо — точка минимума функции 1 (х). Геометрически равенство 1'(хо) = 0 означает, что в точке экстремума дифференцируемой Функции у = 1(х) касательная к ее графику параллельна оси Ох (см. рис. 147).
Отметим, что обратная теорема неверна, т. е. если 1'(хо) = О, то это не значит, что хо — точка экстремума. Например, для функции у = хэ ее производная у' = Зхх равна нулю при х = О, но х = 0 не точка экстремума (см. рис. 148). Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной. Например, непрерывная функция у = )х( в точке х = 0 производной не имеет, но точка х = 0 — точка минимума (см. рис. 149). Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Такие точки назывантгся критическими.
Теорема 25.9 (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция у = 1(х) дифференцируема в некоторой б-окрестности кРитической точки хо и пРи пеРеходе чеРез нее (слева напРаво) пуоизводная ('(х) меняета знак с плюса нз минус, то хо есть точка максимума; с минуса на плюс, то хо — точка минимума. Д Рассмотрим б-окрестность точки хо. Пусть выполняются условия: Х~(х) > 0 тх Е (то — б;:го) и 1'(х) < О Чх Е (хо~ хо + Б). Тогда функция Дх) возрастает па интервале (хо — б; хо), а на интервале (хо; хо + б) она убывает.
Отсюда следует, что значение 1(х) в точке хо является наибольшим на интервале (хо — Б;хо + Б), т. е. Дх) с Дхо) для всех х Е (хо — Б; то) С(хо,.хо+ б). Это и означает, что хо — — точка максимума Функции. Графическая интерпретация доказательства теоремы 25.9 представлена на рисунке 150. Аналогично теорема 25.9 доказывается для случая, когда 1'(х) с 0 Ух Е (хо — б; хо) и Х'(х) > 0 Ыг Е (хо' хо + Б). И Рве.
150 Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстр~" мумы. Из теорем 25.8 и 25.9 вытекает следующее правило исследования функции на экстремум: 1) найти критические точки функции у = с (х); 2) выбрать нз них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции; 3) исследовать знак производной 1'(х) слева и справа от каждсй из выбранных критических точек; 4) в соответствии с теоремой 25.9 (достаточное условие экстремума) выписать точки экстремума (если они есть) н вычислить значения функции в ннх. .Пример 25.9.
Найти экстремум функции у = х — йх'. — К 3/2 -3- О Решение: Очевидно, Ю(у) = К. Находим у = 3 — — р-, т. е. У' = 1 2 1 зlх — 2 Й/"" Производная не существует при хс — — О н равна нулю при хх = 8. Эти точки разбивают всю область определения данной функции на три интервала ( — со; О), (О; 8), (8; оо). Отметим на рисунке 151 знаки производной слева и справа от каждой из критических точек. 0 8 х Рис. 151 Следовательно, хс = Π— - точка максимума, у„„„= у(О) = О, и хх = 8 тс яка минимума, у„п„= у(8) = — —. 4 Иногда бывает удобным использовать другой достаточный признак существования экстремума, основанный на определении знака второй производной.
Ц Пусть для определенности 1и(хе) > О. Так как 1х,, У (ха+ с5 ) — ] ( е) . Г (хп+11х) 1' (хп) = 1пп 1пп >О, ах — со с5х ах-+о ссх Г хп+ых то > О в достаточно малой окрестности точки хо. Если йх < О, то ~'(хо + с5х) < О; если 15х > О, то 1" (хо + 11х) > О.
Таким образом, при переходе через точку хе первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 25.9, хе есть точка минимума. Аналогично доказывается, что если 1и(хв) < О, то в точке хо функция имеет максимум. И 25.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Пуст'ь фу'ш~жя у = Лх) непрерывна на отрезке [а; Ь]. Как известно, такая функция достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке хв отрезка [а; Ь], либо на сранице отрезка, т. е. при ха = а или хп = Ь.
Если хо е (а; Ь), то точку хе следует искать среди критических точек данной функции (см. рис. 152). Получаем следующее правило нахождения наиболыпего и наименыпего значений функпли на [а; Ь]: 1) найти критические точки функции на интервале (а; Ь); 2) вычислить значения функции в найденных критических точках; 3) вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х=аих=Ь; 4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее. Заме испил: 1.
Если функция у = Дх) на отрезке [а; Ь] имеет лишь адиу критическую ~почку и она является точкой максимума (минимума), то в втой точке функция принимает наибольшее (нанменьшее) значение. На рисунке 152 Дхе) = 1'„е = 1мх (нб — наибольшее, шах— максимальное). 2. Если функция у = 1(х) на отрезке [а; Ь] не имеет критических точек, то это озачает, что на нем функция монотонно возрастает или 205 хо Ь 1'вс. 153 Рис. 152 206 убывает. Следовательно, свое нвнболынее значение (М) функция при нимвет на одном конце отрезка, а наименьшее (ги) —. на другом.
Пртьмер 2а.10. Найти наибольшее и наименьшее значения ции Дх) = Зх~+4хз+ 1 на отрюке ( — 2;1). (~ Решение; Находим критические точки данной функции: (г(х) 12 з+ 12 з 12 з( + ц з '(х) = О при х~ = О ч ( — 2; 1] и при хз — — — 1 е ( — 2; Ц. Находим ДО Д вЂ” 1) = 3 — 4+1 = О, 1( — 2) = 48 — 32+ 1 = 17, Д1) = 8. Итак, 1а в точке х = — 2, 1„„= О в точке .т = — 1. Нахожденяе наибольшего и наименьшего значений функции ко применяется при решении многих практических задач матем физики, химии, экономики и других дисциплин. Практические задачи: транспортная задача о перевозке гр минимальными затратами, задача об организации производстве процесса с целью получения максимальной прибыли и другие чи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к раз и усовершенствованию методов отыскания наибольших и паиме значений.
Решением таких задач занимается особая ветвь мате ки -- линейное программирование. Рассмотрим более простую задачц. 1Хрзьмер 26..11. Из шара радиуса В выточить цилинпр на шего объема. Каковы его размеры? („~ Решение: Обозначим через х и р высоту и диаметр цилиндра. Ь Р 153,Р= '4Я ~, У г'4В' — х' '1 з яхз 1'=1'(х) =я~ ) х=яВ х — —, 4 ' где х Е (О; 2В). Находим наиболыпее значение функции Ъ' = $'(х) на промежутке )О 2В) Т к1. ( ) Вз 3 з Ьп(х) О, и, 2ВКЗЗ 3 гого, р а(х) = — Зях < О. Поэтому х = — 3 " — точка максимума. Так 2 этой касательной. Для этого сравним в точке х Е (а; Ь) ординату у кривой у = 1(х) с ординатой у„ее касательной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
