Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 33
Текст из файла (страница 33)
( ) Функция г'(х) + С является первообразной 7'(х). Действительно, (г (х) + С)' = г'(х) = 1(х). Пусть Ф(х) некоторая другая, отличная от г (х), первообразная функции 1(х), т. е. Ф'(х) = 1(х). Тогда для любого х Е (а; Ь) имеем (Ф(х) — Г(х))' = Ф'(х) — Ь"'(х) = У(х) — Х(х) = О. А это означает (см. следствие 25.1), что Ф(х) — г(х) = С, где С вЂ” постоянное число. Следовательно, Ф(х) = 17(х) + С.
Д Множество всех первообразных функций г'(х) + С для 1(х) назъшается неопределенным инпзегралвм от функс1ии Х(х) и |бозначается символом / 7" (х) Йх. Таким образом, по определению Я здесь 1(х) называется подынгпегрольноп функцией,,? (х) Йх— иодынпзегральным выраоссением, х — перелсенной инпзегрированющ / знаком неопределенного ингпегралш Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется иншезрврооаноем этой функции.
Ц Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллепьных» кривых у = г'(х) + С (каждому число- ному значению С соответствует определенная кривая сеиейства) (см. рис. 165). График каждой первообразной (кривой) называется ингпегральное кривой Для всякой ли функции существуег неопределенный интеграл? П Имеет место теорема, утверждшощая, что «всякая непрерывная на (а; Ь) функция имеет на этом промежутке первообрэзную», а следовательно, и неопрццеленньсй интеграл. 29.2. Свойства неопределенного интеграла Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения. 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подьштегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: Й(~ Г(х) Йх) = Дх) Йх, ДДх) Йх) = 1(х).
/У(х) ~д(х)) Ь = /(Тч(х) ~Сс(х))дх = = /( (х) + С(х))' дх = /41г(х) ~ С(х)) = И*) ~ С(х) + С = = (Г(х) + Сс) ~ (С(х) + Ст) = / ~(х) дх х / д(х) с(х И где Сг х Сз = С Ы Действительно, (/ У(*) сЬ) = с((Нх) + С) = с1Е(х) + д(С) = Р1(х) дх у( ),1„ и 1 (/Х(х)дх) = (Р(. )+С)' = Гл(х) +О= у(*). ° Влагодаря этому свойству гдсавилсноспсь иишегрирвваиия проверяется диффе4сеис1ирвваииелс. Например, равенство /(З.г+4) 1х з+4 +С верно, так как (из + 4х+ С)' = Зхз+4.
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: / с)Е(х) = Г(х) + С. 1 1 Действительно, / с1сс(х) =- / Х'(х) дх = / 1(х) дх = Г(х) + С. ° 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: а.г(х) дх = а / г(х) с1х, а ф Π— гюстоянная. Ц Действительно, ~ аХ(х) сЬ = / аР(х) с1х = /(аР(х))' с1х = / с1(аГ(х)) = = а Р(х) +Сс = а ° (Г(х) + — ) = а(Х'(х) + С) =а / Дх)сЬ Сс а ( положили — с- = С) . а 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечногц числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от ела аемых функций: /(с (х) ~ д(х)) Их = / Дх) дх ~ / д(х) с(х. ( 1 Пусть К'(х) = Дх) и С'(х) = д(х).
Тогда 5. (Инвариантность формулы интегрирования). Коли / у(х) дх = = с'(х) + С, то и / с (сс) сси = г(и.) + С, где а = св(х) -- произвольная функция, имеющая неисрерывную производную. 1,.1 Пусть х — независимая переменная, ('(х) — непрерывная функция и 5"(х) — ее первообразная. Тогда / г'(х) дх = Г(х) + С. Положим те- перь и = сд(х), где сд(х) —. непрерывно-дифферепцируемая функция. Рассмотрим сложную функцию с '(и) = г"(сд(х)). В силу инварищггно- сти формы первого дифференциала функции (см. с. 188) имеем с1Г(и) = Е'(и) с1сс = Ди) с(и.
Отсюда / 1(и) с1и = / с1(г"(и)) = сг(и) + С. ° Таким образом, формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегриро- вания независимой переменной или любой функцией от нее, имеющей непрерывную производную. з Так, из формулы / х~ дх = х + С путем замены х на и (а = р(х)) 3 получаем / и~ди = и +С.
В частности, т, з1п х з1п хс1(в1пх) = +С, 3 1пз х 1и хс1(1пх) = — + С, 3 18з х 18тхс((18х) = — +С. 3 При,мер йд.2. Найти интеграл / (2х~ — Зх~ + х — 5) с1х. (.) Решение: /'(2хс Зхт + х 5) с(х = 2 / хс с(х — 3/ хз дх + / хс1х — 5/ сЬ = = 2 — +Сг — 3 — + Ст+ — + Се — 5х+С4 =- — х — т + -х — 5х+ С, х х х 2 з з 1 5 3 2 5 2 где С = Сс + Ст + Сз + Сс.
Ф г х+1 Пример 29.2. Найти интеграл ~ сЬ. с,в Решение: / с1х = т1 (1+ — ) сЬ = х +!и ф + С. гх+1 г х х 228 Таблица основных интегралов иа+г / а ( и +С (оф 1) о+1 Д~1 = +С); 2. ( — и =1п~и~+С; 3 (га" 1и= — +С; 1па с1(зши) = сови ди, 4. ~в" й~ = е" + С; Д~эЬиди = сЬи+ С); ЦсЬиди = вЬи+ С); 5 ~ 21п и ди = — сгя и + С б. ( созиди вши+ С 7.
/ Гйиди = — 1п)сова!+ С; 8, ( сгнили = 1п! 21пи~+ С; ( ~ — ф- = 15 и + С); (~ — ф — = — ст12и+ С); О.)( ~" =15 +С 1О. 1 —."--~ — = — с15и+ С ,/ вш и 11. ~ '.~" = 1п ~сб ф + С; ~ "" = !"(~ -")~" 13. / '(и = агстйп — + С; ' 3 ~/а2 иг 15. у — 2 = — агссц-+ С; г,)и 1 и l + 230 231 29.3. Таблица основных неопределенных интегралов Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное диффере2щироввпию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления (таблвца дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла. Например, так как то созиди = ~а(в1пи) = айпи+ С.
Вывод ряда формул таблицы будет дав при рассмотрении основнььх методов интегрирования. Интстралы в приводимой ниже таблице называются шабличныни. Их следует знать наизусть. В интегральном исчислении нет просты и универсальных правил отыскания первообразных от элементарн функций, как в дифференциальном исчислении. Методы нахожден первосбрвзнь2х (т.е. интегрирования функции) сводятся к указани приемов, приводящих данный (искомый) интеграл к табличному.
Сл довательно, необходимо знать табличные интегралы и уметь их узн вать. Отметим, что в таблице основных интегралов переменная интегрирования и может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной (согласно свойству инвариантности формулы интегрирования). В справедливости приведенных ниже формул можно убедиться, взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтегральному выражению в левой части формулы. Докажем, например, справедливость формулы 2.
Функция — опре- 1 делена и непрерывна для всех значений и, отличных от нуля. Если и > О, то 1п)и! = 1ви„тогда Ли ~и~ = д1пи = "и. Поэтому' ~ ~— " = 1п и + С = 1и ~и! + С при и > О. Если и ( О, то 1п)и! = 1п( — и). Но И!п(-и) = ™ = йо. Значит, И=— —" = 1п( — и) +С = 1п~и~+С при и <О. пи Итак, формула 2 верна. Аналогично, проверим формулу 15: д ~ — агстк — +С~ = — - — - — „-. — до = /1 и 1 1 1 1 с(и ~,а а 1 а 1+ ( —",)2 а а2+ ив 14. 1 — и== — — 1п)и+ т/и22+ аз(+ С, ~/п~+ а2 2 17.
/ ~/а2 — и2 г(и = 2 - ~/а~ — и2 + 2 агсзш — + С~ а 2 13 ~ („2 ~азг1и и.,Д2+а2+ а 1п~и+ ьlи~*а~~+С. 2 2 3 30. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 30.1. Метод непосредственного интегрирования Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем то. Д ждественных преобразований подынтегральной функции (или вы- ражения) и применения свойств неопределенного интеграла приводит. ся к одному или нескольким табличным интеграламр называется не посредсгпвеннььм инптеерироеан23ем.
При сведении данного интеграла к табличному часто использу ся следующие преобразования дифференциала (операция «подведен под знак да4дрерении4ьить) ! ди = д(и+ а), а — число, 1 ди = — д(аи), а ф 0 — число, и - ди = -д(и ), 1 2 2 соя и ди = д(яш и), я/п и ди = — д(сов и), 1 — ди = д(1п и), и 1 — ди = дЩ и). сов2 и Вообще, /1(и) ди = е/(1(и) ), вта формула очень часто используется при вычислении интегралов. Примеры! р дх р 2/(х+ 3) = 1п ~х+ 3~ + С (формула 2 таблицы инте / +з / х+з грвлов); 2) /(Зх — 1) гЬ = — //(Зх — 1) 2/(Зх — 1) = — .
+ ( ц22 — Зl 3 25 (формула 1); / г* =/'.".",' =/(.—,'.,-) — / дх = — сф х — х + С (формулы 10 и 1); еЬ 1 / д(ъ/З.х) 1, ~/3-х 4) / = — / = — агеяш + С 3-3, 31 /!2!', ! 3,2. 13 2 (формула 13); 1 г 1 г 1 г 5) яш бхдх = — (1 — соя12х) 2Ь = — дх — — соя12х2Ь = 2х 2l 1 1 г 11 1 -х — — ~ соя 12х д(12х) - — = — х — — 22п 12х+ С (формулы 1 и 6); 2 2l 12 2 24 6) »Ь 1 ~(х — 1) — (х+2) !Ь = (х — 1)(х + 2) 3 д (х — 1)(х + 2) 1 7 х — 1 1 / и + 2 3 ./ (х — 1)(х + 2) 3 / (и — 1)(х + 2) 1 г д(х + 2) 1 г д(х — 1) 1 1 — — + — ( = — — !и (х + 2~ + — 1п )х — 1) + С; Зх х+2 Зl х — 1 3 3 7) /1биди = / = — / = — 1п~сояи~+С (вывод формулы 7); 2 2 / Ов 2 )~.
=~ '-:. '.-д =/ яши l 2яшясоя2 / 2яшвсоя2 „ди ~с16 д( )+~13-д(г) и~я 2 2 и! 2 ! а! — /в~соя — ~ + С = 1п ~ 2 + С = 1п~гб — ~ + С (вывод 2~ ~соя —" ~ 2 2 формулы 11); 9) 4/ .(х + 2)' Ь = / (. + 2 — 2)( + 2)' Ь = ~(х + 2)ш д— — 2 / (х + 2) дх = /(х + 2)' д(х + 2) — 2 / (х + 2)2 д(х + 2) = (х+ 2)! (х+ 2) е — 2 + С (формула 1); 11 10 дх сся 4х 10) я - 2 — — /(с$бх) 'д(ейных) = — — +С= ся~бх 21п х — 4 1 + С (формула 1); 4сф' х дх / 3Ь /. д(х — 1) 3 — 2*»* 1»2»!* — 1!» 1 /2р»! р!3 1! =1 !* — 13'/3 — 2*»е~»1 !4 р р 133; 12) / (4х~ — +3" *) 2Ь = 4~х дх — — ~ 4 32-х / 34-х а»(1 х) х4 162х + С (форму43ы 2 1пз 9, 3); Отсюда /иг + аг /иг + аг Стало быть, (30.1) дх Пример 30.3. Найти /— При нер 30-1. Найти / е Их.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
