Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 34
Текст из файла (страница 34)
гЬ /е +1 ./С+~ 1) / сг.( сй (1+ 1)г 1 235 13) /хз. т~/1+хгеЬ = /(1+хг)).х (х +1 — 1)дх = 1(1+х )хф1+х ) — — ~(1+х )хп(1 +х ) 23 21 (1+,г)х (1+ г)$+С 14 8 Квк видно, вь1числение интегралов иногда требует некоторой и бретательности, так сказать, «индивидуального подхода к каждой п дынтегральпой функции». Соответствующие навыки приобретаются в результате значит ного числа упражнений. 30.2.
Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной) Метод интегрирования подстановкой заключается во введении н вой переменной интегрирования (т. е, подстановки). При атом задан' ный интеграл приводится к новому интегралу, который является та бличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки).
Общих методов подбора подставовок не существует. Умение правильно определить подстановку присбретается практикой. Пусть требуется вычислить интеграл / Дх) сЬ. Сделаем подстановку х = ф$), где ~г(1) — функция, имеющая непрерывную производную. Тогда дх = д'(1) сй и на основании свойства инвариаитности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем дюрмдлу итпегрироеанил иодстаиоекон Формула (30.1) также называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.
После нахождения интеграла правой части етого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования 1 назад к переменной х. Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде $ = ~о(х), тогда /Ду(х)) . д'(х)0х = / Дг)~В, где 1 = ~р(х). Другими словами, формулу (30.1) можно применять справа налево. х;1 Решение: Положим х = 41, тогда дх = 4га. Следовательно, ей ~Ь = 4/ е <й = 4е + С = 4ей + С.
Пример 30.2. Найти / х ° ~/х — 3 ах. О Решение: Пусть — 3 = 1, тогда х = 1~ + 3, Нх = 2гЖ. По»тому / х . ~Гх — 3 йх = / (г + 3) 1. 21 гй = г 3 = 2 Г(1«+ 31г) Ф = 2 11«<В+ 6 1 1~31 = 2- — + 6 — + С = = -(х — 3)о/г+ 2(х — 3)з~г + С. ° 5 Пример 30.3.
Получить формулу — = 1п~и+ х/их+ а' ~+ С. Д Обозначим 1 = т/иг г+ аг + и (подстановка Эйлера). Тогда 2и х/ '+а'+ и Ф= аи+Йи, т.е. гй= Ии. 2~/ '+ах х/и~ + аг / = / — = 1п )Ф~ + С = 1п (и+ г/иг + а~~ + С. ° Пример 30.4. Найти /х. (х+ 2) ооах. (~ Решение: Пусть х + 2 = й Тогда х = 1 — 2, сЬ = гй. Имеем: / х (х+ 2)шолх = /(1 — 2) -1гоо,й = /1'о' й — 2/1ка31 = 11ог Рог (х+ 2)1ог 2(х+ 2)ш1 = — — 2 — +С= — +С. ° 102 101 102 101 О Решение: Обозначим е' = 1. Тогда х = 1и 1, гЬ = —. Следовательно, Пример 30.7. Найти / !ахах. Пример 30.8. Найти / хве сЬ- (30.2) Пример 30.й.
Найти / агс1й х дх. 237 = — 1п~ — ~ = !п~ — ~ =!и +С. Здесь используется формула 16 таблицы основных интегралов. Ф 30.3. Метод интегрирования по частям Пусть и = и(х) и о = в(х) — функции, имеющие непрерывные производные. Тогда г((ии) = и Й~ + е . ди. Интегрируя это равонство, получим Полученная формула называется формулой ииптегрироваиия И по часпмьм. Она дает возможность свести вычисление интеграла / иди к вы тислению интеграла / ини, который может оказаться существенно более простым, чем исходный. Интегрирование по частям состоит в том, что подьппегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей и и ди (это, как правило, можно осуществить несколькими способами); затем, после нахождения е и Ии, используетсн формула интегрирования по частям.
Иногда эту формулу приходится использовать несколько рвз. Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям. 1. Интегралывида / Р(х)ек дх, ( Р(х) зшкхг!х, ~Р(х) совКхах, где Р(х) — многочлен, й — число. Удобно положить и = Р(х), а за де обозначить все остальные сомножители. 2. Интегралы вида ~ Р(х) агсвш х гЬ, (' Р(х) вгссов т 8х, Р(х)!ахах, /Р(х)агс1бхдх, ~Р(х)гхсс1кхсЬ.
Удобно положит Р(х) сЬ = с!и, а за и обозна шть остальные сомножители. 3. Интегралы вида /е ~ йшбхгЬ, ~е'* совбхйх, где а и бчисла. За и можно принять функцию и = е". Пример 30.6. Найти /(2х+ 1)ез' сЬ. ( и=2х+1 ~ Ни=2дх „,.ву.*,„, ' ~ „1„1~ 3' полсокить С = О). Следователыю, по формуле интстрирования по ча-. стям: (2х+1)ез ' дх = (2х+1) — ез ' — ~ — ез*2 дх = -(2х+1)ез" — — с~+С. ° 3 /3 3 9 ~ и=!пх => с!и= — сЬ 1 1„! Решение: Пусть .
Поэтому 18в=дх .=~ в=х 1 !и хьЬ = х !и т — (' х — дх = х ° !их — х + С. (и=х' =~ 8и=2хЬ 1 < 1 Решение: Пусть ! и., !. Поэтому ~ с(в = с*бах =.=Ф х е' дх = х~ев — 2 ( е* ° хсЬ. Для вычисления интеграла / евка снова применим метод инте павия по частям: и = х, пи = еких ==> ди = пх, в = е*.
Значит, е*.хсзр = х е* — / е*дх = х е* — е*+ С. (30.3) Поэтому (см. (30.2)) ~х~е*дх = хзе* — 2(х. е* — е'+ С). Ф ~ и =- вгс1кх =~ г(и = — т дх 1 О Решение: Пусгь 1+ х . Поэтому 1 ов=дх =~ и=х х 1 гд(1+хз) згс!их сЬ = х. агсфх — т! — г!х =- х ° агстнх — — ! 1 =хате!ах — — !п(1+х )+С. Ф 1 2 2 3 31. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 31.1. Понятия о рациональных функциях Многочпен (некоторые сведения справочного характера) Функция вида Р„(х) =аох" +п~х ~+ .+а„. ~х+а„, (31.1) Я где п — натуральное число, а; (1 =.
О, 1,..., и) — постоянные коэффициенты, называется миогочлеиом (или целой рог!помольной Функцией). Число п начывашся сгпепеиью многочлена. О Решение: Легко проверить, что можно записать так. 238 Хг"прием лгногочлема (31.1) называется такое значение хо (во- Ц обще говоря, комплексное) переменной х, при котором многочлен обращается в нуль, сч е. Р„(хв) = О. Возникает вопрос: всякий ли многочлен имеет корень' ? Положительный ответ на этот вопрос дает следующее утверждение, Доказательство этой теоремы мы не приводим.
Пользуясь основной теоремой алгебры, докажем теорему о разложении многочлена на линейные множители. Теорема 31.3. Всякий многочлен Р„(х) можно представить в виде Рь(х) = аэ(х — хг)(х — хт)... (х — х„), (31.3) где хы хю..., х„— корни многочленэ, аэ — коэффициент многочле- на прях . Д Рассмотрим многочлен (31.1).
По теореме 31.2 он имеет корень. Обозначим его через хы Тогда имеет место соопюшеиие (31.2). А так как Р„, (х) - -- также многочлен, то он имеет корень. Обозначим его через хю Тогда Р„г(х) = (х — хз)-Р„з(х), где Р з(х) — многочлен (п — 2)-й степени. Следовательно, Р„(х) = (х — х~ )(х — хт)Рс э(х). Продолжая этот процесс, получим в итонов: Ря(х) = ао(х — х~ )(х — хх)... (х — х„), Д Множители (х — хг) в равенстве (31.3) называются лимейиымм ммоэ1ситпеля ми. Пример 31.1. Разложить многочлен Рз(х) = хз — 2хз — х + 2 на множители.
1,З Решение: Многочлен Рз(х) = хз — 2х~ — х+ 2 обращается в нуль при х = — 1, х = 1, х = 2. Следовательно, хз — 2х~ — х+2 = (х+1)(х — 1)(х — 2). Пртикер 81.2. Представить выражение хз — х~ + 4т — 4 в виде произведения линейных множителей. хз — хз + 4х — 4 = (х — 1) (т — 24) (х + 21). Если в разложении многочлена (31.3) какой-либо корень встретился ?г раз, то он называется корнем краганости ?г. В случае й = 1 (т.
е. корень встретился один рэз) корень называется лрасгпым. Разложение многочлена (31.3) можно записать в виде Р (х) = ао(х — х~)гн (х — хт)"'... (х — х,)~", (31.4) если корень х, имеет кратность Й~, корень хз — кратность ?гк и так далее. При этом Й~ + аз +... + к, = пч а г — — число различных корней.
Например, разложение Рз(х) = (х — 3)(х + 1)(х — 4)(х — 3Нх — 3)х(х — 4)(х — 3) Ря(х) = (х — 3) (х + 1) (х — 4) х. Пользуясь теоремой 31.3, можно доказать следующие утверэсдення. Теорема 31.4. Если многочлен Р„(х) = аэх" + агх" ' + ---+ а„ тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю. Например если ахз+ 6хз+ сх+г?: — хз — 3хз+ 1, то а = 1, 6 = — 3, с=О, 0=1.
В разно>кении многочлена (31.3) комплексные корни входят сопряженными парами. Перемножив линейные множители (х — (а+ тЬ)) . (х — (а — тЬ)), получим трехчлен второй степени с действительными ксвффициентами хз + рх + д. В гамом деле, (х — (а+ >Ь))(х — (а — >Ь)) = ((х — а) — зЬ)Ях — а) + тЬ) = (х а)2+ Ьз хз 2ах+ аз+ Ьз я> +ух+ у где р = — 2а, 9 = аз + Ьз. Таким образом, произведение линейных множителей, соответству ющих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчлен с действительными коэффициентами. С учетом вышеизложенного справедлив следующий факт.
Теорема 31.7. Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагаемся на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами, т. е. многочлен Р,(х) можно представить в виде Хь(х) = ае(х — х>) '(х — хз)~ ...(х — х,) ь к х(хз+р>х+у>)н ...(х~+р„х+о,)' . (315) При этом Ьт + Ьз + . ° + Ь„+ 2(з> + зз + - ° ° + з,„) = и, все квадратные трехчлены не имеют вещественных корней. Примеры разложений (31.5): 1) хз — 1 = (х — 1) (х + 1)(хз + 1); 2) хз — 16х = х(хз — 16) = х(:г — 4)(х+ 4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
