Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 35
Текст из файла (страница 35)
3) хз бхз+ 9хз из+ бх 9 хз(тз бт+ 9) — (х' — бх+ 9) = = (хз — бх. + 9)(хз — 1) = (х — 3)з ° (х — 1)(хз + х+ 1). Дробно-рациональная функция Д Дробно-рациональной 45унмцией (нли рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, т. е. 1'(х) = — -ь, где Р„,(х) — многочлен степени тп, а Щ,(х)— Р (х) многочлен степе>>и й. Рациональная дробь называется правильной, если степень числи- Д тела меньше степени знаменателя, т. е, п> ( п; в противном случае (если ш ) и) рациональная дробь называется неправильной.
РЯ ф Волную неправильнуто рациональную д1юбь ма>тоно, путаем деления числитлелл на зноменатпелзч предстловитаь в виде султмы мноеочлена 1(х) и правильной рациональной др,б„В('~ га е 9(х) ' Р(х) тт(х) 9(к) Ю( ) — = Е(х) + —. Пап имер, +) — — -- неправильная рациональная дробь.
Р1х) х — 5г+ 9 т — 2 Разделим числитель на знаменатель в столбик: хз — 5х+9 х — 2 х4 2хз хз + 2хз + 4х + 3 2хз — 5х + 9 2 из 4хз 4х'> — 5х + 9 4хз -Зх Зх+9 Зх — 6 15. Получим частное А(х) = хз + 2хз + 4х + 3 и остаток Л(х) = 15. Следо— — — — +2 +4 +1~~ х — 5х 9,з,з, ° 15 Правильнью рациональные дроби вида )' х — а' (П). '4 (Ь > 2, Ь 6 И); (х — а) (1П). -Мх+1У вЂ” (корни знаменателя комплексные, т. е. рз — 49(0); х +1эх+у д|.,як*' ~ !т > З р- ° ° «>, ' ь' -~ -';д) Я где ., а, где А, а, М, Гт, р, у — действительные числа, называются простпейшими рациональными дробями 1, 11, 111 и 1У типов. 241 Теорема 31.8.
Всякую правильную рациональную дробь . знаРсхс Ю(х ' менатель которой разложен на множители Я(х) = (х — хс)ь'-(х — хг)ьп... (х +Рсх+йс)п ... (х +Рмх+й,„)' можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей: Р(х) Ас Аг Аь, — = — + — +...+ + сд(х) х — ХР (х — хс) (х — х~)ь' Вс Вг Вь, + — -+ .+ ° ° + „+ Х вЂ” Х2 (Х вЂ” Х2) (Х вЂ” Х2) Ссх+ РР1 С2х+ В2 СРРХ + ОРР 2 2 х'+р х+с7 (хг+р х+й )' '" (х'+р х+д )" Мсх+Р"Р'с Мгх+Жг МР х+Ф + г г+, + (хг+., + р ' (2+р + )Р (31.6) где Ас, Аг -. °, Вс ° Всь °, Сы Юы ..., Мы Жь ... — некоторые действительные коэффициенты.
Поясним формулировку теоремы на следующих примерах: хи+4 А В С О (х — 2)(х — 3)з х — 2 х — 3 (х — З)2 (х — З)з ' + + . + из+1 А В Сх+В хг(хг + 1) х хг хг + 1 ' 7хг + 8Х+ 9 А В Сх+ Ю (х 1)(х 2)(хг+ х+ 1)2 х 1 х 2 хг+ х+ 1 Мх+ 1т + (хг + х + 1)г Для нахождения неопределенных коэффициентов Аы Аг,..., Вы Вг,... в равенстве (31.6) можно применить метод сравнивания казффициеитиов. Суть метода такова: 1. В правой части равенства (31.6) приведем к общему знаменателю С,)(х); в результате получим тождество ( —— ,, где о'(х)— Я(х Я х)' многочлен с неопределенными коэффициентами.
2. Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тождественно равны и числители, т. е. Р(х) = Я(х), (31.7) 3. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (по те- 1.7) ереме 31.5 о тождестве многочленов) в обеих частях тождества (31. ), получим систему линейных уравнений, из которой и определим искомые коэффициенты Аы Аг,..., Вг,... 2 ' — 3 — 3 и РРР.Р.
пр~ щ с ~Р (т,— 1) (х — 2Х + мс с простейших дробей Ст Решение: Согласно теореме 31.8 имеем'- 2хг — Зх — 3 А Вх+ С (х — 1)(хг — 2Х+5) х — 1 хг — 2Х+5' 2хг — Зх — 3 А(хг — 2х+5)+(х — 1)(Вх+С) (х — 1)(хг — 2Х+5) (т — 1)(хг — 2Х+5) Отсюда следует 2 г — ЗХ вЂ” 3 = Ахг — 2АХ + 5А + Вхг — Вх + Сх — С, т.
е. 2хг — Зх — 3 г— е (А + В)хг + ( — 2А — В + С)х + (5А — С). ' Приравнивая коэффициенты при х, х, х, получаем ,2 1,0 < 2=А+В, — 3 = — 2А — В+С, — 3 = 5А — С. Решая систему„накопим, что А = — 1, В = 3, С = — 2.
Следовательно, 2хг — Зх — 3 — 1 Зх — 2 Ф 2 (х — 1)(хг — 2Х+ 5) х — 1 хг — 2Х+ 5 Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют также метод отидеиьиььт значений архумегсша после получения тождества (31.7) аргументу х придают конкретные значения столько раз, сколько неопределенных коэффициентов (обычно полагают вместо х значения действительных корней многочлена Я(х)). ПР Р РР.С. ПР~ Ра —— РЬ,,Р— . Р простейших дробей. ОР Р,,: и: —.С вЂ”: — — -- — = —, Р— - .
и Р Зх — 4 = А(х — 2) (х + 1) + Вх(х + 1) + Сх(х — 2). А = 2; положим х = 2, тогда тогда — с = ЗС, т. е. С = — 7. 3' В Положим х = О, тогда — 4 = — 2А, т. е. 2=6В, ... —— 3' \ Следовательно, 3сг — 4 2 1 7 =-+ г + г х(х — 2)(х+ 1) х х — 2 х+ 1 31.2.
Инте грирование простеиших рациональных дробей Найдеьг интегралы ог простейших рациональных дробей. 1- =И-.= — = А 1п )х — а~ + С (формула (2) таблицы интегралов); 7, А ~Г,. = А /Ь вЂ”.1- ГŠ—.1 = А С"=.— '~— 2. ' — ' ' = ь+1 + (формула (1)); М ь)7 Вь, ", лУчим ыделив в знаменателе полный квадрат, получим: Мх+/Ч , с/х, (, + й)г+, / /' Мх+ % й/(с я) + /у +/х+9,/ /г+аг 1п(1 +аг).+(/у — — р1 1 г ~+С т.е., возвршцаяськ переменной х, — Ь= — 1гг '+ х +~ +9~ п) ~ 77.). нм,/ 7'"+) ). / г "Ричем й — 4 > О.
Сделаем подстанс + я! 2' дх = с/г. Положим д — с-- = аг. Сле о д — = а . Следовательно, используя формулы (2) и (15) таблицы интегралов, получаем О Р и,. хг+2х+1О=(х+1) +9. Сде.паем ггсгдсгтановку + Тогда х = Ф вЂ” 1, с/х = сй и сй=З / — 2/~ —, Зх+1 / 3(1 — 1)+1 / гсй / ~1$ +2 +РО / ы+9 с/с 3/ В+9 2/ ~~+ 3 г 2 С 3 г 2 х+1 ,= — 1п(гг + 9) — — агссй) — + С = — 1п(хг + 2х+ РЗ) — — агс18 + С. 2 3 3 2 3 3 ~,,)Р),)- ° . (хг+рх+с/) Данный интеграл подстановкой х + ~ = / сводится к сумме двух 2 интегралов: Первый интеграл легко вьгчисляется: / ~ "/' 1 / г г — ь 1 /'(С +аг)си,/(/ +аг) +С И2 + аг)ь 2 / 2(1 — ьи/г + аг)ь — 1 Вычислим второй интеграл: /ь = , (сг+ аг) /г сй = (/г+аг)" аг / (гг+аг)ь ,// /г,// 1 /г 1/ ,,г ~~ (/г+аг)ь — г 1 (р+аг)ь/ аг ~ ь — ' 1 (/г+аг)ь)' (31.8) К последнему интегралу применим интегрирование по частям.
Поло- жим /аг /) г ' ) сг с~~) (/г + аг) ь ' г-ь г г 1 о=-~(с +а) /(/ +а ) = тогда сг гй с 1 / с/с (р+аг)ь 2(1 — х)(/г +аз)ь ' 2(1 — /с) г (/г+аг)"-' 1 2(1 — /с)(/г + аг)ь ' 2(1 — й) Подставляя найденный интеграл в равенство (31,8), получаем 1 1 аг 2(1 — х)(/г + аг)" г 2(1 — /с) т. е. 1 г'21» — 3 г г '~г — з+ ог 1 2)» 2 ' 2(1; 1)(рг + пг)г-г Полученная формула дает возможность найти интеграл,4 для любого натурального числа й > 1. .Ири иер 81.6 Найти интеграл,Уз = г — г — т. у (13 + 1)т' О Решение: Здесь и= 1, а =3. Так как г сй зз = ~ — =агс13»+С =/ 1+1= я,= /', сй 2 ° 2 — 3 (р +1) 2.2 — 2 2-(2 — 1)(гг+1) 1 — 2~~6~ 2(, ) +С, 4 4(13+1)г — 4(гг+ 1)' 4 (,2 К + 2(»г+ 1) + С' 31.3. Интегрирование рациональных дробей ',3 ,з лр ррр.р. н р, 1 1'р рр грр~ — +рр*.
х +2х +2х ~ Решение: Под знаком интеграла неправильная дробь; выделим ее целую часть путем деления числителя на знаменателгс + 2тз ,3 хз + 2т~ — 2Х~ — 2хз + 4Х +4 хр+ 2хз+ 2хг х — 2 + 4х + 4 — 4х — 4х 3 г 4хз + 4хг + 4т + 4 (остаток). Рассмотренный в пунктах 31.1 — 31.2 материал позволяет сформулировать общее проняло ингвегрщювавня рацоовальнмх дробей, ф 1. Если дробь неправильна, то прецставить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби; 2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби иа множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей; 3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Получаем хз + 2хз + 4Х+ 4 4хз + 4хг + 4х+ 4 =х — 2+ хз + 2хз + 2тг тз + 2хз +2хг Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби: 4тз + 4хг + 4х + 4 4хз + 4хг + 4х + 4 А В Сх + В р+ 2х" +2хг хг(тг+2х+2) .» х .» +2х+2 — + . + 4хз + 4хг + 4т + 4 = Ат(тг + 2х + 2) + В(хг + 2х + 2) + (Сх + В)хг, т. е. 4хз + 4тг + 4Х + 4 г— г (А + С) тз + (2А + В + Р) хг + (2А + 2В)х + 2В Отсюда следует, что А+С=4, 2А+В+В =4, 2А+2В = 4, 2В = 4. Находим: В = 2, А = О, С = 4, В = 2.
Стало быть, 4хз+4тг+4Х+4 2 4х+2 3+2,3+2 г,г,г+2, — +, н хз + 2хз + 4т + 4, 2 4х + 2 =х — 2+ — + Х4 + 2хз + 2тг хг тг + 2х+ 2 Интегрируем полученное равенство: — й -,, ')ДЬ— хз + 2хз + 4х + 4» ( 2 4х + 2 — с(х — х — 2 + — + тг+2хз+2хг у ~ хг хг+2т+2~ 2 г 4Х+2 — — — 2х — — + »Ь. - 2 1(+1) +1 Обозначим: » + 1 = Ф, тогда х = 1 — 1 и сЬ = »1». Таким образом, »Ь — ) сй — 4~~ — 2 с 1 = 4- — 1п(13+1) — 2агс1кг+ С = 2 = 2 ° 1п(тг + 2Х + 2) — 2 агс3б(х + 1) + С.
Следовательно, хз+2х +4х+4 1 х 2, +2)п(гг+2 +2) — 2агсгй(х+1)+С. тз+2ХЗ+2хг 2 х Отмегим, что любая рациональная фунхция интегрируется в зле. ментарных функциях. 3 32. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 32.1. Универсальная тригонометрическая подстановка 1-13' * 1 сов'х =— 1+>„2 к 1+>г 213 к 2~ Действительно, втп х = 1+2$' *. 1+В ' 2 х=2агсьйтч >Ь= — Ф.
Поэтому 1+Р =,/' (; ). ( 21 1 — Рч 2 Л(вшх; совх) тЬ= 1 Л( —; — ) - — т(1= т Л (2) та' ,1+В' 1+22) 1+Р 1 т > где Лг(1) — рациональная функция от С Обычно этот способ несыт громоздкий, зато он всегда приводит к результату. На практике применятст и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции.
В частности, удобны следующие правила: 1) если функция Л(илх;сеет) т>ечетпиа отиосатпельио ивх, т. е. Л( — ипх; совх) = — Л(вшх;саят), то подстановка совх = 1 рационализирует интеграл; 2) если функция Л(21пх;тгтвх) иечетпиа отпиосительяо совх> т.е. Л(ипт; — совх) = — Л(вш:г;совт), то делается подстановка вшх = 1; 3) ет пи функция Л(вшх; совх) чешиа относительна вшх и совх Л( — ип 2:; — сов х) = Л(вш х; сов х), то интеграл рационализируется подстановкой 13х = С Такая же подстановка применяется, если интеграп имеет вид ( Л(1йх) Ь. ПРимер 33.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
