Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 38
Текст из файла (страница 38)
интеграл от суммы равен сумме интегралов. / (~ь(х) + Ях)) й; = 1пп "~ ((ь (сь) + ~я(сь)) Ьхь = Р 2=1 и 22 ь ь 1ПП ) А(С;)2гХ2 2у йШ "~ Гг(С;)22ХЬ = /г1(Х)дХ+ / гг(Х)4Х. ° 2=1 2 2 Свойство 2 распространяегся на сумму гпобого конечного числа слагаемых. ь 2 Это свойство можно принять по определению. Это свойство также подтверждается формулой Ньютона-Лейбница. ь 0 ] Х(х)дх = Е(Ь) — Е(ы) = — (Е(а) — Е(Ь)) = — [ Х(х) дх.
г ь 4. Если 1]н!нкциг 1(х) интегриругма на [а; Ь] и а < с < Ь, то ь ь ~К*) -=~тд-+~и*)д-, (38.3] а а с т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называк>т аддитивностью опрец ленного интеграла (или свойством аддитивности). ( 1 При разбиении отрезка [а; Ь] на часги включим точку с в число точе деления (это можно сделать ввиду ыпьависымости предела интеграл . ной суммы ог способа разбиения отрезка [а; Ь] на части).
Если с = х„ то интегральную сумму можно разбить на две суммы: г(с!)Ах! = ~! Дс;)Ах! + ~~ г(сь)!гхь ь=1 ь=! !=а Каждая из написанных сумм является интегральной соответственн для отрезков [а; Ь], [а; с] и [с; Ь]. Переходи к пределу в п<кледнем равенстве при и -ь оо (Л -ь О), получим равенство (38.3). 6 Свойство 4 справедливо при любом расположении точек а, Ь, с (считаем, что функция Дх) интегрируема на большем из получающихся отрезков) .
Так, например, ецли а < Ь < с, то с ь с /' У(х) дх = [' Дх) г(т+ /' Дх) ьЬ. Отсюда ь с с С ь ] 1'(х) ььх = ( Дх) ах — / Дх) ььх = ( Дх) ььх+ /.! (х) ь(х а а ь г с (использованы свойсгва 4 и 3). 5. «Теорема о среднем». Если функция Дх) непрерывна на огаргзкг [а; Ь], то суьцествует то ка с б [а;Ь] такал, чпю 266 ь По формуле Ньютона — Лейбница имеем ~ Дх) дх = Е(х)[ = Е(Ь) — Е(а), а где Е'(х) = Дх)- Применяя к разности г'(Ь) — Е(а) теорему Лаграюка (!еорему о конечном приращении функции), получим Г(Ь) — Г(ы) = Г(с) (Ь вЂ” а) = Дс) ° (Ь вЂ” а). ° Свойство 5 («теорема о среднем») ври Дх) > О имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, прн некотором с б (а; Ь), площади прямоугольника с высотой Г(с) и основанием Ь вЂ” а (см. рис.
169). Число Рис. 169 называется средним значением функции 1(х) на отрезке [а; Ь]. б. Если функция г(х) сохранягп! знак на отрезке [а; Ь], где а < Ь, ь то интву>ал [ 1(х) дх имев!а !пот жг знак, чпьо и Ь~нкцил. Так, если а 1 (х) > О на отрезке [а; Ь], то / 1(х) дх > О. (.]( По «теореме о среднем> (свойство 5) ~ Дз!) йх = 1"(с) (Ь вЂ” а), где с 6 [а; Ь].
А так как Дх) > О длн всех х 6 [а; Ь], то и Дс)>О, Ь вЂ” а>О. Поэтому 1(с) (Ь вЂ” а) > О, т. е. ] 1(х) дх > О. 7. Неравенспьво между непрерывными функциями на отрезке [ой Ь], (а ( Ь) можно интегрировать, Так, если гг(х) ( 1г(х) при х Е [а; Ь], ь ь то ],!1(х) ах ~< ] ьг(х) дх.
г г 267 (.г Так как фг(х) — 7г(х) > О, то при а < Ь, согласно свойству 6, имеем / (.Гг( г) „~1 (х)) дх» »О. а Или, согласно свойству 2, ь Ь ь ь / Хг(х) гбг — ~,(ь(х) дх )» О, т. е / 1"1(х) дх ( / фг(х) дх. а а а а Отметим, что диффереьщировать неравенства нельзя. 8. Оценка интеграла.
Ьсли т и М вЂ” соответственно иаимеиьш и иаиболыаее значения фрикции у = 7'(х) иа отрезке [а; Ь[, (а < Ь), т(Ь вЂ” а) < / Лх) дт < М(б — а). (88. а (.З Так как для люгх>го х б [а; Ь[ имеем т < ф(х) < М, то, согласнсвойству 7, имеем у д, < ~ ~(х) Ь < / М д . а а а 'М" ''::.:.:': У=У(х) Применяя к крайним интеграла свойство 5, получаем ь (Ь- )</7()д < (Ь- ) Ряс. 170 Если 7'1х) > О, то свойство иллкжтрируется геометрически плогцадь криволинейной трапепии заключена меркну площадями пря моугольникое, основание которых есть [а; Ь[, а высоты равны т и (см.
рис. 170). 9. Мойьаь определенного иитпеграла ие превосходит итпеграла о модуля пвдыигпегральиой функции; Ь ь / Дх)дх < / [~(х)[дх; а(Ь. а а ( [[ Применяя сгюйство 7 к очевидным неравенствам -Щх)[ < 1(х) < [((х)[, получаем ь ь Ь вЂ” / [1(х)[ ах < / 1(х) дх < / [1(х)[ь(х, а а а Отсюда следует, что / 7(х) дх < / [,г(х)[ дх. 10 Производиал определенного иигпеграла по переменному вера,ие му пределу равна подыитегральиой функции, в когпорой перемеииап пигпегрироваиил заменена этим пределом„т.
е. с а / /~(ь) а = Л.). а а [„ь По формуле Ньютона — Лейбница имеем: /Х(б) гй = Е(1)1* = г(х) — Р'(а). а Следовательно, с Ж У / Ж дь) = (р(*) — е( ))'. = е'(*) — о = Х( ). а а Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна иэ первообразиых подыитегральиой фрикции. 8 39. ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 39.1. Формула Ньютона-Лейбница Простым и удобным методом вычисления определенного иптегра- Ь ла /7(х) дх от непрерывной функции является формула Ньютона- а Лейбница: /'Лхмх аа (х)['.
= (Ь) - ( ) Применяется этот метод во всех случаях, когда может бьггь найдена первообразная функции Г(х) для подынтегральной функции 1(х). Например, /вшхг(х = — созх[ = — (созя — созО) = 2. е При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям. 39.2. Интегрирование подстановкой [[заменой переменной) ь Пусть для вычисления интеграла / 7 (х) дх от непрерывной функ- а ции сделана подстановках, = Ьг(1). 268 269 1444в+ ив') дх = ив~„. й Следовательно, 4„) Решение: Положим и = 1п т =й ди = — дх 1 х 2 4)в = хдх =ь в = '2 44/2 4 ' 44 4 4 — 4~ 4-2 4й=. 270 271 / /14/41г)) ° 4//1ь) 4й = г 14/414)) ~ = г 1741/7)) — Г14/4142)) = й ь = ЕСЬ) -ГС.) = ~/С-) д*.
Формула 139.1) называется формулой гамены переменной е апре деленном интеграле. Отметим, что: 1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется; 2) часто вмьжто подстановки х, = р(ь) применяют подстановку 4 = = 91х); 3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене. переменных! Пример 39.1. Вычислить / хг.~/4 — хт дх. 1,,2 Решение4 Положим х = — 2 впь, тогда дг; = 2 согььй.
Если х = О, то в= О; если х =2, то г = и. Позтому й/2 й/2 й/2 1 2 = 16 1 вп~ьсоз~ЬЮ=16 1 — вп йгдг = 4 1 — (1 — сов44)4й= о о о = 2И /2 — — й 41!,~ ) = 2( — — О) = . ° 39.3. Интегрирование по частям Д На отрезке 1а„.Ь] имеет место равенство 1ив)4 = и'в + ив'. Следо- вательно, функция ив есть первообразная для непрерывной функции и'в + ив'. Тогда по формуле Ньютона — Лейбница имеем: в.йдх+ ~ив'44х = ив], ==~ й й ь ь ь ь ь г ь г =~ / иди+ / иди = 24в] =Ь / и йв = ив] — / ода.
° й й й й й й Формула 139.2) называется формулой интегрирования по частям длл опредаяенного инпьеграла Пример 99.2. Вычислить ~х)их ах. с и =х г(и = в1гг х дх =»» ди = дт и = — совх 273 Применяя формулу (39.2), получаем х1пхдх = — 1пх[' — 1 —, ° — »Ь = 1 г гз 1 хги г,з гз = — — Π— — —,~ = — — — + — = -(с +1). Ф 2 2 2[г 2 4 4 4 Оример ЯУ.Я. Вычислить интеграл [ хвшхдх. о О Решение: Интегрируем по частям. Положим Поэтому л д = -хсовх[„'+ / совхдх = — я ( — 1)+О+вшх[ = я. Ф о 39.4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах Пусть функция 7 (х) непрерывна на отрезке [ — а; а), симметрично относительно точки х = О.
Докажем, что а 2 - г' 7»(х) дх, если Дх) — - четная функция„ 7"(х) Йс = (39.3 О, если 7(х) — нечетная функция. (,1 Разобьем отрезок интегрирования [ — а; о) на части [ — а; 0) и [О; о[. То-. гда по свойству аддитивности а О а [ У(х)гЬ= [ У(х) Ь+~Х(х)~ . (39.4) -а г о В первом интеграле сделаем подстановку т = — С Тогда о о и а ~ Лх)гь= — [ Л вЂ” 1)дь=~й — в)й= ~И вЂ” х)д -а а О о (согласно свойству: копределенный интеграл не зависиг от обозначения переменной интегрирования»).
Возвращаясь к равенству (39.4), получим к а » а ~ .г'(х) г(х = [' 7"( — х) дх+ [ 7"(х) дх = ~(г"( — х) + 7'(х)) дх. (39.5) ' Если функция 7" (х) четная (,г'( — х) = Лх)), то 7'( — х) + Лх) = 27*(х); если функция Дх) нечетная (7( — х) = — ((х)), то 7" ( — х) + Х(х) = О. Следовательно, равенство (39. 5) прин им ает вид (39. 3).
° Благодари доказанной формуле можно, например, сразу, не производя вычислений, сказать, что совгх в1пвхдх = О, [ е * в1пхдх = О. 3 40. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ь Определенный интеграл [ Лх) дх, где промежуток интегрировагпгя [а; 5) конечный, а подынтегральная функция 7(х) непрерывна на отрезке [а; 5[, называкл еще собственным интегралом. Ц Рассмотрим так называемые несобсгпвенные иниьегралы, т. е, определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.
40Л. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл ! рода) Пусть функция г'(х) непрерывна на промежугке [и;+со). Если ь существует конечный предел йш 1 7(х) дх, то его называют несоб- ь — »+о» г .~-оа » ствсннъии ин лсгра ом первого рода и обозначают [ 7 (х) дх. Таким образом, по определению В этом случае говорят, что несобственный интеграл [ 7" (г:) дх схоа дивгся. Если же указанный предел не существует или он бесконечен, »сю то говорят, что интеграл / Лх) »Ь расходится. а ( — сю;Ь]с / ((х) б(х = йш /,((х) гЬ».
значение меньше 1). ь,)ь Решониес Интеграл +сю — ~- сходится и сЬо 1 1пп а — с+ ос 274 275 Аналогично определяется несобственный интеграл па п1юмежутке Несобственный интеграл с двумя бесконеч ными пределами определяется формулой +са с +Ос ~(х)дх= /' ~(х)дх+ /' Дх)(х, Рис. 171 где с — произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба ингеграла справа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
