Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Отметим, что если непрерывная функ+Ос ция 7(х) > О на промежутке (а;+ос) и интеграл / Дх) дх сходит- а ся, то он выражает плоьцодь бесконечно длинной криволинейной трапеции (см. рис. 171). Луимер 4ОЛ. Вычислить несобственные интегралы или устано+аа о аа вить их расходимостьс 1) / вт; 2) / сснхс1х; 3) / — ",*.
1 ..сю ) +Ос ь 1)ь ),1) Решение: 1) 1 ф = йп) ) х ~дх = — йьп — ~ = — (Π— 1) = 1, х ь-++~ » ь-ь+ ь 1 интеграл сходится; о о 2) / осохших = 1пп 1 совхс)х = !пп в1г)х~ = Π— 1пп вша, а — ) — са и а-+ — аа а а-ь — оа — са а интеграл расходится, так как при а -+ — со предел 1пп вша не существует. са ь 3) ~ — = 1пп ~ — ' =- 1пп !п Ь = со, интеграл расходится. ° 7 с(х Г г1» х б — )са х ь-)ас В некоторых задачах нег необходимости вычислять интеграл; достнгочно лишь знать, сходится ли он или нет.
Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости. Орььмер»Кй. Сходится ли интеграл ( р — — „—. ,/ 2(1+ 3") ' 1 О~ ':«а'*~' ""~)' 1 1 Г сьх х (1+3) х ,) х 1 сходится. Следовательно, интеграл / -~ — — ' — такжесходится(него дх х (1+3*) -).са Пример ОО.Я. Исследовагьгходимость инптрала / 1п 2+ — с)х. х +1 1 +аа 1п хо+ с1х сходитси, так как интеграл 1п(1 + аз+ — ) -т+ь 11п) *+ = йп) — * =.
1. т — ).)-са 2 40.2. Интеграл от разрывной функции 1несобственный интеграл П рода) Пусть 'е]>ункция У(х) непрерывна на промежутке (а; Ь) и имеет бесконечный разрыв при х =- Ь. Если существует конечный предел ь--е йп1 1 1"(и) е(х, то его называют несобственным интегралом егпорого е-+0,1 а ь рода и обозначают / Дх) дх.
а Таким образом, по определению, Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл ь Дх) е1х сходигпса. Если же указанный предан не существует или беса ь конечен, то говорят, что интеграл / 7(х) дх расхоеяеньсл. а и Аналогично, если функция 1(х) терпит бесконечный разрыв в точке 1 х = о, то полагавтг ь ь е~Дх)йю= Бгп ) Дх)дх. 3 а ае е ! Гели функция 1(х) терпит разрыв во 3 внутренней точке с отрезка (о; Ь], то несобственный интеграл второго рода Ь вЂ” еЬ определяется формулой Рис. 172 ь / Х(х) Пх = ] 1(х) йх + / 1(х) 11х. а а е В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся. В случае, когда 7(х) > О, несобственный интеграл второго рода ь 1" (х) дх (разрыв в точке х = Ь) можно истолковать геометрически как а площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см.
рис. 172). 1 1?ример ~0.~. Вычислить ) — т. х о 1 'ь Решение: При х = О функция р = — 2 терпит бесконечный разр1 пе; 1 — — ) — = 1пп / и е(х = — 1пп — ] = — ~1 — 1ш1 — ) = оо, еьх . г хт е +О е +Ох е+е ~ е — еее) о оь интеграл расходится. Сформулируем признаки сходимости для несобственных интеграпов второго рода Теорема 40.3.
Пусть на промежутке [а; Ь) функции 7"(х) и уе(х) непрерывны, при х = Ь терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют ь условию 0 < 7(х) < Ье(х). Из сходимости интеграла / р(х) е1х выа текает сходимость интеграла ) Дх) дх, а из расходимости интеграла ь а Дх) дх вытекает расходимость интеграла / ье(х) дх. а а Оример 2О.Б. Сходится ли интеграл е1 —. г Ьт о 1пп — = 1пп —, =1, г(х) е-+о еа(х) *-+а вп х то интеграл ) —. г дт / зшх также расходится. О Реп1ение: Функция Дх) = —. имеет на (О; 1] единственный разрыв 1 впх в точке х = О.
Рассмотрим функцию ~р(х) = —. Интеграл — 1 1 1 — = 1пп ) — = 1пп1пх] =0 — 11п11пз е(х, г 11х х е Ю т е+О е-ее е о+ расходится. И так как 276 277 3 41. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 41.1. Схемы применения определенного интеграла Пусть требуегся найти значение какой-либо геометрической и физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жидкости на вертикальную п.пастину и т. д.), связанной с отрезком [а; Ь изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта вели чина А адцитивна, т. е.
такая, что при разбиении отрезка [а; Ь] точко с е (а; Ь) на части [а; с] и [с; Ь] значение величины А, соответствующ всему отрезку [а; Ь], равно сумме ее значений, глютветствующих [а;с и [с; Ь]. Для нахождения этой величины А можно руководствоваться одно из двух схем: 1 схема (или метод ин>иегрвльных <з<мм) и П схема (ил ме<иод дифференциала). Первая схема базируется на определении ойределенного ин грала.
1. Точками хв —— а,х>,..., х„= Ь разбить отрезок [а; Ь] на и частей. В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на я «элементарных слагаемых» А А< (1' = 1,..., п): А = >ьА> + <.'>Аг + ... ... +ЬА„. 2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произ-. ведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вь<чи-, сле<шой в произвольной точке с<м>твегствующего отрезка на его длину: ЬА< и ]'(с<)Ьх<. При нахождении приближенного значения <1А< допустимы некоторые упрощения: дугу на малом участке можно заменить хордой, стягивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно приближе>шо считать постоянной и т. д.
Получим приближенное значение величины А в виде интегральной суммы: А — 7(с>)><,х +... + <(с„)<тхв = ~~ >г(<)>>,х< >=.1 3. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е. А = 1пп ~~ 7"(с<)<ах< = [ 1(х) дх. (Л ->О) >=1 а Указанный «метод сумм>, как видим, основан на представлении ин<пе-, грала как о <г>ммв бесконечно большого числа бгсквне <но малых слагаемых. Схема 1 была применена для выяснения геометрического и физического смысла определенного интеграла. 278 В<лорал схема представляет собой несколько вицоизл<ег<енную схему 1 и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядковж 1) иа отрезке [а; Ь] выбираем произвольное значение х и рассматриваем переменный отрезок [а; х].
11а этом отрезке величина А становится функцией х: А = А(х), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(х), где х е [а; Ь] —.- один из параметров величины А; 2) находим главную часть приращения <ьА при изменении х на малую величину А<х = дх, т. е. находим дифференциал <)А функции А = А(х): <1А = г'(х) дх, где 7'(г>), определяемая из условия зад<ни, функция переменной х (здесь также возможны различные упрощения); 3) считая, что <1А и ЛА при >'.1х — > О, находим искомую величину путем интегрирования «А в пределах от а до Ь: ь А(Ь) = А = [ Х(х) <(х. а 41.2.
Вычисление площадей плоских фигур Прямоугольные координаты Как уже было установлено (см. «геометрический смысл с>пределенного интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположенной с<выше» оси абсцисс (7(х) ) О), равна соответствующему <>пределснному ин- у и= йх) тегралу: ь ь 5 = [' 7(х) дх или о = ]' у<(х. (41.1) б(х) '>)Я а -<)х>' Формула (41.1) получена путем применения схемы 1 — метода сумм. Обоснуем формулу (41.1), используя схему П, Пусть криволинейная трапеция ограничена линиями у = г(х) ) О, х = а, х = Ь, у = О (см. рис.
173). Для нахождения площади о' этой трапеции проделаем следующие операции: 1. Возьмем произвольное х Е [а; Ь] и будем считать, что о = о(х). 2. Деним аргументу х г<риращение >лх = <4х (х+ а<х Е [а; Ь]). Функция о' = о'(х) получит приращение <ло', представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена). Дифференциал площади «о' есть главная часть приращения ььо' при <1х — > О, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основанием <4х и высотой у> <Ю = у «х.
279 (41. 2) Рис. 174 ь ь Рис. 178 Рис. 177 Я= — (( 2х)с/х+ ((х е 2 2х)дх = Рис. 175 Рис. 176 28О 3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = Ь, ь получаем Я = 2~ ус/х. а Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (Дх) < 0), то ее плошадь может быть найдена по формуле Формулы (41.1) и (41.2) можно объединить В одну: Площадь фигуры, ограниченной КРивыми» = Л(х) и д = /2(х)~ прямыми х = а и х = Ь (при условии 72(х) > уь(х)) (см.
рис. 174), можно найти по формуле Я = ( /2(х) ььх — ~ Л(х) Йх = ( (/2(х) — /ь(х)) пх. Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис. 175), т прямыми, параллельными оси Ор, ее следует разбить на части так чтобы можно было бы применить уже известные формулы. Если криволинейная трапеция ограничена прямыми р = е и р = ь( осью Ор и непрерывной кривой х = ьь(д) > О (см.
рис. 176), то ее д площадь находится по формуле Я = (' х ду. с И , наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, за- ~)аииоЬ гьараметрпчески х = х(ь), и =и(1), прямыми х = а и х = Ь и осью Ох, то площадь ее находится по формуле д 8= ~й(Ь).х'(1)й, где о и 8 определяются из равенств х(о) = а и х(//) = Ь. Пример 41.2. Найти площадь фигуры, ограниченной осью Ох. и графиком функции р = Х2 — 2Х при х Е (О; 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
