Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных. Будем рассматривать функции двух переменных, так как все важней|лис факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Эти факты обобпнпотся на случай болыпего числа переменных. Кроме того, для функций двух переменных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. й 43. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 43.1. Основные понятия Д Пусть задано множество Р упорядоченных пар чисел (х;у). С ответствие Х, которое каждой паре чисел (х; у) Е Р сопоставляе одно н ~олька одно число «е К, называется функцией двух пере манных, определенной на множестве Р со значениями в К, и записы вается в виде « = )(х; у) или Х: Р -+ К.
При этом х и у называют независимыми перемонными (арэументами), а « — зависимой пере менной (функцией). Множество Р = РЯ называется областью определении функции Множество значений, принимаемых «в области определения, назыв ется областью изменения этой функции, обозначается Е(Х) или Е. Примером функции двух переменных может служить площадь прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и д: Я = хд Областью определения этой функции является множество ((х; у) ( х > О, д > О). Д Функцию « = )'(х; у), где (х;у) е Р можно понимать (рассматривать) как функцию точки М(х;д) координатной плоскости Охд.
В частности, областью определения может быть вся п.лоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей обласгпи. Точки области, не лежащие' на границе, называются внуптренни.ми. Область, состоящая нз одних внутренних точек, называется огпнрытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнугпой, обозначаезся Р. Примером замкнутой области является круг с окружностью.
Значение функции « = )(х; д) в точке Мо(хо, уо) обозначают «о —— = )(хо, уо) нли «о = Х(Мо) и называют частньии значением функции, Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке Мо(хо; до) области Р в системе координат Оху«соответсгвует точка М(хо; уо, «о), где «о = Пхо'до) -- аппликата точки ЛХ. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторун> поверхность, которая и будет юометрически изображать данную функцию « = Х(х' д). Например, функция « = ~/1 — хз — дз имеет областью определения круг «« +у«( 1 и изображается верхней полусферой с центром в точке О(О; О; 0) н рэпнусом К = 1 (см.
рис. 204). Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задала разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы. Для функции двух (и больщего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек ЛХ(х; д) плогзгости„координаты которых удовлетворяют нера- венствУ чу(х — то)з + (д — до)з ( Л, называетсЯ 6-окРесганостью клочки Мо(хо, уо). Другими словами, 6-окрестность точки Мо — это все внутренние точки круга с центром Мо и радиусом 5 (см.
рис. 205). Д Пусть функция « = Х(х;у) определена в некоторой окрестности точки Мо(то, уо), кроме, быть может; самой этой точки. Число А называется преоелом функции « = ) (х; у) при х -+ хо и у -+ уо (или, что то же самое, при М(х;д) — г ЛХо(хо;до)), если для любюго е > 0 существует 6 > 0 такое, что для всех х ф хо и у ~ уо и удовлетворяю- щих неравенству Х х — же)з + (у — уа)з < д выполняется неравенство (Х(ж'у) — А~ ( а. Записывают: !!ш Х(МД м-+мо деления следует что если п1 от пути, по которому ЛХ стремится к Ме (число таких направлений бесконечно;,пля функции одной переменной х -+ ха по двум направлениям: справа и слева!) Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем.
Каково бы ни было число е > О, найдется 6-окрестность точки Мо(хо; уо), что во всех ее точках ЛХ(х; д), отличных от ЛХе, аппликаты соотвеп:твующих точек поверхности з = Х(жду) отличаютс от числа А по модулю меньше„чем на е. з 2 Пример аЯ.Х. Найти предел 1пп ~т — -дт. х — юх +у а-ю (~! Решение: Будем приближаться к 0(О; 0) по прямой у = ах, где к некоторое число. Тогда хэ — уз хз — ьзхв 1 — ьз 1 — йз 22 — 222=!11 *-+ох +у к-ье, з+ьзуз .— о1 ! 1,2 1+ьз.
3 2 Функция ж = ж — дт в точке 0(0; 0) предела не имеет, т. к. при разных х +у значениях к предел функции не одинаков (функция имеет различные предельные значения). Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной (см. и. 17.3). Это означает, что справедливы утверждения: если функции Х(М) и д(ЛХ) опреде.лены на множестве Р и имеют в точке Ме этого множества про делы А и В соответственно, то и функции Х(М) ж д(ЛХ), Х(М) . д(М), —.Ь Х М) (д(М) ф О) имеют в точке Ме пределы, которые соответственно равны А ж В, А .
В, — (В ф 0). 'В 43.3. Непрерывность функции двух переменных Д Функция ж = Х(ж;д) (или Х(М)) называется ненре1оыаной в точке Мо(хо, уа), если она: а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности, б) имеет предел 1ш1 .Х(ЛХ), м-+ьь в) этот предел равен значению функция з в точке Ме, т, е. 11ш,Х(М) =1(ЛХО) ли 1пп,Х(х;у) = Х(хе,ув).
и- м, э-~го Функция, непрерывная в каждой точке некото1юй области, вазы- вается непрерывной в этой абласгли. Точки, в когорых непрерывность р гаается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функпии в точке), называются тачками разрыва этой функции. ки разрыва х = Х (х; д) могут образовывать целые линии раэрьюа. Так, функ ия ж = имеет линию разрыва у = х.
2 Ц д — х Можно дать другое, равносильное приведенному. вьппе, определе- ние непрерывности функции в = Х(х; у) в точке. Обозначим Ьж = х — ха, Хгу = у — уо, Ьз =,Х(х; у) — Джа', уе). Величины Х1ж и Ьу называются приращеиикии аргументов х и у, а Ьз — полним приращением функ- ции Х(ж; у) в точке Ме(хе; уе). ф ункция з = ж; Функция з =,Х(ж; д) называется непрерывной в точке Мо(жа', уо) е Е, если выполня Р, шолняется равенство йш Ьз = О, г.
е. полное прираь*-~е Ьр — гз щение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов х и у стремятся к пулю. Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции пал непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывньпч функциям — подобные теоремы имели место для функций одной переменной (см. п.
19.4). 43.4. Свойства функций, непрерывных в осраниченнои замкнутой области Приведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой обласги (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функций одной переменной — см. п. 19.5). Предварительно уточним понятие области. П Об тью называется множество точек плоскости, обладающих сЗ лас свойствами открытости и связности. Саойсглаа открыпюсти: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки. Свойство связности: эпобые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области. Д очка е нэзыв Точка !Уе называется ераничной гпочной области Р, если она не принадлежит Р, но в любой окрестности ее лежат точки этой области (см. рис.
206). Совокупность граничных точек области Р называет- ся границей В. Обтшсть Х1 с присоединенной к ней границей называет ся замннугпой областью„обозначается П . Область называется ограз ниченной , если все ее точки принадлежат некоторому кругу радиуса 17,. В противном случае область называется неограниченной. Примером неограниченной области может служить множество точек перво- координатного угла, а примером ограни~е~пюй— 6-окрестность точки Мо(хо'уо). Теорема 43.1. Если ф нк фу ция г = 7(Ж) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой облзст: ) ласти: а) ограничена, г.
е. существует такое число Л ) О, что для всех точек Ж в этой области выполняется неравенство ЩАг)( ( Л; б) имеет точки, в которых принимает наименьшее т и наибольшее М значения; ) ния; в) принимает хотя бы в одной точке области любое и М. сти любое численное значение, заключенное между гп Теорема дается без доказательства. 244. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 44.1. Ч ..
Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование тп он называется частной производной функции з = Г'(х;д) в точке М(х", у) по переменной х и обозначается одним из символов: дг, дт' "д ' "дх ' «астные производные по х в точке Мо(хо, уо) обычно обозначают символами ( (хо уо), Х„~ 'мо Аналогично определяется и обозначается чагтнзл производная от л = 1(х; у) по переменной у: Нх у+ Ау) — Я;у) г' = Ип " = йш тхт-ло Ау дг-ле Ау Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как п«юизводная функции одной из этих переменных цри условии постоянства значений остальных независимых переменных.
Поэтому частные производные функции 1(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной). Лример Щт. Найти частные производные функции з.= 2д+ е' ' "+1. С1 Решение: г' =(2у+е* — к+ Ц', =(2д)',+(е* ") +( ) О *'-~.( д)'+О= ' ".(2х — О)=2"'' хх— ' = 2+с* " ( — 1). Если существует прелел Рис. 207 309 усть задана функция г = у(х; д). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Да .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
