Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 45
Текст из файла (страница 45)
— + —. — +О- — +О с(1 ах с!1 ах сй сй с!2 ' Частный глучай: 3 = 1'(х;у), гле д = у(х), т. е. 3 = 1(х;д(х))— сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной с играет х. Согласно формуле (44.8) имеем: Формула (44.9) носит название усорзсуаы полной произаодаой. Осйссий случай: 3 = Дх;у), где х = х(и;о), д = д(и;о).
Тогда 3 = 1(х(и; о); д(и; о)) — сложная функция независимых переменных и и о. Ее частные производные — и — можно найти, используя фораз аз аи ао мулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав о, заменяем в ней —, аз аз дх Ь.. сМ' сй — — соответствуюпсимв частными произвсдными —, д —, аи' ди' аи' Аналогично получаем: ж-.
= д- — + д д ах аз ду ' 32 с~х ао ау ао Ю Таким образом, производная сложной функции (2) по каждой не- зависимой переменной (и и о) равна сумме произведений частных производнык этой функции (2) по ее промежуточным переменным (х и д) на их производные по соответствующей независимой переменной (и и о). Д а. 11айти аз и аз, если 2 = 1п(х + У ), х = сс аи ао' у („О Решение: Здесь Р(х;у;«) = е'+« — хгд+1 гт = — 2х Р' — — — ' х ху> р Е> = е' + 1. По формулам (44.12) имеем: д« = + — «=и— ' дх е +1' дд е'+1' Ю РимеР 44.Х Найти — ~, если неявная ф „— у( ) .
„ уравнением уз + 2У = 2х. (.й Репгение: Здесь Е(х;у) = до +2У 2 и 2 г, 3 « д + 2. Следовательно, д„' = —. 2 ~К 2 зу +2' д Зуз+2. 345. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ Р ассмотрим одно из геометрических приложен й и частных производных функции двух переменных. Пусть футткция « = Дх;у) дифференцируема в точке (хо,уо) некоторой области Р е К«. Рассечем поверхность В, изображающую функ- 12 цию «, плоскос'гями х = хо и у = у У=до (см. рис. 208). Плоскость х = хо пе- , '5 «О(х) ресекает поверхность д по некоторой «О(д) >Мо линии «о(у), уравнение которой полу> > о чается подстановкой в выражение ис- >до — х дной функции « =,1(х;у) вместо х числа хо.
Точка Мо(хо, .уо,. Дхо, до)) хо,'-- принадлежит кривой «о(у). В силу дифференцируемоств т)тункцитт «в точке Мо Функция «о(у) также является дифференцируемой в точке д = = до. Следовательно> в этой точке в Рис. 208 плоскости х = хо к кривой «о(у) мо- П во жег быть проведена касательная 1 . ро дя аналогичные рассуждения для сечения у = уо, построим касательную Ь к кривой «О(х) в точке ', = — . П 1 г х = — хо. рямые т и 1г определяют плоскость тт, которая называется касхиоельной плоскостпью к поверхности д в точке Мо. Мо хо. то Составим ее уравнение.
Так как плоскость гт проходит чере через точку о(хо; уо, «о), то ее уравнение может быть записано в виде А(х — хо) + В(у — до) + С(« — «о) = О, которое можно переписать тию (разделив уравнение на — С и обозначив — =- Ап — .= Вт). А В г — С ' — С Найдем Ат и Вт. Уравнения касательных 1т и 1«имеятг вид « — «о = (О(хо; Уо) ' (У Уо) х = хо; «о = (и(хо'уо) ' (т — хо), у = уо и> ютветственно.
Касательная 1т лежит в плоскости ст, следовательно„координаты всех точек 1, удовлетворяют уравнению (45.1). Этот факт можно запигхгь в виде системы « — «о = Х„(хо; уо)(у — до) х = хо, « — «о = Ат(х — хо) + Вт(у — уо) Разрешая эту систему относителыю Вт, получим, что Вт = го(хо;уо). Проводя аналогичные рассуждения для касательной 1г, легко установить, что Ат = Д(хо; уо). Подставив значения Ат и Вт в уравнение (45.1),получаем искомое уравнение касательной плоскости: (45.2) Прямая, проходящая через точку Мо и перпендикулярная каса- Д тельной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью. Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости (см. с.
103), легко получить канонические уравнения нормали: (45.3) Если поверхность Б задана уравнением Г(х; у; «) = О, то уравнения (45.2) и (45.3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции: .Г,'(ХО; УО), Го>(ХО; Уо) У.',(хо до) = — „, ' „Д,(хо,'до) =- —;", ,г,(хо;уо) ',\хо; до) (см. формулы (44.12)), примут соответственно вид ги(хо~до) ' (х хо) + го(хо~до) ' (У Уо) + г1(хо'уо) (««о) = О (45.1) 318 '4"(х хо) + Вт(д — до) х — хо у — УО « — «О г и(хо>УО) гр(хо>УО) ~~(хо>УО) ~! Конопекекасций по вмпнеймвмммпке. Пенной курс 320 Замечание.. Формулы касательной плоскости и нормали к поверх ности получены для обыкновенных, т. е.
не особых, точек поверхности Точка Мо поверхности называется особой, если в этой точке все чагп ные производные равны нулю или хотя бы одна из них не сущесгвуг ~ Такие точки мы не рассматриваем. ??ример 45.1. Налисгггь уравнег мали к цараболонду вращения е = хз (,) Решение: Здесь г' = Д(х;у) = 2 ~„'(1; — 1) = — 2.
Пользуясь г)юрмулам пение касательной плоскости: г — 2 2х — 2у — я — 2 = 0 и уравнение норма ~4б. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИ 46.1. Основные понятия Понягие максимума, минимума, э менных аналогичны соответствующим висимой переменной (см. п. 25.4). Пусть функция г = 1(х;у) опред точка Аг(хо' Уо) Е 1Р. Д Точка (хо; уо) грвзывается гпочкой = 1(х; у), если существует такая 6 для каждой точки (х; у), отличной от ( полняется неравенство 1(х; у) < ?(хо, у Д Аналогично определяется точ- ка минимума функции: для всех точек (х; у), отличных от (хо; уо) из д-окрестности точки (хо,уо) выполняется неравенство: ( (х; у) > > ?(хо; уо).
На рисунке 20йл Агг — точка максимума, а АРз -- точка минимума функции г = ?(х; у). Д Значение функции в точке мак- Рис 209 снмума (минимума) называется максимумом (минимулйом) функции. Максимум и минимум функции называкгг ее экстре. мума.ми.
ф Отметим, гго, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке „; уо) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к „; уо). В области Ю функция может иметь несколько экстремумов или пметь ни одного. !„) Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у = уо. То- ~ ое получим функцию Дх; уо) = ур(х) одной переменной, которая имеет и гтремум при х = хо.
Следовательно, согласно необходимому условию нптремума функпии одной переменной (см. п. 25.4), х'(хо) = О, т. е. р",(хо; уо) = ОАналогично можно показать, что Д(хо, уо) = О. Геометрически равенства Д(хо;уо) = 0 и (,',(хо, 'уо) = 0 означают, что в точке экстремума функции я = ?(х;у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию 1(х; у), параллельна плоскости Оху, т. к. уравнение касательной плоскости есть г = го (см. 4юрмулу (45.2)).
Замечание. Функция может иметь экстремум о точках, где хотя бы одна из часгных производшях не с ществует. Например, функция я = 1— хй + уз имеет максимум в точке 0(0; 0) (см. Рнс 210 рнс. 210), но не имеет в этой точке частных производных. Я Тгхчка, в которой частные производные первого порядка функции г = 1(х; у) равны нулю, т. е. Д = О, ~„' = О, называется стационарной точкой функции г.
Я Ствпионарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных являегся необходимым, но не достаточным услонием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию г = ху. Для нее точка 0(0; 0) является критической (в ней г' = у и е„' = х обрапгаются в ноль). Однако экс"гремума в ней функция з = хр не имеет, т.
к. в достаточно малой окрестности точки 0(0; 0) найоутся точки для которых х > 0 (точки ! и П1 четвертей) и з < 0 (точки П и Пг четвертей). Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данн й области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию. Теорема 46.2 (достаточное условие экстремума).
Пусть в стационарной точке (хо,ро) и некоторой ее окрестности функция Дх;р) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (хо, .ро) значения А = Д',(хо,-ро), В = = Х,"„(хо;ро), С = У„"„(хо;ро) Обозначим Х1= В с — Ас В. Тогда: > 0 то функция дх;р) в точке (хо;р ) имеет экст максимум, если А < 0; минимум, если А > 0; 2) если»з < О, то функция Х(х; р) в точке (хо, ро) экстремума не имеет. В случае»з = 0 экстремум в точке (хо,. ро) может быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования. Примем без доказательства Луимер 46.1.
Найти экстремум функции х = Зхзр — хз — р4. 1"„1 Решение: Здесь з' = бхр — Зхз, г„' = Зх~ — 4рз. Точки, в кото частные производные не существуют, отсутствуют. Найдем стационарные точки, реп»ая систему уравнений: < бхр — Зхз = О, зхз 4рз — О Отсюда получаем точки М»(6; 3) и Мз(0; 0). Находим частные производные второго порцдка данной Функции: В точке М» (6; 3) имеем: А = — 18, В = 36, С = — 108, отсюда АС вЂ” В = — 18- ( — 108) — Збз = 648, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
