Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Чтобы уравнение»(х; р) . Р(х; р) с/х + 1(х; р) ° ь/(х; р)»11/ = О было уравнением в полных дифференциалах, должно выплнп»яться условие д д — (1(х; р) Р(х; р)) = — (1(х„р) Я(х; р)). др ' ' де, Выполнив дифференцирование — '.Р+ — 1 = д — -О+» и приведя , дд дР сМ др др х дх подобные слагаемые, получим — Р --. ~~= Е~ — — — ). дд И /дд» ОРл (48.23) др дх дх др Для нахождения 4(х; р) надо проинтегрировать полученное ДУ в частных производных.
Репа»ние этой задачи не простое. Нахож/»ение интегриру»ощего множителя может быть упрощеш», если допустить су- шествование 1 как функции только одного аргумента х либо только р. Пусть, например, 1 = 1(х). Тогда уравнение (48.23) принимает вид или — = ~ * .дх. дн дсд Пр»л этом выражение 7и д* Ю должно зависеть только от х.
Аналогично получаем, что если 1 = 1(р) (1 не зависит от х), то д»с дг сСс) = с(/ '* „ссс). а подынт»трвльное выражение должно зависеть только от р. При.мер 48.Я2. Решить уравнение (хх — р)-с/х+(хзг/з+х) »1р = О. »,З» Решение: Здесь — =- — 1; -ф- = 2хг/з+1, т.е. — ф о . Однако д но, уравнение иъсгес ингс грирующий множигелс за\ висящий только от х, выражение которого может быть получено при помоспн формулы (48.24). В нашем случае получим, что 2 1(х) = ехр( — / — с(х) = ехр(-2«п Ц) = —.
Умножая исходное уравнение на 1 =- „получаем: 1 ~1 — У )с«х+ (у + «)суу = 0, т.е. уравнение в полных дифференциалах( Решив его, найдем, что общий интеграл заданного уравнения имеет вид у у х+ — '+ — = с. Э х 3 уравнение Клеро с / Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа при ср(у ) = у . Уравнение (48.25) принимает вид (48.29) Истслючая параметр р нз уравнений (48.26) и (48.28), получаем общий интеграл уравнения (48.25) в виде у = 1(хд с).
Отметим, что, переходя к уравнению (48.27), мы делили на ~~. При атом могли быть потеряны решения, для которых -Д. = О, т. е. р = рв — — сопя . тс: — — пв$. Это значение Рв ЯвлЯетсЯ коРнем УРавнепиЯ Р вЂ” 22(Р) = (см. (48.27)). Решение у = х-у(рв)+ср(рв) является особым для уравнения (48.25) (см.
ловягин особого респения в п. 48.'). 48 2) 48.6. Уравнения Лагранжа и Клеро Рассмотрим дифФеренциальные уравнения, неразрешенные относительно щюизводной. К ннм, в частности, относятся уравнения Лагранжа н Клеро. Уравнение Лагранжа Уравнение вида у = х. р(р) + 4(р). ~'ф )х'рсввшруя по х, полу,п,м. ,1, ='Р(Р)+ .Р'(Р). Р+,Р'(р).
+~ Г. Е. р — «2(р) — (Х,рс~ ) + Ч,,с( )) С«р (48.26) с«х (у - рЫ) . —,„' — х р'Ы = ««"(р). (48.27) Уравнение (48.27) естч линейное уравнение относительно неизвестной Функции х = х(р). Решив его, найдем: с« = Л(р; с). (48.28) у = с« ° ср(у) + ~(у'), (48.25) ЯГЕН вЂ” Ис где д н «о — испсестные функции от у' = -~, называется уравнением Лперамзсса. Введем вспоьюгатешьный параметр, положив у' = р. Тогда ° ' = р. огда уравнение (48.25) примет внд (48.30) и называется уравнением .Клеро. Р "* Положив у' = р, получаем: у = х«с+ р(р)- Д сфференцируя по х, нмеемс с«р с«р пр Ф,р(р).
1', нли (х+ФЫ) д,=0 ссх с«х (48,30),,ПУ (48.28) " Яхли общее решение 4 .31 у х с + с р р ( с ) Если х+ гу ) асс-) = 0 то получаем частное решение уравнения в параметрической форме: х=-р'Ы, у= р+ р(р). С„«Решение: Общее решение, согласно формуле (48.31), имеет вид у = = сх + с2. Особое решение уравнения получаем согласно формулам (48.32) в виде х = — 2р, у = хр+уз. Отсюда следует: у = — —, + 4, т. е. ,2 4' — собое решение уравнения Клеро: оно не содержится в о решение — ос ое ре формуле общес.о решения уравнения.
Пример 48.13. Решить уравнение Клеро у = ху + у 3 49. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫС ПОРЯДКОВ ЫСШИХ 49.1. Основные понятия Днфферезщлсальззые уравнения порядка выше зте в ! ка выше зтервого называются ется в виде второго по я а в >б р дк общем случае записыва- ' хХЧ... ! О (49.1) или, если это возможно, в виде аз е производное: виде, разрешенном оганосительно старшей О р = /(х; р; р'). (49.2) Будем в основном рас:сматривать уравнение в а (4 . удем осно ., не вида ( 9.2): от него Я Решением ДУ с49.2 Д бссгим ресаемием ДУ (49.2) называется функция р = х с — Сне от х произвольные постоянн, . Е Оз(зг; сз, сз) является решением ДУ для каж значения СЗ И Гз. я каждого фиксированного 2. К аковы бы ни были началз ные условия ! (49.3) х=-хо существуют е ин д ственньзе значении пос гоягип зх с = с" и что функция р = саксо со) яв ых сл —— с, сг = сз такие, удовлетворяет начальным ус! (49.
). .пня( .) н —;с "~ а условиям (49.3) . Всякое решение р = ср(х;со "~ а —; сз ', ~~~) уравнения (49.2), получающееся ш — ) 1 з ретных значени~х посто;Сс,С2) при копн Сз — — с„сз — — ств называется чостмьлм решением. Ф (х р сз с2) О Ф(х р со со) О называются ССйзсим и ча Г ик стиым имсаегралом соответсг твенно.
рафик всякого решения ДУ второго по а н иа '. шее решение ДУ (49.2) и зе интегральных кривых; частноо респение — — о а инз . кривая этого множеств. . — — одна интегральная тва, проходящая через точк;с " н ней касательную с: у с заданным угловым коэффициентом с/(хо) = Переписав ДУ (49.1) в виде з цнентом р (хо) = р'. ф;р;р'; .(1+2!2)зсз) р (,, з2)з,„. Р =О, видим, что ДУ второго порядка устанавливает связь между координв; Г ! 'тами точки (х; р) интегральной кривой, угловым коэффнсснентом й = р' О касательной к ней н кривизной К = — ~зз — в точке (х; р).
В этом (1+ р")"' ! остонт геометрическое истолкование ДУ второго порядка. Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения ДУ (49.2), удонлетворяющего заданным начальным условнялз (49.3), называется задачей Касаи. Теорема 49.1 (сулцествования и единственности задачи Коши). Если в уравнении (49.2) функция /(х; р; р') и ее частные производные /! и ус, непрерывны в некоторой области Р изменения переменных Э Р' х, р и р', то для всякой точки (хо,.ро, ро) Е Р существует единственное решение р = сзз(х) уравнения (49.2), удовлетворяющее начальным условиям (49.3). Примем теорему без доказательства.
Аналогичные понятия и определения имени место лля ДУ и-го с!оглядка, которое в общем виде записывается ка ( х р р ! р ! ! р ( ~ ) илн ррй = У(хйр;р';рх;...;р~ Н) = О, (49.4) если его можно разрешить относительно старшей производной. Начальные условия для ДУ (49.4) имеют вид !О=хо !О=хо !О=ха ! Хг ХО Общее ресиениг ДУ и-го порядка является функцией вида р = ср(х; сз, сз', -.., .сх), содержащей и произвольных, не зависящих от х нсктоянных. Респсззие ДУ (49.4), получающозюя из общего решения прн конкрет- НЫХ Зиазсиннк ПОСТОЯННЫХ СЗ вЂ” — Сы С2 = 4, ..., СΠ— — С!ю НаЗЬЗВаЕГСЯ частным решением. Задача Касаи для ДУ и-го порядка: найти решение ДУ (49.4), удовлетворяющее начальным условиям (49.5).
Проинтегрировать (решить) ДУ и-го порядка означает следующее: найти его общее или частное решение (интеграл) в:зависимскти от того, заданы начальные условия или нет. Задача нахождения решения ДУ и-го порядка сложнее, чем первом!. Поэм!му рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков. 49.2. Уравнения, допускающие понижение порядка Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод поипз/севов и//7/ядка. Суть метода состоит в том, что с помощы заменьь переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.
Рассмотрим три типа уравнений, дьшускаьоших понижение порядка,. 1. Пусть дано уравнение уи = Х(х). (49.6) Порядок можно понизить, введя ьювую функцию р(х)„положив у' = = р(:с). Тогда уи = р'(х) и получаем ДУ первого порядка: р' = /(х). Решив его, т. е. найдя функцию р = р(х), решим уравнение у' = р(:с). Получим общее решение заданного уравнения (49,6). На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последоватиельного интегрирования уравнения. / и // //у Так как у = (у ) = -У-, уравнение (49.6) можно записать в ви- /1х ' де /11/ = 1(х)/(х.
Тогда, интегрируя уравнение уи = 1(х), получаем: ;// = ( 1(х) //х, или;// =- «/ь(х)+сь. Далее, интегрируя полученное уравнение по:с, находим: « = — ((у/ь (х) + сь) ь(х, т. е. у = ьоз(х) + с/х + с3— общее решение данного уравнения. Если дано уравнение у(и1 у(х) то, проньгьегрировав его пгкльдоватгльно и раз, найдем общее решение , и-1 , и — 2 УРавненив: У = //си(х) + с/ * + сз ° х +.--+ с ° (и — 1)1 (и — 2)1 ЯХри/иер 49.1. Решить уравнение 7/~ = зпь 2х.
1"ь Решение: Последовательно интегрируя четььре раза данное уравнение,получнм /о / . 1 у =/ зй/2х//х= — -сов2х+с 2 ' У = / — — соз2х/1х+ 1 сь/1х = — — 31п2х+сьх+сз — 1 3/ , 3 у' = — /юз 2х + сь — + сзх + с, 3 2 '3 7 1 ° 3 хз у = — зш2х+ сь — +сз — + сзх+ сь.
16 6 2 П. Пусть дано уравнение (49.7) 1/' = Х( «') н/ содаржоьцее лоно искомоб функции у. Обозначим у' = р, где р = р(сс) новая неизвестная функция. Тогда уи = р' и уравнение (49.7) принимает вид р' = 1(х;р). Пусть р = ///(х; сь) — общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функпию р на у', получаем ДУ: у' = //ь(х; сь ). Оно имеет внд (49.6). Для отыскания у достаточно проинтегрировать послспнее уравнение. < 1бщее решение уравнения (49.7) будет иметь вид у = /( ///(х; сь) /1х+сз.
Частным случаем уравнения (49.7) является уравнение (49.8) 1/' = Х(У') пе содержащее также и независимую переменнучо х. Оно интегрируется /1п / / тем же способом: у' = р(х), уи =- р' = -~. Получаем уравнение р = 1(р) Йс' с разделяющимися переменными. Если зв,вано уравнение вида (49.9) которое также не содержит явно искомой функции, то еьо порядок можно понизить на к единиьь, положив у 1 = р(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
