Д.Т. Письменный - Конспект лекций по высшей математике (полный курс) (1108544), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Ф 2 51. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ЛНДУ) 51.1. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка $ Рассмотрим ЛНДУ второго порядка (51.1) где аг(х), аг(х), У(х) — заданные, непрерывные на (а; 5) функции. Уравнение ро + а» (х)р' + аг (х)р = О, (51.2) Ц левая часть которого совпалает с левой частью ЛНДУ (51.1), называется соогпеепгспга уюгг»мм ему ~диора»гг»ььм ураемемнеас Н~ Убедимсн, что функция (51.3) - — решение уравнения (51.1). Так как у' ость решение уравнения (51.1), а у — — решение уравнения (51.2), то (у*)г'+ а,(х)(у*)'+ ог(х)у* = г (х) и (р)" + а„(х)(у) + аг(х)у = О.
П гаком случае имеем: (У*+у)а+а (х)(У*+у)г у ( Ну*+у) = = ((у*)" + а»(х)(у*)' + аг(х)у*) + ((у)" + а,(х)(у)'+ аг(х)у) = = у'(х) + О = у(х). 'йто означает, что функция (у'+у) является решением уравнения (51. 1). Нгжагкем теперь, что функция (51А) у = у* + с»уг + сгуг является общим решением уравнения (51.1). Для этого надо доказать, что из решения (51.4) мгокно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее задщшым начальным условиям Р(хо) = Уо У (хо) = Уо.
(51.5) Проднфферен|шровав функцию (51.4) и подставив начальные у.словия (51.5) в функцию (51.4) н ее производную, получим систему уравнений: с»у»(хо) + сгуг(хо) = уо — у (хо) с»1г((хо) + сгрг(хо) = Уо (У ) (хо) где ро = у(хо), 1% = у'(хо), с неизвестными сг н сг. Определителем этой системы является определитель Вронского гу'(хо) для функции у»(х) и уг(х) в точке х = хо. Функции у»(х) н рг(х) линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений), т. е. гг'(хо) ф О. Следовательно, система имеет единственное решение: с» — — со и сг = ф Решение у = у* + со»у»(х) + егоуг(х) является частным решением уравнения (51.1), удовлетворяющим заданным начальным условиям (51.5).
Теорема доказана. 51.2. Метод вариации произвольных постоянных Рассмотрим ЛНДУ (51.1). Кто общим решением является фу цня (51.3), т. е. у=у +у. Частное решение у* уравнения (51.1) можно найти, если известно щее репшние у соответствующего однородного уравнения (51.2), ме дом вариации произвольных ивспиитных (метод Лагранжа), состоя щим в следующем. Пусть у = сг И (х)+сзу2(х) — общее решение уравне. ния (51.2). Заменим в обгдем решении постоянные сг и сг неизвестными функциями сг(х) и сг(х) и подберем их так, чтобы фуякция у* = сг(х) - уг(х) + с2(х) у2(х) (5!.6) была решением уравнения (51.1).Найдем производную (у ) = сгг (х)уг(х) + сг(х)у1(х) + сг(х)рг(х) + с2(х)у2(х). Подберем функции сг(х) и ог(х) так, чтобы сг(х) ' Уг(х) + гг(х) У2(х) — О (51.7) Тогда (у ) = сг(х) Р,(х) + сг(х) у2(х), (у ) — сг(х) ' уг(х) + сг(х) ' у~ (х) + с2(х) ' Р2(х) + с2(х) Рзв(х)„ Подставляя выражение для у, (у*)' и (у*)в в уравнение (51.1), полу чим: сг(х) Уг(2) + сг(х) ' Рг'(х) + сг(х) У2(т) + сг(х) ' У2'(х)+ +аг(х) [сг(х)Уг(х)+с2(х)уг(х)) +а2(х) [сг(х)Уг(х)+ог(х)У2(х)] = 1(х), или Уг(х) У2(х) 1 (>пределитель системы..., ф О, так ках это определитель ~ У',(2:) У''(и) Пронского для фундаментальной системы частных решений уг(х) и у (х) уравнения (51.2).
Поэтому система (51.9) имеет единственное решение: с'(х) = уь(х) и сг(х) = р2(х), где дг(х) и у22(х) --. некоторые функции от х. Интегрируя эти функции, находим сг (х) и сг (х), а затем ш1 формуле (51.6) состанляем частное решение уравнения (51.1). Пример 51.1. Найти общее решение уравнения у" + у = 1~ Решение: Найдем общее решение у соответствугощего однородного уравнения ув+ у = О. Имеем: уз+1 = О, йг = 2, к2 = — 2'. Следовательно, У =. сг . сов х + с2 . ЯПХ.
Найдем теперь часпюе решение у* исходного уравнения. Оно ищется в виде (51.6): У* = сг (х) соз х+ сз(х) . яп х. Для нахождения сг(х) и сг(х) составляем систему уравнений нида (51.9): сг(х) огзх+~(х) япх =О, с',(х) (-ипх) +сг2(х) вснх = Решаем ее: созх япх ~ г ° 2 — япх созх 1 г — г созх ' ' — зшх ~Х| — — с,(х) = (Г( — 18х)г(2: =!п/созх~; Ь2 с2(х) = =1 с2(2) =( 1'гх — х гг Сг(Х) ° [Угв(Х) + аг(Х) У'(Х) + а2(Х) -У (Х))+ +се(х)[У2(х)+аг(х)уг(х)+ах(х)У2(хЯ+сг(х)у',(х)+гг,(х)Р2!(х) = у(х), Поскольку уг(х) н у2(х) решения уравнения (51.2), то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому гг(Х) Уг( .) + ги(Х) У~(Х) = ПХ). (51.8) Таким образом, функция (51.6) будет частным решением у' уравнения (51.1), если функции сг(х) и сг(х) удовлетворяют системе уравнений (51.7) и (51.8): (51.9) Запишем частное репюние даняого уравнения: у* = !п)созх(.созх + + х .
яп х. Следователгяю, общее решение данного уравнения имеет вид у=(у+у*) =сг совх+с2 зшх+созх.1п(созх)+х япх. Ф При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной следующая теорема. Теорема 51.2 [о наложении решений). Если правая часть уравнения (51.1) представляет собой сумму двух функций: 1'(2:) = 12(2;) + + 12(х), а у,* и Р2 — частные решения уравнений ув + аг(х) .
у'+ + а2(х) - у = Ях) и У" + аг(х) ° у' + аг(х)у = 12(х) соответственно, то функция у' =. Уг + уг является решением данного уравнения. ( 1 Действительно, (у,*+уз)о+а (х) Ь,*+уз)'+аг(х) Ь,"+у;) = = ((ук) +ак(х) '(ук) +аг(х) ук) + (Ьг) +ак(х) 'Ьг) +аг(х) уг) фк (х) + гг(х) г (г').
51.3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Рассмотрим ЛНДУ «спорого порядка с иоскаояннызси коэффиц тами, т. е. уравнение (51.10 где р и д — некоторые числа. Согласно теореме 51.1, общее репюнне уравнения (51.10) цредст вляет собой сумму общего решения у соответствующе~о опнородно уравнения и частного решения у* неоднородного уравнения.
Части решение уравнения (51.10) может быть найдено методом вариации пр извольных постоянных (п. 51.2). Для уравнений с сюстояннымв коэффициентами (51.10) существу ет более простой способ нахождения у*, если правая часть Цх) ура пения (51АО) имеет так называемый «специальный вндьч 1. 1(х) = Р„(х) .
е ' или П. 1(х) = е "' . (Р„(х) соэ(ух+ Гд (х) . зшдх). Суть метода, называемого лсетодолс неоиределенныг: коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части Г(х) уравнения (51.10) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (51.10) н из полу- ' ченного тождества находят значения коэффициентов.
Случай 1. Правая часть (51.10) имеет вид г"(х) = Р„(х) е", где ск е К, Р„(х) -- многочлен степени и. Уравнение (51.10) запишется в виде (51.11) В этом случае частное решение у* ищем в виде: (51 12) где г число, равное кратности а как корня характеристического уравнения й + рй + у = О (т.е. г — число, показывающее, сколько г раз а является корнем уравнения йг + рй + сг = 0), а с~„(х) = Аох~ + + Акко к + ...
+ А„-. многочлен степени и, записанный с неопределенными коэффициентами Ас (г = 1,2,..., и). ~ 1 а) Пусть а не является корнем характеристического уравнения йг + рй + о = О, г. г. а ф йк г. Следовательно, г = О, у* = Я„(х) . е ', (у*)' = Щ(х) . е * + сг„(х) . е * а, (у*)о =1к,",(х) е'*к+2ф,(х)-е * а+Я„(х) ° е " а . После подстановки функпии у' и ее производных в уравнение (51.11), гокращения на е~*, получим: Цо(х) + (2а + р)СД„(х) + (аг + ра + с1) - Я„(х) = Р„(х).
(51.13) Слева — многочлен степени и с неопределеннымн коэффнциенталш, гправа — многочлен степени и, но с известными коэффициентами. При- равнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систе- муу (и+ 1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов Ао, Аы-. Ао. б) Пусп а является однократным (прас:тым) корнем характеристического уравнения й + рй + я = О, т. е.
а = йк г= йг- В этом случае искать решение в форме у* = Сд„(х)е * нельзя, т. к. скг + ра + о = О, и уравнение (51.13) принимает вид К( )+(2а+р) ч)'(х) = Ро(х). В левой части — многочлен степени (и — 1), в правой части — много- член степени и. Чтобы получить тоясцество многочленов в решении у*, нужно иметь многочлен степени (и + 1). Поэтому частное решение у* следует искать в виде у* = х . ф,(х)е'** (в равенстве (51.12) положить г=1).
в) Пусть а являетси двукратным корнем характеристического уравнения йг ррй+с1 = О, т. е. а = йк = йг. Вэтом случае а~+ра+о = 0 и 2а+р = О, а поэтому уравнение (51.13) принимает вид Я',(х) = Р„,(х). Слева стоит многочлен степени и — 2. Понятно, чтобы имеп слева многочлен степени и, частное решение у* следует искать в виде у* = хгЮ (х)г ' (в равенстве (51.12) положить г = 2). Случай Я. Правая часть (51.10) имеет внд Дх) = еьк -(Р„(х) создх+Ц (х)зшдх), Р (х) и сг (х) мншочлены степени и н т соответственно, а и — действительные числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
